3.3 垂径定理（第2课时）课件 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第3章　圆的基本性质 3.3 垂径定理（第2课时） 垂径定理的推论与弓形计算 数学新教材浙教版　九年级上册 新知讲授 反过来是否成立 回顾 垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的弧。 问题 如果只知道直径平分弦，能否得到垂直？如果平分弧呢？ O A B C D P 新知讲授 平分非直径的弦 定理1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 O A B C D P 新知讲授 证明定理1 构造 连结OA、OB，由OA＝OB知△OAB为等腰三角形。 推导 AP＝BP，等腰三角形底边中线OP也是高，所以CD⊥AB。再用垂径定理得到弧AC＝弧BC。 O A B C D P 新知讲授 为什么排除直径 反例 两条直径相交于圆心，每条都平分另一条，但夹角可以不是90°。 关键 弦不是直径时，圆心与弦中点不重合，才能确定一条垂线。 O A B C D 新知讲授 平分弧的直径 定理2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 结果 若弧AC＝弧BC，则CD⊥AB，且AP＝BP。 O A B C D P 新知讲授 弓形与弓形的高 定义 弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形，弓形的高是指弧的中点到弦的距离。 构造 连结圆心与弧中点，直线必垂直平分弦。 O A B C D 例题讲解 例3 已知赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为37.02m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为7.23m。求赵州桥的桥拱圆弧的半径（精确到0.1m）。 O A B C D 答：桥拱圆弧的半径约为27.3m。 设半径R，半跨径AD＝18.51m，OD＝R－7.23。 。 解得m。 拱高是CD，弦心距是R－CD。 新知讲授 弓形计算的基本模型 三条线段 半径R、半弦a、弦心距d构成直角三角形；。 小弓形 若高为h且h＜R，则d＝R－h，可列。 O A B H 课内练习 1 已知：⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于M，N，AM＝BM，AB∥CD。求证：DN＝CN。 O A B C D P Q M N 答：DN＝CN。 AB不是直径，由平分非直径弦的直径得PQ⊥AB。 AB∥CD，故PQ⊥CD；由垂径定理得DN＝CN。 课内练习 2 在直径为130mm的圆形铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长。 答：AB＝112mm。 半径65mm，弦心距65－32＝33mm。 半弦mm，故AB＝112mm。 探究活动 探究 公路隧道半圆拱圆心距地面2m，半径1.5m。一辆高3m、宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过吗？若使高不超过4m、宽2.3m的货车也能顺利通过，且圆心高度不变，半径至少为多少米？ 答：原隧道不能通过；新半径至少约2.31m。 车顶角距圆心m。 新车顶角距圆心m。 车体居中时最有利；检查上方两个角。 新知讲授 先辨圆心在弦哪一侧 小弓形 h＜R时，弦心距为R－h。 大弓形 h＞R时，弦心距为h－R；勾股方程中的平方仍可写成(R－h)²。 统一 正确标出半径、弓高与垂足，再代入数据。 O A B H 课堂总结 垂径推论 定理1 平分非直径弦的直径垂直于弦 定理2 平分弧的直径垂直平分弦 弓形模型 半径、半弦、弦心距 实际应用 跨径折半，拱高转弦心距 针对训练 练1 “平分弦的直径必垂直于弦”是否正确？若不正确，怎样补充？ O A B C D 答：不正确，应补充“弦不是直径”。 取两条不垂直的直径，即可得到反例。 排除直径这一个特殊情况。 针对训练 练2 在⊙O中，C是弧AB的中点，直线OC交AB于H。证明AH＝BH。 O A B H C 答：AH＝BH。 将OC延长为直径。 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 弧中点与圆心的连线是重要辅助线。 针对训练 练3 一个弓形的弦长24cm，高4cm，求所在圆的半径。 O A B H 答：20cm。 设半径R，半弦12cm，弦心距R－4。 ，得8R＝160，R＝20。 用方程求未知半径。 针对训练 练4 圆半径10cm，一条弦长16cm，求对应小弓形的高。 O A B H 答：4cm。 弦心距cm。 小弓形高10－6＝4cm。 先求弦心距，再用半径减去它。 针对训练 练5 半径为5cm的圆中，两平行弦长分别为6cm和8cm，求两弦间距离。 O A B C D 答：1cm或7cm。 两弦心距分别为4cm和3cm。 同侧相减得1cm；异侧相加得7cm。 未说明圆心同侧或异侧时需分类。 针对训练 练6 一个圆弧门洞顶部跨距4m，拱高1m，求圆弧半径。 O A B H 答：2.5m。 设半径R，。 2R＝5，所以R＝2.5m。 跨距折半后进入勾股方程。 针对训练 练7 直径为50cm的圆木，要锯出宽48cm的平面，最小锯切深度是多少？ O A B H 答：18cm。 半径25cm，半弦24cm。 弦心距cm，深度25－7＝18cm。 “深度”是弓形高，不能直接作弦心距。 针对训练 练8 圆弧棚半径13m，顶部到水平横梁距离8m，圆心位于横梁下方。求横梁宽度。 O A B H 答：24m。 弦心距13－8＝5m。 半宽m，宽24m。 圆心位置决定弓高与弦心距的关系。 方法总结 辅助线法 ① 连结圆心与弧中点，得到弦的垂线。 ② 连接半径，构成含半弦的直角三角形。 方程求半径法 ① 设R并把弦心距表示为R与弓高的差。 ② 列勾股方程，求解后检查长度与精度。 $