3.3垂径定理（第1课时） 教学课件 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第3章 圆的基本性质 3.3垂径定理（第1课时） （浙教版）九年级 上 01 教学目标 01 02 03 通过折纸操作、画图观察与逻辑推理，探究并理解垂径定理的形成 过程，能准确复述垂径定理内容。 掌握垂径定理的几何证明思路，分清定理的条件：直径（过圆心） 垂直于弦，结论：平分弦、平分弦所对的两条弧，识别弧中点的定 义。 能运用垂径定理完成简单几何推理，会利用直尺和圆规作一条已知 弧的中点，解决基础线段、弧相等的证明问题。 02 新知导入 赵州桥 37m 7.23m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 我国历史上著名的赵州桥建于隋开皇大业年间（595～605），桥长 64.4 m，是世界上现存跨径最大、保存最完整的单孔敞肩型石拱桥。你知道怎样确定桥拱圆弧的半径吗？ 03 新知讲解 O ①圆是轴对称图形， ②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 03 新知讲解 合作学习 在透明纸上任意作一个圆和这个圆的一条弦AB，再作一条和弦AB垂直的直径CD，CD与AB相交于点E（如图）。然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠， 你发现哪些点、线段、圆弧互相重合？你能将你的发现归纳成一般的结论吗？ · O A B C E D 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 点: A与B重合 03 新知讲解 垂径定理 · O A B D C E ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 03 新知讲解 证明 · O A B D C E 已知：在☉O中，CD 是直径，AB 是弦，AB⊥CD，垂足为 E. 求证：AE = BE， ， . 证明：连接 OA、OB、CA、CB，则 OA = OB， 即△AOB 是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ∴AE = BE， ∠AOC = ∠BOC. 从而 ∠AOD = ∠BOD. 03 新知讲解 归纳 · O A B D C E 分一条弧成相等的两条弧的点，叫作这条弧的中点。 例如，图中，C是的中点，D是的中点。 03 新知讲解 试一试 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 03 新知讲解 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O C A B O D C 归纳总结 03 新知讲解 垂径定理成立的条件 一条直线满足: ①过圆心； ②垂直于弦. 温馨提示 03 新知讲解 例1 已知 ，用直尺和圆规作这条弧的中点. E 1. 连结AB; 2. 作AB的垂直平分线CD,交 与点E; 作法: ∴点E就是所求 的中点. 分析:要平分 ,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上. 03 新知讲解 例2 一根排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16。求截面圆圆心O到水面的距离OC。 解: 由题意，OC⊥AB, 则AC=BC==×16=8 由勾股定理得: 答: 截面圆圆心O到水面的距离为6. 04 课堂练习 1. 如图，AB是☉O的直径，AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确 的是（　B　） A. CE＝DE B. AE＝OE C. ＝ D. △OCE≌△ODE B 04 课堂练习 2. 如图，在☉O中，CD是☉O的直径，AB⊥CD于点E. 若AB＝6， OE＝ ，则☉O的直径为（　D　） A. B. 2 C. 4 D. 8 D 04 课堂练习 3.如图，OE⊥AB 于 E，若 ☉O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm. 16 O A B E · 04 课堂练习 4. 如图，在☉O中，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D， OE⊥AC于点E，连结OA. 若AB＝8cm，AC＝6cm，则OA ＝ cm.　 5　 04 课堂练习 5. 如图，☉O的直径AB与弦CD相交于点E，OF⊥CD于点F，AE＝ 1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求： （1） OF的长； 解：（1） 因为AE＝1cm，BE＝5cm，所以AB＝AE＋BE＝1＋5＝6 （cm）.所以OA＝ AB＝3cm.所以OE＝OA－AE＝3－1＝2（cm）. 因为OF⊥CD，∠DEB＝30°，所以在Rt△OFE中， OF＝ OE＝ ×2＝1（cm） 04 课堂练习 5. 如图，☉O的直径AB与弦CD相交于点E，OF⊥CD于点F，AE＝ 1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求： （2） 弦CD的长. 解：（2） 连结OD. 由（1），得OD＝OA＝3cm，OF＝1cm.在Rt△OFD中，由勾股定理，得DF＝ ＝ ＝2 （cm）.因为OF⊥CD，所以CD＝2DF＝4 cm 05 课堂小结 垂径定理 · O A B D C E ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 06 板书设计 3.3垂径定理（第1课时） 垂径定理： $