3.4.1 圆周角（第1课时）（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆周角的定义、定理及推论，通过足球射门情景引导学生观察不同位置张角规律，衔接圆心角知识，以动手画图、测量对比为支架，构建从生活情境到数学概念的探究脉络。 其亮点在于采用分类讨论与转化思想证明定理，结合《九章算术》圆材问题等实例培养推理能力与应用意识，课堂小结结构化梳理知识与思想，助力学生用数学语言表达，提升探究能力，也为教师提供清晰教学逻辑与实例支撑。

3.4.1圆周角 （第1课时） 第三章 圆的基本性质 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 通过画图观察、分类讨论与逻辑推理，经历圆周角定理的探究与证明过程，能准确表述圆周角定理，知道圆心与圆周角存在三种位置关系。 掌握圆周角定理的证明思路，会利用 “作直径构造基础模型” 的方法进行推理，理解圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径，分清定理与推论的条件和结论。 能运用圆周角定理及其推论进行角度计算与简单几何证明，会识别直径构造的直角三角形模型，解决圆中基础角度、线段相关问题。 新课导入 情景导入：足球射门 假设球门的两个门柱为点A和点B，禁区边缘是一个圆弧。当球员站在圆弧上的C、D、E三个不同位置时，虽然站位不同，但对球门的观察视角却有着惊人的规律。 🤔 课堂思考：发现几何规律 01. 角度大小关系 球员在C、D、E三点对球门AB的张角（∠ACB、∠ADB、∠AEB）大小是否相等？它们之间存在怎样的数量关系？ 02. 几何特征归纳 这些角的顶点都在圆上，且两边都与圆相交，它们有什么共同的几何特征？这揭示了圆的什么重要性质？ 绿茵场上的每一次射门，不仅是力量与技巧的展现，更蕴含着精妙的几何原理。不同的射门位置，决定了对球门的视角与进球的概率。 3 新知探究 新知探究：圆周角的定义 我们刚才观察到的这些角，它们的顶点都在圆上，并且两边都与圆相交。我们把这样的角称为圆周角。 定义： 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 01 顶点在圆上 角的顶点必须落在圆周上，而非圆内或圆外，这是构成圆周角的基础前提，是判断的首要条件。 02 两边都与圆相交 角的两条边都必须与圆有两个交点（除顶点外），即两边都是圆的弦，而非切线或割线的一部分。 4 新知探究 即时练习：判断圆周角 01. 是圆周角 判定理由： 角的顶点在圆上，且角的两边都与圆相交，完全符合圆周角的定义特征。 02. 不是圆周角 判定理由： 虽然角的两边与圆相交， 但顶点位于圆内而非圆 上，不满足圆周角的构 成条件。 03. 不是圆周角 判定理由： 并非与圆相交于两个点， 不满足“两边都与圆相交” 的关键条件。 04. 不是圆周角 判定理由： 角的顶点在圆外， 而非圆上，直接违背了 圆周角定义中“顶点在 圆上”的核心要素。 5 新课探究 新知探究：圆周角定理的猜想 请同学们动手实践：在纸上画一个圆，任意截取一段弧BC，然后在弧BC所对的圆周上选取几个不同的点（如A、A1、A2），分别连接并画出圆周角∠BAC、∠BA1C、∠BA2C，观察它们的位置关系。 01 测量角度 使用量角器精确测量画出的各个圆周角的度数，并将数据记录在草稿纸上，观察数值特征。 02 对比圆心角 找到弧BC所对的圆心角∠BOC，测量其度数，将其与圆周角的度数进行数值对比，寻找倍数关系。 03 归纳规律 观察多组数据的共性，思考：同弧所对的圆周角之间有什么关系？圆周角与圆心角又有何联系？ 💡 初步猜想： 通过动手测量与观察，我们发现：同弧所对的圆周角相等；并且，圆周角的度数恰好等于它所对弧上圆心角度数的一半。这就是我们将要深入探究的圆周角定理。 6 新课探究 圆周角定理证明 定理核心： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。即：∠BAC = ∠BOC。 情况一：圆心在圆周角的一边上 图形分析： 如图所示，圆心 O 在圆周角 ∠BAC 的一边 AB 上，这是圆周角定理证明中最基础的一种情形，也是后续推广证明的基础。 1. 构造等腰三角形： ∵ OA=OC（均为圆的半径），∴ △OAC 为等腰三角形。 2. 利用等腰性质： 等腰三角形底角相等，即 ∠BAC = ∠OCA。 3. 应用外角定理： ∠BOC 是 △OAC 的外角，故 ∠BOC = ∠BAC + ∠OCA。 4. 结论推导： 代入得 ∠BOC = 2∠BAC，即 ∠BAC = ∠BOC，得证。 7 新课探究 圆周角定理证明 情况二：圆心在圆周角的内部 图形分析： 如图所示，圆心 O 在圆周角 ∠BAC 的 内部时 图形分析： 圆心 O 位于 ∠BAC 的内部，此时圆周角的两边与圆心形成包含关系。需通过构造辅助线，将其拆解为已证的“情况一”模型进行推导。 01. 添加辅助线 过点 A 作直径 AD，将 ∠BAC 拆分为 ∠BAD 和 ∠CAD，构建基础模型。 02. 转化为已知结论 利用“情况一”结论：∠BAD=∠BOD，∠CAD=∠COD，实现复杂向简单的转化。 03. 等式相加推导 两式相加得：∠BAD+∠CAD = (∠BOD+∠COD)，合并角度得到整体关系。 04. 得出最终结论 最终证得：∠BAC = ∠BOC，即圆周角等于它所对圆心角的一半。 💡 核心思想：通过辅助线将未知情况转化为已知模型，体现了数学中的“转化与化归”思想。 8 新课探究 圆周角定理证明 情况三：圆心在圆周角的外部 图示：圆心在圆周角外部的几何模型 图形特征： 圆心O位于∠BAC的外部，此时圆周角的两边与圆心形成“外切”结构。我们需要通过添加辅助线，将其转化为已证明的“情况一”来推导结论。 01. 构造辅助线： 过点A作圆的直径AD，∠BAC等于∠CAD减去∠BAD两个角，构建出“情况一”的模型。 02. 应用已知结论： 根据“情况一”的结论，可得 ∠BAD = ∠BOD，∠CAD =∠COD。 03. 角度相减推导： ∠BAC = ∠CAD-∠BAD =(∠COD - ∠BOD) = ∠BOC，从而证明了圆周角定理在此种情况下依然成立。 9 典例1 如图，在☉O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC 上一点，连接BD，AD，OC，∠AOC=58°. 典例分析 解：连接OB ∵OA⊥BC，且OA为⊙O的半径， ∴BE=EC，= ∵∠AOC=58°, ∴∠BOA=∠AOC=58°, ∴∠ADB=∠BOA=29° （1）求∠ADB的度数 典例1 如图，在☉O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC 上一点，连接BD，AD，OC，∠AOC=58°. 典例分析 (2)解：∵OB=OA=5，OE=3, ∴BE= ∴BC=2BE=8. (2)若OE=3，OA=5，求BC的长. 练一练 如图所示，AB是☉O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交☉O 于点D，点E在☉O上. 典例分析 解：连接OB ∵OD⊥AB, ∴= ∴∠BOD=∠AOD=60°, ∠DEB=∠BOD=30° (1)若∠AOD=60°，求∠DEB的度数； 练一练 如图所示，AB是☉O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交☉O 于点D，点E在☉O上. 典例分析 (2)解：∵∠AOD=60°,∴∠OAC=30°, ∴OC=OA，∵OC⊥AB, ∴AC=2AB=设OA=r, 在Rt△ABC中，由勾股定理可得：OA²=OC²+AC²，∴ ∴r=4(负值已舍去), (2)在(1)的条件下，若AB=，求☉O 的半径. 新课探究 定理推论 从圆周角定理出发，我们可以推导出一个在几何证明中非常实用的重要推论，它揭示了直径与直角之间的特殊几何关系。 推论 1：直径所对的圆周角是直角 ▍证明思路 ① 设AB为⊙O的直径，则圆心角∠AOB = 180°； ② 根据圆周角定理，圆周角∠ACB = ∠AOB； ③ 代入计算得∠ACB = 90°，即直径所对圆周角为直角。 几何语言： ∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB = 90°。 图示：直径AB所对的圆周角∠ACB恒为直角。这一特性是解决圆内直角三角形问题的关键依据，常用于证明垂直关系或构造直角三角形。 14 新课探究 定理推论 推论2：90°的圆周角所对的弦是直径 🔍 逻辑推导过程 01. 定理转化： 已知∠ACB = 90°，根据圆周角定理，其对应的圆心角∠AOB = 2 × 90° = 180°。 02. 三点共线： 平角∠AOB = 180°，说明点A、圆心O、点B三点在同一条直线上。 03. 结论得出： 由于弦AB经过圆心O，因此AB是⊙O的直径，推论得证。 💡 几何语言表达 ∵ 在⊙O中，∠ACB = 90°（圆周角） ∴ 弦AB是⊙O的直径。 结论：90°圆周角 ⇨ 所对弦为直径 15 典例分析 如图所示，BC是半圆O的直径，AD垂直BC于点D，=BF与AD交于点E. 典例2 (1)证明：∵BC是半圆O的直径， ∴∠BAC=90°, ∴∠ABC+∠ACB=90°. 又∵AD⊥BC, ∴∠ADB=90°, ∴∠ABC+∠BAD=90°, ∴∠BAD=∠ACB, (1)求证：∠BAD=∠ACB; 典例分析 如图所示，BC是半圆O的直径，AD垂直BC于点D，=BF与AD交于点E. 典例2 (2)∵= ∴∠ACB=∠ABF. 由(1)得∠BAD=∠ACB, ∴∠ABF=∠BAD, ∴AE=BE. (2)求证：AE=BE 练一练 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F. 典例分析 (1)证明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠C, ∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB, ∴∠ODB=∠C，∴OD//AC, ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°, ∴∠OFB=∠AEB=90°, ∴OD⊥BE; (1)求证：OD⊥BE; 练一练 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F. 典例分析 (2)解：∵OD⊥BE,∴BF=EF=4,BE=8, 设OB=OA=OD=r，则OF=OD-DF=r-2,在Rt△OBF中，OB²=OF²+BF², r2=(r-2)²+4²,解得r=5, ∵AC=AB=2r=10, ∴△ABC的面积为：AC·BE=×10×8=40 (2)若EF=4，DF=2，求△ABC的面积. 典例分析 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题“今有圆材，径二尺五寸 欲为方版，令厚七寸，问广几何?”其大意是：今有圆形板材(如图所示的☉O)，直径为25寸，要做成矩形板材ABCD，矩形ABCD的顶点均在☉O上，使其宽CD达到7寸，则BC的长是_____寸 典例3 解：连接BD，如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=90°, ∴BD是圆的直径， ∴BD=25, 则在直角三角形BCD中，由勾股定理得：BC²+CD²=BD²,即BC²+7²=25², 解得：BC=24(寸),负值舍去. 典例分析 如图，用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为10cm的圆中，则这根铁丝的长度为 cm(=1.414，精确到0.1cm) 练一练 解：如图所示，连接BD, ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°,AD=AB, ∴BD是正方形ABCD的外接圆的直径， ∴BD=10cm, 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD²+AB²=BD²,2AB²=10², AB=cm或AB=-ccm(舍去) 这根铁丝的长度为4AB=20√2≈28.3cm 课堂小结 06 课堂小结 · 重点回顾 01 圆周角的定义 顶点在圆上，且两边都与圆相交的角。两个核心要素缺一不可：顶点在圆上、两边与圆相交。 02 圆周角定理核心 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，这是解决圆内角度关系的基石。 03 关键推论应用 ① 直径所对的圆周角是直角（90°）； ② 90°的圆周角所对的弦是直径。这是判断直角和直径关系的重要几何依据。 04 核心数学思想 在定理证明中，我们运用了分类讨论思想（圆心在角内、上、外）和转化思想（将未知转化为已知），这是解决复杂几何问题的通用策略。 课堂练习 1.如图，等腰三角形ABC内接于☉O，AB=AC，连接OA、OC，OA与BC相交于点D，已知∠B=30°，OA=2，则AD的长为（ ) A. 1 B. C. D. 课堂练习 2.如图，AC、BC为☉O的两条弦，D、G分别为AC、BC的中点，☉O的半径为4。若∠C=45°，则DG的长为（ ） A. B. 3 C. D. 课堂练习 3.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，以AB为直径的☉O交BC于点D，交CA的延长线于点E，若点E在BD的垂直平分线上，则∠C的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 课堂练习 4.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边AB重台，点D为斜边AB上一点，作射线CD交于点E，如果点E所对应的读数为50°，那么∠BCD=____度. 65 证明：∵AC=BD, ∴= ∴-=-, ∴=, ∴AB=CD; 课堂练习 5.如图，在给定的圆上依次取点A、B、C、D，连结AB、CD、AC=BD，设AC、BD交于点E. (1)求证：AB=CD (2)解：∵弧AD度数=100°, ∴∠C=×100°=50°,∵AB=ED,AB=CD, ∴CD=DE，∴∠DEC=∠C=50°, ∴∠D=180°-50°-50°=80°, ∴=的度数=2×80°=160°, ∵=, 弧AB的度数=×(360°-160°-100°)=50° 课堂练习 5.如图，在给定的圆上依次取点A、B、C、D，连结AB、CD、AC=BD，设AC、BD交于点E. (2)若=100，AB=ED，求的度数. $