3.3 垂径定理（第1课时）课件 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第3章　圆的基本性质 3.3 垂径定理（第1课时） 垂径定理与弦心距 数学新教材浙教版　九年级上册 新知讲授 桥拱的半径从哪里求 情境 赵州桥桥拱呈圆弧形。测出跨径和拱高后，需要把圆弧问题转成可计算的图形。 起点 先研究圆中直径垂直于弦时，弦与弧会出现什么相等关系。 O A B C D E 新知讲授 圆的轴对称性 性质 圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。 操作 在纸上画圆，将纸沿任意一条直径所在直线对折，圆的两半能重合。 O A B C D 新知讲授 沿垂直于弦的直径折叠 操作 作弦AB及与它垂直的直径CD，垂足E。沿CD折叠。 发现 A与B重合，AE与BE重合；弧AC与弧BC、弧AD与弧BD分别重合。 O A B C D E 新知讲授 垂径定理 定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 O A B C D E 新知讲授 把定理写成符号 条件 CD是直径，AB⊥CD，垂足为E。 结论 AE＝BE；弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD。 理解 同一条直径同时平分弦和弦所对的两条弧。 O A B C D E 新知讲授 为什么能平分弦 连半径 连结OA、OB，有OA＝OB，△OAB为等腰三角形。 用三线合一 OE⊥AB，所以AE＝BE；沿OE折叠时A与B重合，弧也对应重合。 O A B C D E 新知讲授 弧的中点 定义 分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。 图示 图中C与D分别为弦AB所对的两条弧的中点。 O A B C D E 例题讲解 例1 已知弧AB，用直尺和圆规作这条弧的中点。 A B C D E 答：作弦AB的垂直平分线，与给定弧的交点E就是中点。 连结AB。 作AB的垂直平分线CD，交给定弧于E。 不必先找出圆心，垂直平分线已经经过圆心。 例题讲解 例2 一根排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16。求截面圆圆心O到水面的距离OC。 O A B C 答：OC＝6。 OC⊥AB，故。 在Rt△OCB中，。 先把整条弦折半，再用勾股定理。 新知讲授 弦心距与基本直角三角形 定义 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。 数量关系 若半径为r，弦长为a，弦心距为d，则。 O A B H 课内练习 1 已知：在⊙O中，AB是⊙O的直径，OA⊥CD于点P。求证：弧BC＝弧BD。 答：弧BC＝弧BD。 AB所在直线垂直于弦CD，且AB是直径。 由垂径定理，直径AB平分弦CD所对的弧。 课内练习 2 已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm。求这条弦的长。 O A B H 答：24cm。 半弦长cm。 弦长为cm。 课堂总结 垂径定理 轴对称 过圆心的直线都是对称轴 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦和弧 弧中点 分弧成两条相等的弧 计算关系 半径²＝弦心距²＋半弦² 针对训练 练1 一条弦长16cm，弦心距为6cm，求圆的半径。 O A B H 答：10cm。 半弦长8cm，cm。 半径是直角三角形的斜边。 针对训练 练2 ⊙O半径为17cm，弦AB长30cm，求弦心距。 O A B H 答：8cm。 半弦长15cm，cm。 弦心距为垂线段的长。 针对训练 练3 弦AB垂直于经过圆心的直线OH，垂足H，若AH＝7cm，求AB。 O A B H 答：14cm。 OH平分AB，故BH＝AH＝7cm。 “垂直于弦”与“经过圆心”缺一不可。 针对训练 练4 半径OC垂直弦AB于H，能得到AH＝BH吗？说明理由。 O A B H C 答：能。 把OC延长为直径；这条直径仍垂直弦AB。 由垂径定理，AH＝BH。 定理中的直径可通过延长半径得到。 针对训练 练5 ⊙O半径5cm。弦AB的弦心距为3cm，另一条弦CD经过圆心。求两弦长度并比较。 O A B H C D 答：AB＝8cm，CD＝10cm，CD较长。 cm。 CD是直径，长cm。 经过圆心的弦是直径。 针对训练 练6 一块半径25mm的圆形薄片，要切出一条距圆心7mm的直边。求直边的长度。 O A B H 答：48mm。 直边就是圆的弦。 半弦mm，整弦48mm。 把切口长度解释为弦长。 针对训练 练7 圆形水管内半径10cm，水面位于圆心下方6cm处，求水面宽度。 O A B H 答：16cm。 从圆心向水面作垂线，水面被平分。 宽度cm。 弦心距是正的距离6cm。 针对训练 练8 一座圆弧拱桥的支撑圆半径13m，水平横撑距圆心12m，两端在圆弧上。求横撑长。 O A B H 答：10m。 半横撑m。 整根横撑长m。 遇弦长问题先构造半弦直角三角形。 方法总结 证明等分法 ① 确认直线经过圆心且垂直于弦。 ② 同时写出半弦相等与两组弧相等。 半弦计算法 ① 连半径、作弦心距，构造直角三角形。 ② 用半弦参与勾股运算，最后还原整弦。 $