3.3 垂径定理 课件 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“垂径定理”，通过折叠实验引导学生先发现圆的轴对称性，再作垂直于直径的弦并折叠，归纳点线弧重合关系，搭建从具体操作到抽象定理的学习支架。 其亮点在于以动手探究培养几何直观与空间观念，“知二推三”拓展提升推理意识，结合排水管、石拱桥等实例渗透模型意识。学生能直观建构知识，提升应用能力，教师可借助分层练习与清晰结构高效教学。

第三章 圆的基本性质 3.3 垂径定理 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 01 教学目标 01 02 03 掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题。 通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性。 掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 02 新知导入 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么? C D · O 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴. 03 新知探究 探究一 合作学习: 在刚刚操作的基础上，再作一条和直径CD垂直的弦AB，AB与CD相交于点E，然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠，你发现哪些点、线互相重合？有哪些圆弧相等？ C D · O A B E 点A与点B重合，AE与BE重合，，. 请你将你的发现归纳成一般结论. 新课探究 一般地，圆有下面的性质： 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 你能证明这个性质吗？ 02 新知导入 CD 是已⊙O 的直径，AB⊥CD 于点 E，连结 AO，BO，则 AO＝BO. 在等腰三角形OAB中，OC⊥AB，得AE=BE. 所以把图沿直径CD对折时，射线EA与射线EB 重合,可知点A与点B重合，则弧AC与弧BC，弧AD与弧BD分别重合，所以弧AC与弧BC，弧AD与弧BD分别相等，记做弧AC=弧BC，弧AD=弧BD. 这样便证明了垂径定理. 02 新知导入 【总结归纳】 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平分弦所对的弧。 符号语言： ∵CD是直径，CD⊥AB， ∴AE=BE， AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 03 新知讲解 【拓展提高】 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”） 03 新知讲解 特别提醒 条件 结论 (1) 过圆心 (2) 垂直于弦 (1) 平分弦 (2) 平分弦所对的优弧 (3) 平分弦所对的劣弧 03 新知讲解 垂径定理的几个基本图形 03 新知讲解 弧的中点 分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. 如图，C是 的中点，D是的中点； OE的长就是弦AB的弦心距. 弦心距 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. · C A D B E O 03 新知讲解 例3 例1 已知弧AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点． A B C D E 作法： 1.连结AB. 2.作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. 如图所示，点E就是所求弧AB的中点． 03 新知讲解 变式： 求弧AB的四等分点． C D A B E F G m n 03 新知讲解 例4 一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16. 求截面圆圆心O到水面的距离OC. O A B 03 新知讲解 解：先作出圆心O到水面的距离OC，即画 OC⊥AB， ∴AC=BC=AB =×16=8， 由勾股定理，得OC= ==6， 答：截面圆圆心O到水面的距离为6． O A B C 图中，OC 的长就是弦 AB 的弦心距. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： B 1． 如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，则下列结论错误的是(　　) A．AE＝BE B．EO＝ED C.AD＝BD D. AC＝BC 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 2.如图，已知 <m></m> 是半圆 <m></m> 的直径，弦 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则CD与 <m></m> 之间的距离是___. 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 2.如图，已知 <m></m> 是半圆 <m></m> 的直径，弦 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则CD与 <m></m> 之间的距离是___. 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 3.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB为8 m，求桥拱所在圆的半径． 解：由题意得CD⊥AB，CD＝8 m， AB＝8 m，∴AD＝DB＝4 m. 如图所示，连结OA. 设OA＝r m， 则OD＝(8－r)m. 在Rt△ODA中，OA2＝AD2＋OD2， 即r2＝42＋(8－r)2，解得r＝5. ∴桥拱所在圆的半径为5 m . 20 05 课堂小结 垂直于弦的直径 平分弦所对的两条弧 平分弦 > 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图（1），筒车边缘装有盛水桶．如图（2），当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 <m></m> 为圆心，5米为半径的圆，圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦 <m></m> 长8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为( ) B A.1 B.2米 C.3 D.4米 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 2.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则木材的直径是_____(1尺＝10寸) 26寸 06 作业布置 【综合拓展类作业】 3.已知⊙O的半径为25 cm，弦AB＝40 cm，弦CD＝48 cm，AB∥CD. 求两条平行弦AB，CD之间的距离． 06 作业布置 【综合拓展类作业】 06 作业布置 【综合拓展类作业】 二一教育 解：分两种情况讨论． 情况一：如图①，连结OB，OD，过点O作OM⊥AB，垂足为M，OM交CD于点N. ∵OM⊥AB，AB∥CD， ∴BM＝AB＝20 cm，ON⊥CD.∴DN＝CD＝24 cm. ∵⊙O的半径为25 cm，∴OB＝OD＝25 cm. ∴在Rt△OMB和Rt△OND中，根据勾股定理可得OM＝15 cm，ON＝7 cm. ∴MN＝OM－ON＝8 cm. 情况二：如图②，连结OB，OD，过点O作 OM⊥AB，垂足为M，延长MO，交CD于点N. ∵OM⊥AB，AB∥CD，∴BM＝AB＝20 cm， ON⊥CD.∴DN＝CD＝24 cm. ∵⊙O的半径为25 cm，∴OB＝OD＝25 cm. ∴在Rt△OMB和Rt△OND中， 根据勾股定理可得OM＝15 cm，ON＝7 cm. ∴MN＝OM＋ON＝22 cm .综上可得，两条平行弦AB，CD之间的距离为8 cm 22 cm. $