3.4 圆心角 课件（第1课时）2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第3章　圆的基本性质 3.4 圆心角（第1课时） 圆心角定理与弧的度数 数学新教材浙教版　九年级上册 新知讲授 用圆弧设计图案 情境 墙面图案由许多相同圆弧组成。要让它们均匀排列，需要把圆分成相等的部分。 问题 能否通过控制圆心处的角，确定相等的弧和弦？ 新知讲授 圆的旋转不变性 观察 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合。 解释 每个圆上点到圆心的距离不变，旋转后的点仍在原圆上。 新知讲授 圆心角的定义 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角（central angle）。 识别 不仅要看两边是否为半径，还要先看顶点是不是圆心。 O A B C 新知讲授 探索相等圆心角 操作 在同一个圆中作相等的圆心角∠AOB与∠COD。 旋转 绕O旋转扇形AOB，让OA与OC重合，OB也与OD重合。 发现 对应的弧重合，弦也重合。 新知讲授 圆心角定理 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 新知讲授 用旋转说明定理 设角 设∠AOC＝α。由∠AOB＝∠COD，得∠BOD＝α。 重合 将扇形AOB按顺时针旋转α，A与C、B与D重合。 结论 弧AB＝弧CD，弦AB＝弦CD。 新知讲授 弧的度数 定义 我们把1°圆心角所对的弧叫做1°的弧。 对应 n°的圆心角所对的弧就是n°的弧；一整圆360°，半圆180°。 做一做 1 在⊙O中，∠AOB＝135°。求弧AB、弧ACB的度数。 O A B C 答：弧AB＝135°，弧ACB＝225°。 劣弧AB度数等于∠AOB度数。 优弧ACB＝360°－135°＝225°。 做一做 2 任意画两个半径不相等的圆，然后在每一个圆上任意取一段90°的弧。这两段弧的度数相等吗？能说这两段弧相等吗？为什么？ O P 答：度数相等，但不是相等的弧。 半径不同，弧不能完全重合。 定理必须在同圆或等圆中使用。 例题讲解 例1 用直尺和圆规把⊙O四等分。 O A B C D 答：作两条互相垂直的直径。 作⊙O的一条直径AB。 过O作CD⊥AB，交圆于C、D。 四个圆心角均为90°，所以对应四段弧相等。 例题讲解 例2 求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。已知在⊙O中，∠AOB＝∠COD，OE、OF分别为弦AB、CD的弦心距。求证OE＝OF。 O A B C D E F 答：OE＝OF。 圆心角定理得AB＝CD，垂径定理得。 OA＝OD，且∠AEO＝∠DFO＝90°。 Rt△AOE≌Rt△DOF，故OE＝OF。 课内练习 1 已知：如图，∠1＝∠2。求证：弧AC＝弧BD。 答：弧AC＝弧BD。 ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC。 ∠BOD＝∠BOC＋∠COD，由∠1＝∠2得两圆心角相等。 由圆心角定理得弧AC＝弧BD。 课内练习 2 等边三角形ABC内接于⊙O。求弧AB，弧BC，弧AC的度数。 答：三条劣弧各为120°。 AB＝BC＝CA，对应三条劣弧相等。 三段弧组成整圆，故各为360°÷3＝120°。 课堂总结 圆心角 圆心角 顶点在圆心 等角对应 同圆等圆中等弧、等弦 弧的度数 圆心角与所对弧同度数 圆的等分 把周角分成相等的角 针对训练 练1 圆心角为72°，它所对的劣弧和其余优弧各是多少度？ O A B C 答：72°、288°。 劣弧与圆心角同度数；优弧为360°－72°。 两条弧的度数和为360°。 针对训练 练2 ⊙O中劣弧AB为148°，求∠AOB。 O A B C 答：148°。 圆心角度数等于它所对弧的度数。 圆心角与所对弧一一对应。 针对训练 练3 两个等圆中，圆心角∠AOB＝∠CPD＝65°，AB＝9cm，求CD。 O P A B C D 答：9cm。 在等圆中，相等圆心角所对的弦相等。 先核对“等圆”条件。 针对训练 练4 圆盘边缘均匀打12个孔，相邻两孔对应的圆心角是多少？ O A B C D E F G H I J K L 答：30°。 。 等分圆转化为等分周角。 针对训练 练5 AB为直径，C在上半圆上，弧AC＝64°，求弧CB。 O A B C 答：116°。 上半圆180°，弧CB＝180°－64°。 选对180°还是360°。 针对训练 练6 圆形转盘均匀分成10个扇形区域，从第1条分界线顺时针跨过3个区域，转过多少度？ O A B C D E F G H I J 答：108°。 每区圆心角36°，3区为。 数区域，不是数包含两端的分界线。 针对训练 练7 一圆形花坛边缘有A、B、C、D四点，∠AOB＝∠COD，弦AB需用钢条1.8m。弦CD需用多长钢条？ 答：1.8m。 同圆中相等圆心角所对弦相等，CD＝AB。 图形位置不同不影响定理。 方法总结 度数计算法 ① 先确定用整圆360°还是半圆180°。 ② 用圆心角与弧的度数对应进行加减。 旋转重合法 ① 选择圆心为旋转中心。 ② 利用等角旋转使两组半径、弦和弧重合。 $