3.3.2 垂径定理（第2课时）（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦垂径定理的两个推论，通过赵州桥、月洞门等生活实例及折纸画图操作导入，承接垂径定理基础，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生探究推论形成过程。 其亮点在于以数学眼光观察现实中的圆，通过严谨证明培养数学思维，结合折叠问题、拱桥半径计算等典例，用数学语言解决实际问题。小结梳理条件与结论，助力学生掌握推理方法，教师可利用其系统设计提升教学效果。

3.3.2垂径定理 （第2课时） 第三章 圆的基本性质 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 通过折纸操作、画图观察与逻辑推理，探究并理解垂径定理两个推论的形成过程，能准确表述两条推论的内容。 掌握两条推论的几何证明思路，分清推论的条件与结论，区分推论 1 中 “弦不是直径” 这个关键前提。 能运用垂径定理的推论完成简单几何推理，解决基础线段、弧相等的证明与计算问题。 新课导入 课程导入：生活中的圆 圆，是自然界中最和谐的几何图形。从宏伟的赵州桥圆弧，到园林中的月洞门，再到我们身边的钟表，圆无处不在。这些设计不仅展现了建筑之美，更蕴含着深刻的数学原理。今天，就让我们一起探索圆的奥秘。 思考一：桥拱的半径之谜 赵州桥的桥拱是一个巨大的圆弧。如果没有现代测量工具，你能利用几何知识计算出它的半径或桥拱的高度吗？试着画出它的几何模型。 思考二：弦与直径的秘密 在圆中任意画一条弦，能否找到一条直径，使其既垂直于这条弦，又能平分这条弦？动手试一试，你能发现其中的规律吗？ 图：中国古代建筑中的圆——赵州桥与园林月洞门 3 新知探究 探索新知：垂径定理推论1 图示：直径CD平分弦AB 已知：在⊙O中，直径CD交弦AB（AB不是直径）于点E，AE=BE。 求证CD⊥AB，. 01 猜想的数学化表达 02 严谨证明步骤 证明：连接OA、OB。 ∵OA，OB是⊙O半径，∴OA=OB，△OAB为等腰三角形。 ∵AE=BE，即OE是等腰△OAB底边AB上的中线。 ∴OE⊥AB，即CD⊥AB，∵OE⊥AB，OA=OB。∴∠AOC=∠BOC，∴ 又∵∠AOD=180°-∠AOC，∠BOD=180°-∠BOC, ∠AOD=∠BOD， . 定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 4 新知探究 探索新知：垂径定理推论2 已知：在⊙O中，直径CD平分，即。 求证：CD⊥AB，AE=BE。 01 猜想的数学化表达 02 严谨证明步骤 证明：连接OA、OB。 ∵，∴∠AOC=∠BOC. 又∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形。 在等腰△OAB中，OE是顶角∠AOB的角平分线。 ∴OE⊥AB，且AE=BE，即CD⊥AB，AE=BE。 图示：直径CD平分弧AB 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 5 新课探究 新知探索：定理总结 ▍ 定理内容1 定理内容：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。这是垂径定理重要推论，由圆的轴对称性质推导而来，圆证明题高频结论。 平分弦（非直径） 直径平分弦，弦不能是直径；若弦本身是直径，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，这是本推论的关键限制条件。 过圆心 直线必须经过圆心（即直径），这是定理的核心前提，确保了对称中心的存在。 垂直关系 直径与弦互相垂直，由等腰三角形三线合一得到。 平分弧 直径同时平分这条弦所对的优弧、劣弧。 6 新课探究 新知探索：定理总结 ▍ 定理内容2 定理内容：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。是垂径定理的另一推论，同样依托圆的轴对称性，建立弧、弦、直径之间的等量与位置关系。 平分弧 直径平分弧（劣弧或优弧），相等的弧对应相等圆心角。 过圆心 直线必须经过圆心（即直径），这是定理的核心前提，确保了对称中心的存在。 垂直关系 直径与弧所对的弦互相垂直。 平分弧 直径平分弧所对的弦，将弦分成两段相等线段。 7 典例1 将半径为10的⊙O如图折叠，折痕AB长为16，C为折叠后的 中点，则OC的长为？ 典例分析 解：解 延长OC交⊙O于点D,交AB于点E,连接OA、OB、AC、BC，∵C为折叠后的中点， ∴=，∴AC=BC,∵OA=OB，∴OC是AB的垂直平分线，∴AE=BE=AB=8. 在Rt△AOE中，OE==6，∴DE=OD-OE=10-6=4, ∴沿AB折叠得到，CD⊥AB, ∴点C和点D关于AB对称，∴CE=DE=4, ∴OC=OE-CE=6-4=2, 练一练 如图，AD是☉O的直径，弦BC与AD交于点E，连接AB、AC、 CD、BD，若BD=CD，∠BAC=50°，则∠ABC的度数为？ 典例分析 解：∵BD=CD, ∴=, ∵AD是☉O的直径， ∴AD⊥BC，= ∴AB=AC，∠AEB=90°, ∵∠BAC=50°, ∠DAB=∠BAC=25°, ∴∠ABC=90°-∠DAB=65°; 典例分析 某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图，这是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度AB（弧所对的弦）的长为8米，拱高CD（弧的中点到弦AB的距离）为2米．求该圆弧所在圆的半径. 典例2 解：∵OD经过圆心，D为弧AB中点， ∴AC=BC=AB=4，OD⊥AB 设⊙O的半径为r米，则OC=(r-2)米. 在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC²+OC²=AO²,即4²+(r-2)²=r2, 解得r=5. 即该圆弧所在圆的半径为5米. 练一练 如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=2m，CD=5m，则拱门所在圆的半径为 。 典例分析 解：如图所示，连接BO, ∵点D是AB的中点， ∴OD⊥AB，BD=AB=1 设BO=r，则OD=5-r, 在Rt△OBD中，根据勾股定理，得OB²=OD²+BD²,即r2=(5-r)²+1², 解得r=2.6. 典例分析 如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，∠BAC=120°. 典例3 （1）作△ABC的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）； 典例分析 如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，∠BAC=120°. 典例3 （2）求它的外接圆半径； 解：连接AO，BO, ∵AB=AC=6cm，∠BAC=120°，∴=∴OA⊥BC, ∴∠BAO=∠CAO=60°, ∵AO=BO, ∴△ABO是等边三角形， ∴AB=AO=6cm，即它的外接圆半径为6cm. 典例分析 如图，在☉O中，AB是弦，DE是直径，且DE经过AB的中点C，连接AE. 练一练 (1)用尺规作图作出弦AE的垂直平分线OF,并标出OF与AE的交点F；(保留作图痕迹，不写作法) 典例分析 如图，在☉O中，AB是弦，DE是直径，且DE经过AB的中点C，连接AE. 练一练 (2)在(1)的条件下，若☉O的半径为5，AB=8，求OF的长. 解：连接OA，∵DE是直径，且DE经过AB的中点∴AC=CB=÷AB=4DE⊥AB ∵OA=5，∴OC==3, ∴CE=5+3=8，∴AE===4, AF=EF=AE=2, ∴OF== 课堂小结 06 课堂小结 · 重点回顾 01 核心定理：垂径定理推论 1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。注意前提：弦不能是直径，任意两条直径互相平分，但不一定垂直。 02 核心定理：垂径定理推论 2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。可用于找弧中点、作弦的垂直平分线，是尺规作图的理论依据。 03 解题策略：辨析定理条件 ① 平分的弦不是直径，才能推出垂直； ② 已知平分弧，可直接得到直径垂直平分弦； 结合半径、弦心距、半弦长的直角三角形，用勾股定理计算。 课堂练习 1.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果D是☉O中弦AB的中点，CD经过圆心交☉O于点C，并且AB=12米，CD=9米．则☉O的半径为（ ） A. 6米 B. 米 C. 7米 D. 米 课堂练习 2.如图，已知☉O的直径AB平分弦CD（不是直径），若∠BDC=25°，则∠BOD=（ ） A. 60° B. 50° C. 55° D. 45° 课堂练习 3.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，以AB为直径的☉O交BC于点D，交CA的延长线于点E，若点E在BD的垂直平分线上，则∠C的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 课堂练习 4.赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7m，则赵州桥主桥拱的半径约为___m(结果保留整数) 28 证明：连接OE、OF，则OE=OF， ∵C、D为OA、OB三等分点，∴OC=OD=OA. ∵E、F为的三等分点，∴== ∴∠FOD=∠EOC, ∴△ODF≅△OCE(SAS), ∴DF=CE; 课堂练习 5.如图，A、B是☉O上的两个点，连接OA、OB，点C，D是OA、OB上靠近圆心O的三等分点，点E、F是的三等分点，连接DF，CE， (1)求证：DF=CE 解：CD//EF。理由如下： 取的中点M，连接OM，则=, ∴=+=+= OM⊥EF,∴∠BOM=∠MOA, ∵△COD为等腰三角形，OC=OD, ∴OM⊥CD,∴CD//EF. 课堂练习 5.如图，A、B是☉O上的两个点，连接OA、OB，点C，D是OA、OB上靠近圆心O的三等分点，点E、F是的三等分点，连接DF，CE， (2)连接CD、EF，请你判断CD、EF的位置关系，并说明理由. $