3.2.1 圆心角（第1课时）（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆的基本性质中圆心角的概念及定理，通过圆形纸片旋转操作引出圆的旋转不变性，进而定义圆心角，搭建“操作感知—概念形成—定理探究”的学习支架，衔接圆的对称性与圆心角、弧、弦的关系。 其亮点在于以动手探究和合作学习为核心，通过旋转扇形验证圆心角定理、推导1°弧概念，培养学生几何直观与推理意识。典例分析结合全等证明与勾股定理，强化运算能力，课堂小结结构化梳理知识，助力学生构建逻辑体系，教师可直接利用丰富实例提升教学效率。

3.2.1圆心角 （第1课时） 第三章 圆的基本性质 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解圆心角定义，牢记圆心角定理，明确定理适用条件为同圆或等圆，掌握相等圆心角、弧、弦之间的等量关系。 认识弦心距概念，能证明 “同圆或等圆中，相等圆心角所对弦的弦心距相等” 这一推论。 综合运用圆心角定理及弦心距推论，完成相关几何证明与线段、弧长等量计算。 新课导入 动手操作（教具：圆形纸片、图钉） 请学生拿出课前准备的圆形纸片，用图钉固定圆心 O。 活动 1：将圆绕圆心旋转 180°，提问：旋转后的圆和原来的圆能完全重合吗？说明圆是什么图形？ 圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 活动 2：继续将圆绕圆心随意旋转任意小角度，再次观察：旋转后的图形依然和原图重合。 圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合 3 新课导入 设问过渡，引出新知 利用圆的旋转不变性，我们能研究圆中一类特殊的角。观察老师画图：顶点固定在圆心，两条边与圆相交形成的角，它有什么特征？ 顶点在圆心，两条边都与圆周相交的角叫做圆心角。如图∠AOB 核心两个条件（缺一不可） ① 角的顶点必须是圆的圆心； ② 角的两条边都是圆的半径。 4 做一做 下图中∠AOB是圆心角的有哪些？如果不是，请说明理由。 提示1：圆心角的顶点要在圆心 提示2：圆心角的另外两个端点要在圆上 5 合作学习 动手探究 已知：☉O中，∠AOB=∠COD 1.固定圆心O，将扇形AOB绕圆心旋转，使半径OA与OC重合； 2.因为∠AOB=∠COD，旋转后OB与OD完全重合； 3.A落到C，B落到D，因此： ①弧与弧完全重合； ②弦AB与弦CD完全重合。 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 6 合作学习 探究活动 ：1°的弧 如果以☉O的圆心O为端点作360条射线，把以O为顶点的周角360等分，那么根据圆心角定理，这些射线也把圆360等分。每相邻两条射线所成的圆心角是1°的角，我们把1°圆心角所对的弧叫作1°的弧。这样，n°的圆心角所对的弧就是n的弧。 7 典例1 如图，在扇形OAB中，点C在上，连接OC，AC，BC， ∠ACB=132°，若∠BOC=2∠AOC，则的度数是多少？ 典例分析 解：∵AO=OC，OC=OB， ∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC， ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OAC+∠OBC，∵∠AOB+∠OAC+∠OBC+∠ACB=360°，∴∠AOB+2∠ACB=360°， ∴∠AOB=360°-2∠ACB=96°， ∵∠BOC=2∠AOC，∠AOC=∠AOB=32° 则的度数为32° 练一练 如图所示，☉O经过五边OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°， ∠A=60°，∠D=60°，则的度数是多少？ 典例分析 解：连接OB、OC，如图， ∵OA=OB，OC=OD， ∴∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°， ∴∠AOB=180°-2×65°=50°，∠COD=180°-2×60°=60°，∴∠BOC=∠AOD-∠AOB-∠COD=150°-50°-60°=40°，的度数为40°. 合作学习 概念引入 如图，AB是O的弦，过圆心O作OE⊥AB，垂足为E。 弦心距定义：圆心到一条弦的垂线段的长度，叫做这条弦的弦心距（OE）。 连接半径OA，得到Rt△OEA 设：半径OA=r，弦心距OE=d，弦长AB=l 由垂径定理：AE= 勾股定理： 10 合作学习 已知：如图所示，在☉O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，OF是弦CD的弦心距。 求证：OF=CD 证明：因为∠AOB=∠COD，所以AB=CD(圆心角定理)。因为OE⊥AB，AO=BO， 所以AE=BE=AB(等腰三角形“三线合一”)。 同理，由OF⊥DC，得DF=CF=CD。 所以AE=DF。 又因为OA=OD，可得Rt△AOE≌Rt△DOF， 所以OE=OF。 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。 11 典例分析 已知，在☉O中，∠AOB=∠COD，OE⊥AB，垂足为E，OF⊥CD，垂足为F。 求证：OE=OF 典例2 证明：在△AOB和△COD中， ∴△AOB≌△COD(SAS) ∴AB=CD，∠OAE=∠OCF ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴∠OEA=∠OFC=90° 在△OAE和△OCF中， ∴△OAE≌△OCF(AAS)。∴OE=OF 逆向拓展 已知：在☉O中，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，且OE=OF。 求证：∠AOB=∠COD 典例分析 证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠OEA=∠OFC=90° 在Rt△OAE和Rt△OCF中， ∴Rt△OAE≌Rt△OCF(HL) ∴∠OAE=∠OCF 同理可证：Rt△OBE≌ Rt△ODF，∠OBE=∠ODF 在△AOB与△COD中， ∴△AOB≌△COD(ASA) ∴∠AOB=∠COD 典例分析 如图，△ABC中，∠C=90°，以AC为半径的☉C与AB相交于点D. 典例3 (1)若∠B=35°，求的度数 解：连接CD ∵∠ACD=90°，∠B=35°,∴∠A=55°,∵CA=CD, ∴∠CDA=55°,∴∠ACD=180°-55°-55°=70°, 的度数为70°; (2)若AC=3，BC=4，求DB的长. 解：AH=DH=AD，∵AC=3，BC=4，∴AB=5， AC•BC=AB•CH，CH=AH== ∴AD=2AH= BD=AB-AD=5-= 典例分析 如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB的长为半径作圆，分别交AD、BC于点E、F，延长BA交☉A于点G. 练一练 (1)求证： (1)证明：如图，连接AF. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC, ∴∠DAF=∠AFB，∠GAD=∠B. ∵AB=AF，∴∠B=∠AFB， ∴∠GAD=∠DAF，∴ 典例分析 如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB的长为半径作圆，分别交AD、BC于点E、F，延长BA交☉A于点G. 练一练 (2)若F为的中点，求∠C的度数. (2)解：∵F为的中点， ==，:∠BAF=60° ∵AB=AF, ∠B=∠AFB=(180°-∠BAF)=60° ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD, ∴∠C=180°-∠B=120°. 知识与技能 知识点1、圆心角定理 内容：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。核心要点 1.前提条件：同圆或等圆，缺一不可； 2.等量传递：圆心角相等→弧相等→弦相等。 知识点2、圆心角与弦心距的关系 内容：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。 推导逻辑 相等圆心角→弦相等，再结合三角形全等，证得弦心距相等。 课堂小结 课堂练习 1.如图，已知AB为O的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的则所对的圆心角度数为（ ） A.100° B.120° C.135° D.150° 课堂练习 2.如图，AB、CD是☉O的直径，，若∠AOE=35°，则∠COE的度数是（ ） A.35° B.60° C.65° D.70° 课堂练习 3.如图，AB是O的直径，点C、D依次在AB上，连接OC、OD、AD。若∠COD=2∠OAD，则图中与相等的弧是 . 课堂练习 4.有学者研究表明，我国古代制作铜镜背面花纹时，所采用的四等分圆周的一种方法是如图所示，先由圆心画出圆的一条直径，再用“矩”(一种直角曲尺，可以画直角)过圆心垂直于第一条直径画出第二条直径，则这两条直径的四个端点将圆周四等分 请用你学过的一个定理解释这种四等分圆周的方法的道理： . 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等 课堂练习 5.如图，已知D、E分别为半径OA，OB的中点，C为的中点. (1)求证：CD=CE; (1)证明：连接OC ∵C为AB的中点，∴∠AOC=∠BOC, ∵D、E分别为半径OA、OB的中点，OA=OB, ∴OD=OE,在△COD和△COE中， ∴△COD≌△COE(SAS), ∴CD=CE. 课堂练习 5.如图，已知D、E分别为半径OA，OB的中点，C为的中点. (2)若∠AOB=120°,OA=6，求△OAC面积. (2)解：如图：过C点作CF⊥OA于点F， ∵∠AOC=120°,∴∠FOC=60°, 在Rt△OFC中，∠OCF=30°,OC=OA=6 ∴OF=OC=×6=3 由勾股定理得 ∴ $