3.5 圆周角（第1课时）课件 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第3章　圆的基本性质 3.5 圆周角（第1课时） 圆周角定理与直径所对的圆周角 数学新教材浙教版　九年级上册 新知讲授 怎样避开暗礁 情境 两个灯塔A、B之间有一个弓形暗礁区。从弧上的C点看两灯塔，张角为50°。 问题 船上无法测量到圆心的距离，能否利用张角判断航线是否安全？ 新知讲授 圆周角怎样识别 定义 ∠BAC的顶点在圆上，它的两边都和圆相交。像这样的角叫做圆周角（inscribed angle）。 识别 图中∠BAC、∠BDC均为圆周角，所对的都是不含角顶点的弧BC。 新知讲授 测量同一条弧所对的角 操作 量出∠BAC与它所对弧BC上的圆心角∠BOC。 猜想 改变A在另一条弧上的位置，圆周角仍为同弧所对圆心角的一半。 O A B C E 新知讲授 圆周角定理 定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 表达 ，两角必须对应同一条弧。 O A B C E 新知讲授 证明：圆心在角的一边上 等腰 OA＝OC，所以∠BAC＝∠ACO。 外角 ∠BOC是△AOC的外角，等于∠BAC＋∠ACO＝2∠BAC。 新知讲授 证明：圆心在角的内部 辅助线 延长AO交圆于D，将∠BAC拆成∠BAD与∠DAC。 相加 两角分别等于对应圆心角的一半；把等式相加得。 新知讲授 证明：圆心在角的外部 辅助线 延长AO交圆于D，用∠DAC－∠DAB表示∠BAC。 相减 将两角分别换成圆心角的一半，再相减，仍得。 新知讲授 直径与直角 推论 半圆（或直径）所对的圆周角是直角。 推论 90°的圆周角所对的弦是直径。 理由 半圆对应180°圆心角，圆周角为90°；反向推理同样成立。 O A B C 例题讲解 例1 等腰三角形ABC的顶角∠BAC为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于D，交AC于E。求弧BD、弧DE和弧AE的度数。 A B C D E 答：弧BD＝50°，弧DE＝50°，弧AE＝80°。 连结AD、BE；由直径得∠ADB＝∠AEB＝90°。 等腰三角形中AD平分顶角，∠BAD＝∠CAD＝25°；∠ABE＝40°。 由圆周角定理，三条弧度数分别为对应圆周角的2倍。 课内练习 1 已知一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角是多少度？ O A B C 答：100°。 同弧所对圆心角是圆周角的2倍，2×50°＝100°。 课内练习 2 已知一条弧的度数为40°。求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。 O A B C 答：圆心角40°，圆周角20°。 圆心角与所对弧同度数。 圆周角为40°的一半。 课内练习 3 只给你一把三角尺，你能找出一个圆的圆心吗？试一试。 O A B C 答：能；画两条直径，它们的交点就是圆心。 把三角尺的直角顶点放在圆上，两直角边与圆再交于A、B，AB是直径。 换一个位置重复操作，得到另一条直径，两直径相交确定圆心。 课堂总结 圆周角 圆周角 顶点在圆上，两边交圆 基本关系 同弧圆周角为圆心角一半 三类证明 边上、内部、外部 直径与直角 直径对直角，直角对直径 针对训练 练1 一条弧所对圆心角为126°，求同弧所对圆周角。 O A B C 答：63°。 。 先确认对应同一条弧。 针对训练 练2 圆周角∠ACB＝34°，求它所对弧AB的度数。 O A B C 答：68°。 弧AB度数等于对应圆心角，故为2×34°。 所对的弧不含圆周角顶点C。 针对训练 练3 AB是直径，C在圆上，∠CAB＝28°，求∠ABC。 O A B C 答：62°。 ∠ACB＝90°。 ∠ABC＝180°－90°－28°＝62°。 直径先给出一个直角。 针对训练 练4 AB为直径，C在圆上，AC＝6cm，BC＝8cm，求圆的半径。 O A B C 答：5cm。 ∠ACB＝90°，AB＝10cm。 半径为AB的一半，即5cm。 AB是斜边，不是直角边。 针对训练 练5 A、B、C是圆上三点，∠ACB＝90°，AB＝18cm，求圆半径。 O A B C 答：9cm。 90°圆周角所对的AB为直径。 r＝18÷2＝9cm。 反向使用推论。 针对训练 练6 ∠AOB＝110°，圆周角顶点C在劣弧AB上。求∠ACB。 O A B C 答：125°。 ∠ACB所对的是优弧AB，度数360°－110°＝250°。 圆周角为250°÷2＝125°。 不要直接把图中的劣角110°除以2。 针对训练 练7 半圆门直径AB＝10m，门弧上有C点，AC＝6m。需安装杆BC，杆长多少？ O A B C 答：8m。 半圆所对∠ACB＝90°。 m。 将实际支撑杆放入直角三角形。 针对训练 练8 舞台圆心O，两台灯A、B对应圆心角84°。观众C在另一段圆弧上，求两灯在C处形成的张角。 O A B C 答：42°。 观众C不在劣弧AB上，所对弧对应84°圆心角。 圆周角等于圆心角一半。 说明观测点所在的圆弧。 方法总结 角度换算法 ① 先指出圆周角所对的不含顶点的弧。 ② 同弧圆心角、圆周角按2比1换算。 直径构造法 ① 看到直径就找圆上第三点组成直角。 ② 用三角形内角和或勾股定理继续求解。 $