第5讲 圆心角与圆周角（培优教程）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 第五讲圆心角与圆周角 牵手重高 知识梳理 今要点诠释》距 一、圆心角 1.定理. 在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 2.推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的 “弧”是指同为优弧或劣弧. 3.正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为在同圆或等圆中：①圆心角相等；②所对的弧相等；③所对的弦相 等.三项“知一推二”，一项相等，其余两项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即圆绕其圆心旋 牵手重高 转任意角度，所得图形与原图形完全重合. 【例1】(1)如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB 于点D,交AC于点E,则BD的度数为50°· (2)如图2，圆O通过五边形OABCD的四个顶点，若ABD的度数为150°，∠A=65°， ∠D=60°，则BC的度数为 (B) A.25 B.40 C.50° D.55° (3)如图3，A是半圆上一个三等分点（靠近点N这一侧），B是弧AN的中点，P是直径 MN上的一个动点.若⊙O的半径为3，则AP+BP的最小值为3√2 B D B M N D P B C 图1 图2 图3 牵手重高 (例1) 【变式训练1】如图，在⊙O中，若AB=BC=CD,则AC与2CD的大小关系是AC< 2CD.(选填“>”“<”或“=”) A B C 0 D (变式训练1) 牵手重高 【变式训练2】点A,B,C在⊙O上，∠AOB=100°，∠BOC=40°，则∠ABC=110°或30° 牵手重高 【例2】(1)如图1，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦相等，则∠BOC= 125° (2)如图2，在同圆中，弧AB的长等于弧CD的2倍，则AB与2CD的大小关系是(B) A.AB>2CD B.AB<2CD C.AB=2CD D.不能确定 A A D 6 B C B 图1 图2 （例2) 牵手重高 【变式训练3】如图，已知AB,CD是⊙O的直径，AE=AC,∠BOD=32°，则∠COE的度数 为64度. E D B (变式训练3) 牵手重高 【变式训练4】如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E,OD⊥AC,垂足为 点F,AC=BD,则弦AC的长为 3W3 C E F B (变式训练4) 牵手重高 【变式训练5】如图，已知C,D是半圆AB上的三等分点，连结AC,BC,CD,OD,BC和OD 相交于点E.则下列结论： E A B (变式训练5) ①∠CBA=30;②0D⊥BC,③0E=2AC,④四边形A0DC是菱形. 正确的是①②③④.（写序号） 牵手重高 【变式训练6】如图，A,B,C,D是⊙O上的四个点，若AB+CD=BC十AD,且弦AB=8, CD=4,则⊙O的半径为2√5 B 0 D (变式训练6) 牵手重高 【变式训练7】如图，⊙O的半径为1cm,弦AB,CD的长度分别为√2cm,1cm,则弦AC,BD 所夹的锐角a=75度. 0。 A ag C B (变式训练7) 牵手重高 【变式训练8】如图，在平面直角坐标系xOy中，扇形OAB的圆心角∠AOB=60°，点A在x 轴正半轴上且OA=2,C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对 称点为点E.若点E落在扇形OAB内（不含边界），则点E的横坐标x的取值范围为 √2+√5.-√6≤x<2√3-2 B C E。 D (变式训练8) 牵手重高 二、圆周角 1.圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交.二者缺一不可· 2.圆周角定理. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半， 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径. 3.辅助线. 在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能一 定要掌握. 4.注意. ①圆周角和圆心角可通过作圆的半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的顶点和底角 的关系进行转化；②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”一圆心角转化：③定理成立 的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的 圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角， 牵手重高 【例3】如图，AB是⊙O的直径，点C,D都在⊙O上，∠ABC=50°，则∠BDC的大小是 40° C D A B 0 (例3) 牵手重高 【变式训练9】如图，在⊙O中，A,B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直径CD∥AB,连结 AC,则∠BAC的度数是 35 D C A B (变式训练9) 牵手重高 【变式训练10】如图，点A,B,C在⊙O上，AD是∠BAC的平分线.若∠BOC=120°，则 ∠CAD的度数为30°· A C B D (变式训练10) 牵手重高 【变式训练11】如图，AB为⊙O的直径，点C,D在⊙O上.若∠CBA=70°，则∠D的度数是 20° A B D (变式训练11) 牵手重高 【变式训练12】如图，A,B,P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为 (D) A.2 B.4 C.√2 D.2√2 P o A B (变式训练12) 牵手重高 【变式训练13】如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O,P是优弧上一点，则 ∠APB的度数为 (D) A.45° B.30° C.75° D.60° B (变式训练13) 牵手重高 三、圆内接四边形 1.圆内接四边形的性质 (1)圆内接四边形的对角互补. (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 2.注意. 圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周 角定理结合起来，在应用时要注意是对角，而不是邻角互补. 牵手重高 【例4】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A=100°，则∠DCE的度数为100°· D Q B C 一E (例4) 牵手重高 【变式训练14】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E,BA 与CD的延长线交于点F,∠DCE=85°，∠F=30°，则∠E的度数为40° E D O。 B A (变式训练14) 牵手重高 【变式训练15】如图，点A,B,C,D,E在⊙0上，且AB为50°，则∠E+∠C=155°· E ●O A B (变式训练15) 牵手重高 【变式训练16】如图，点A,B,C,D在⊙O上，CB=CD,∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB= 70° D 0 A B (变式训练16) 牵手重高 【变式训练17】如图，A,B,C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形，若点D是圆上异于A, B,C的另一点，则∠ADC的度数是60°或， 120° B (变式训练17) 牵手重高 【变式训练18】如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB=5,AD=7,∠BAD=60°，C为BD 的中点，则AC的长是4√3. 0 B D C (变式训练18) 牵手重高 【变式训练19】如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4√2，弦CD=DE=4,连结OB, OD,则图中两个阴影部分的面积和为10π B D 0 (变式训练19) 牵手重高 四、圆内接正多边形 把一个圆分成(n是大于2的自然数)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个 圆的内接正多边形，这个圆叫作这个正多边形的外接圆. 牵手重高 【例5】如图，A,B,C,D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心.若∠ADB=20°，则这 个正多边形的边数为九· 0. C B A (例5) 牵手重高 【变式训练20】下图中分别是⊙O的内接正三角形ABC,正四边形ABCD,正五边形ABCDE, …,正n边形ABCD…,点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动. (1)图1中∠APN的度数是60°；图2中∠APN的度数是90°；图3中∠APN 的度数是108°· (n-2)180° (2)∠APN的度数与正多边形的边数n的关系为 n A A D D P B B M 夕 B M M 图1 图2 图3 图n (变式训练20) 牵手重高 【变式训练21】(1)如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，P为劣弧BC上一动点.求证：PA =PB+PC. (2)如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P为劣弧BC上一动点.求证：PA=PC +√2PB. D .0 B B 图1 图2 (变式训练21) 牵手重高 解：证明：(1)如图所示，延长BP至点E,使PE=PC,连结CE, .A,B,P,C四点共圆， ∴.∠BAC+∠BPC=180°， .∠BPC+∠EPC=180°， ∴.∠BAC=∠EPC=60°， .PE=PC, ∴△PCE是等边三角形， B ∴.CE=PC,∠E=60°； 又.∠BCE=60°+∠BCP, ∠ACP=60°+∠BCP, ∴.∠BCE=∠ACP, "E .△ABC,△ECP为等边三角形， ∴.CE=PC,AC=BC, CE=PC, 在△BC和△APc中，∠BCE∠ACn,论EBE会PBS, 牵手重高 BC=AC, (2)如图所示，过点B作BE⊥PB交PA于点E,连结OA,OB, .∠1+∠2=∠2+∠3=90°， A ∴.∠1=∠3， :∠APB=安∠A0B=45, ∴.BP=BE, ∴.PE=√2PB, BE=BP, 在△ABE和△CBP中，∠1=∠3， AB=BC, ∴.△ABE≌△CBP(SAS), ∴.PC=AE, ,∴.PA=AE+PE=PC+√2PB. 牵手重高 【变式训练22】(1)如图1，M,N分别是⊙O的内接正三角形ABC的边AB,BC上的点，且 BM=CN,连结OM,ON,求∠MON的度数.∠MON=120° (2)在图2一图n中，M,N分别是⊙O的内接正方形ABCD,正五边形ABCDE,·,正n边 形ABCDEFGH…的边AB,BC上的点，且BM=CN,连结OM,ON,则图2中∠MON的 度数是90°；图3中∠MON的度数是 72°；由此可猜测图n中∠MON的度数 是 360° n (3)当3≤≤8时，从这6个正多边形中任取2个图形，恰好都是中心对称图形的概率是 1 5 A E G A D H E A M B B B 图1 图2 图3 图n 牵手重高 (变式训练22) 【变式训练23】如图，在正六边形ABCDEF中，P是AB边上一点，PM∥AF且交EF于点 M,PN∥BC且交CD于点N. (1)请直接写 PM+PN的值：3 ED (2②)若子①求证：PB=2PA:@求的值。 FD (2)①证明：如图(2)所示， E D E 作AH∥EF交PM于点H, M 作BG∥CD交PN于点G, 设AP=a,PB=b,则AF=BC=a+b,F 易知：PM=2a+b,PN=a+2b, .PN:PM=5:4, A P B .(a+2b):(2a+b)=5:4, 图1 图2 ∴.4a+8b=10a+5b, (变式训练23) ∴.b=2a,∴.PB=2PA; 牵手重高 ②如图(3)所示，延长FE交CD的延长线于点K,连结DF,作 NT⊥EK于点T,EW⊥DF于点W.设正六边形的边长为6m. 由(2)可知PA=2m,PB=4m,易知EM=4m,DN=2m,K1 =10m,KN=8m, 在Rt△KNT中，.'∠NTK=90°，∠K=60°， ∴TK=之KN=4m,TN45m 在Rt△MTN中，.'∠MTN=90°，TM=6m, ∴.MN=√TM+TNz=/(6m)2+(45m)2=2√2Im, 在Rt△EFW中，FW=EF·cos30°=3√3m, .EF=ED,EW⊥DF, ∴.FW=WD, ∴.DF=6√3m, FD 6W3m=3W7 ·MN 牵手重高 2 21 m 7