3.5圆内接四边形 课件 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第3章 圆的基本性质 3.5圆内接四边形 （浙教版）九年级 上 01 教学目标 01 02 03 理解圆内接四边形、四边形外接圆的定义，掌握圆内接四边形对角 互补的性质定理。 能运用圆周角定理推导证明圆内接四边形对角互补，会利用该性质 进行角度计算与简单推理。 在定理探究与证明过程中，体会转化思想，提升圆中几何推理、逻 辑表达的能力。 02 新知导入 怎样把圆柱形原木锯成截面为正方形的木材，并使截面正方形的面积尽可能地大？ 03 新知讲解 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫作圆的内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆。 定义 如图所示，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形， ⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆. 03 新知讲解 任意画一个圆，在圆上依次取四个点A，B，C，D，连结AB，BC，CD，DA。 请测量四边形 ABCD 中任意一组对角的度数，计算它们的和。你发现了什么？你的同伴是否有同样的发现？ 合作学习 ∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º. 03 新知讲解 如何证明你的猜想呢？ 思考 因为∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α， 同理， 证明:连接 OB，OD． 所以∠A+ ∠C= （ ∠α + ∠β ）=180 所以∠A= ∠β， ∠C = ∠α 又因为∠α+∠β=360 所以∠B+ ∠D=180 α β 03 新知讲解 圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补. 符号语言： 如图，因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 说明：每一个圆都有无数个内接四边形,但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆. 03 新知讲解 思考 C O D B A 因为弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， 所以∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， E 因为∠BCD＋∠DCE＝180°. 所以∠A＝∠DCE. 图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ 03 新知讲解 推论： 圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. C O D B A E 03 新知讲解 例1 已知：如图，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，与△ABC的外接圆交于点D。求证：DB＝DC。 分析：要证明 DB＝DC，只需证明∠DBC＝∠DCB。根据“在同圆中，同弧所对的圆周角相等”，得∠DBC＝∠DAC。又根据“圆内接四边形的对角互补”和“同角的补角相等”，可得∠DCB＝∠DAE。而已知∠DAC＝∠DAE， 这就证明了∠DBC＝∠DCB。 03 新知讲解 例1 已知：如图，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，与△ABC的外接圆交于点D。求证：DB＝DC。 证明：因为AD是∠EAC的平分线， 所以∠DAC＝∠DAE。 因为四边形ABCD内接于圆O， 所以∠BAD＋∠DCB＝180（° 圆内接四边形的对角互补）， 所以∠DCB＝∠DAE（根据什么？）。 而∠DAC＝∠DBC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等）， 得∠DCB＝∠DBC， 所以DB＝DC。 03 新知讲解 例2 如果要把横截面直径为30 cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15 m，问：锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？ 解：设原木的横截面为☉O（如图）。要使锯出 的木材的横截面正方形 ABCD 尽可能地大，正方形 ABCD 应内接于☉O。由正方形 ABCD 四个内角都是 直角，得它的两条对角线是☉O 的两条直径，且这两条 直径互相垂直。所以只要在☉O 内作两条互相垂直的 直径AC和BD，就可以作出☉O的内接正方形ABCD。 03 新知讲解 例2 当原木的直径为30 cm时，AO＝BO＝15 cm， 正方形ABCD的面积为4××AO×BO＝4××15×15＝450（cm2） ＝4.50×10-2（m2）。 所以木材的体积为4.50×10-2×15＝0.675（m3）。 答：如图，沿正方形 ABCD 的四条边，就可以锯出符合要求的截面为正方形的木材。如果这根原木长15 m，那么锯出木材的体积为0.675 m3。 04 课堂练习 1. 如图，四边形ABCD内接于☉O，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（　D　） A. 70° B. 110° C. 120° D. 140° D 04 课堂练习 2. 如图，☉C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的 坐标为（0，3），M是第三象限内 上一点，∠M＝120°，则☉C的 半径为（　C　） A. 6 B. 5 C. 3 D. 3 C 04 课堂练习 3. 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点 E，BA与CD的延长线交于点F. 若∠DCE＝80°，∠F＝25°，则 ∠E的度数为 ⁠. 45°　 04 课堂练习 4. 如图，点A，B，C，D，E在☉O上，且 的度数为50°，则∠E ＋∠C＝ ⁠. 155°　 04 课堂练习 5. 如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线相交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，求∠C的度数. 解：因为∠ABC＝100°，所以∠ABP＝180°－∠ABC＝180°－ 100°＝80°.因为∠P＝30°，所以∠DAB＝∠P＋∠ABP＝30°＋ 80°＝110°.所以∠C＝180°－∠DAB＝180°－110°＝70° 05 课堂小结 圆内接四边形 圆内接四边形的对角互补. 每一个圆都有无数个内接四边形,但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆. 圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角. 06 板书设计 3.5圆内接四边形 圆内接四边形： $