1.3 二次函数的性质（第1课时） 课件 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第1章　二次函数 1.3 二次函数的性质（第1课时） 二次函数的增减性与最大值最小值 数学新教材浙教版　九年级上册 情境引入 篮球飞行中的最高位置 问题背景 篮球投出后沿抛物线的一段运动。我们已会找顶点，现在要研究函数值怎样变化，怎样确定最高或最低位置。 观察任务 比较开口向上和开口向下的图象：从左到右看，函数值在顶点两侧怎样变化？ 合作学习 观察 观察图中的两个开口向上的二次函数图象：（1）当自变量增大时，函数值怎样变化？（2）顶点是最高点还是最低点？ -4 -2 2 4 6 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 x y O 答：顶点左侧，函数值随增大而减小；右侧随增大而增大；顶点最低。 图中顶点为。 顶点为。 合作学习 观察 观察图中的两个开口向下的二次函数图象，回答相同问题，并说出哪一个系数决定开口方向。 2 4 6 -8 -6 -4 -2 2 x y O 答：顶点左侧函数值随增大而增大；右侧随增大而减小；顶点最高。 二次项系数a的符号决定开口方向。 图中两条曲线的都小于0。 新知讲授 函数的最大值与最小值 概念 在自变量的取值范围内，函数值满足（或），且等号能成立，我们就说函数有最大值（或最小值）. 注意成立条件 既要所有函数值不超过（或不小于），还要存在允许的自变量使等号成立。 图上的含义 开口向上的整条抛物线有最低点；开口向下的整条抛物线有最高点。 新知讲授 a大于0时的性质 增减性 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大. 最小值 当时，达到最小值：；无最大值. -2 2 4 -4 -2 2 4 6 x y O 新知讲授 a小于0时的性质 增减性 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 最大值 当时，达到最大值：；无最小值. -2 2 4 -6 -4 -2 2 4 x y O 新知讲授 图象与x轴交点的三种情况 令函数值为0 交点横坐标满足。交点个数与这个方程的实数根个数一致。 判别情况 ：两个交点；：一个交点；：没有交点。 图中对照 、、分别展示两个、一个和没有交点的情形。 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 5 x y O 例题讲解 例 已知函数。 （1）求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象； （2）自变量在什么范围内时，随的增大而增大？何时随的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。 答：顶点，对称轴。 。 ，。 例题讲解 例 已知函数。 （1）求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象； （2）自变量在什么范围内时，随的增大而增大？何时随的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。 答：与轴交于；与轴交于、。 令，得。 令，化为，解得或1。 例题讲解 例 已知函数。 （1）求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象； （2）自变量在什么范围内时，随的增大而增大？何时随的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。 -15 -10 -5 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35 x y O A B C D 答：先标出顶点和三个坐标轴交点，再画大致图象。 ，图象开口向下；以为对称轴。 两零点的中点为，与顶点横坐标一致。 例题讲解 例 已知函数。 （1）求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象； （2）自变量在什么范围内时，随的增大而增大？何时随的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。 -15 -10 -5 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35 x y O A B C D 答：时递增，时递减；最大值为32，无最小值。 开口向下，顶点左侧上升、右侧下降。 当时达到最大值32。 课内练习 练习1 已知函数。 （1）求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标轴交点的坐标，并画出函数的大致图象； （2）记当时对应的函数值分别为，试比较的大小。 -2 2 4 6 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y O P 答：顶点，对称轴。 配方：。 与轴交点为，与轴交点为。 课内练习 练习1 已知函数。 （1）求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标轴交点的坐标，并画出函数的大致图象； （2）记当时对应的函数值分别为，试比较的大小。 -2 2 4 6 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y O P 答：。 因为，三点都在对称轴左侧或轴上。 这一侧随增大而减小，因此。 课内练习 练习2 求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值。 （1） 。 （2） 。 （1） 答：最小值，此时。 ，因，有最小值。 （2） 答：最大值，此时。 。 新知讲授 在同一侧比较函数值 先找轴 对，对称轴是。 再判区间 若比较的横坐标都不大于1.5，就处在同一段递减区间；不能把“x越大y越大”当作通用规则。 跨轴时的办法 先借助对称性移到同一侧，或直接代入求值；比较时要说明依据。 -2 2 4 6 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y O P 新知讲授 图象与方程的联系 从函数到方程 令，求得的是二次函数图象与轴交点的横坐标。 从方程到图象 把方程左边看作函数，观察图象与轴是否相交，可判断实数根的个数。 例题中的核对 ，两个交点横坐标的中点是，恰在对称轴上。 -15 -10 -5 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35 x y O A B C D 课堂总结 二次函数的性质 找对称轴 ，分清顶点两侧 看增减 a正先减后增；a负先增后减 找最值 顶点纵坐标给出相应最大值或最小值 求交点 令x=0求纵轴交点；令y=0求横轴交点 针对训练 判断 判断下列说法是否正确。 若，总随的增大而增大。 ×。 开口向上时，顶点左侧函数值随x增大而减小。 每个二次函数都在顶点取得最大值。 ×。 需再结合二次项系数；开口向上时顶点给出最小值。 抛物线与x轴有两个交点，对应方程就有两个不相等实根。 √。 交点横坐标就是方程的实数根。 区间与开口方向要一起看。 针对训练 训练1 函数：（1）写出递增、递减的自变量范围；（2）求最大值；（3）求与轴交点。 -2 -1 1 2 3 4 -2 -1 1 2 3 4 5 x y O 答：时递增，时递减；最大值4；交点。 配方：。 令，得。 用同一个顶点式同时核对轴、最值及对称性。 针对训练 训练2 求的最小值，并比较时三个函数值的大小。 答：最小值2，；对应函数值为14，5，5。 ；与0关于对称，函数值相同。 直接核算，。 跨对称轴的比较可先找对称点。 针对训练 应用1 在某次竖直上抛的有效运动时间秒内，高度模型为（米）。（1）何时高度最高，最高多少？（2）第1秒到第2秒，高度怎样变化？ 1 2 3 4 5 10 15 20 t / s h / m O 答：2秒时最高21m；1秒到2秒高度增大。 ，且在有效时间内。 第1秒到第2秒处在顶点左侧的递增区间。 检查顶点对应时间是否在实际范围内。 针对训练 应用2 某装饰拱形的截面高度为，，单位为米。（1）求拱顶的位置和高度；（2）距左端1m和5m处的高度各是多少，为什么相同？ 2 4 6 2 4 6 8 10 x / m h / m O 答：拱顶，高9m；两处均为5m。 ，顶点给出最高位置。 关于对称；代入两次都得5。 对称性能简化同一高度或函数值的比较。 方法总结 本课方法归纳 由图象判性质 ① 先确定开口和对称轴。 ② 在顶点两侧分别判断增减。 ③ 顶点纵坐标给出相应最值。 由条件求值与交点 ① 实际问题先写自变量范围。 ② 横轴交点用y=0列方程。 ③ 跨轴比较优先找对称点。 $