1.4.1+二次函数与一元二次方程的关系 课件 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过复习判别式与抛物线x轴交点关系搭建旧知支架，再以合作学习求方程根和函数交点坐标引出联系，经分组讨论和表格归纳深化知识脉络。 其亮点在于通过合作探究和分组讨论培养抽象能力与推理意识，结合抛球、喷水柱等实例发展模型意识与应用意识，小结用表格系统归纳。学生能提升运算与应用能力，教师可高效实施教学。

第一章 二次函数 （浙教版）九年级 1.4.1 二次函数与一元二次方程的关系 （第1课时） 学习目标 1.会用待定系数法确定二次函数的表达式。 2.可以借助判别式，判断二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的数量，准确写出交点坐标的通用形式。 3.能根据给出的条件恰当地选取二次函数表达式的类型，并求出二次函数表达式,发展运算能力。 抛物线与c轴交点(判别式△=b²-4ac) 1.△>0：抛物线与x轴有2个交点(x1，0)、(x2，0) a>0：顶点在x轴下方；a<0：顶点在c轴上方。 2.△=0：抛物线与c轴仅有1个交点(顶点落在c轴上，x₁=x₂); 3.△<0：抛物线与x轴无交点； a>0：整条抛物线在x轴上方；a<0：整条抛物线在c轴下方。 复习导入 03 新知探究 探究 合作学习: 1.求方程2x2＋x－3 2.求二次函数2x2＋x－3与x轴的交点坐标A、B 03 新知探究 探究 合作学习: 1.求方程2x2＋x－3 2.求二次函数2x2＋x－3与x轴的交点坐标A、B 解： 解得： 当y=0时， 解得：， 新课探究 分组合作探究 观察二次函数 的图象，思考：二次函数与一元二次方程有什么关系？ 合作学习 小组讨论 根据以上画出的三个图形，填写下表 二次函数解析式 判别式Δ=b2−4ac计算 抛物线与x轴交点情况 y=x2−4x+3 Δ=(−4)2−4×1×3=4 0 与x轴交于 、 ，共 2 个交点 y=−x2+2x−1 Δ=22−4×(−1)×(−1) 0 与x轴仅有 个交点（顶点落在 轴上） y=x2−2x+ Δ=(−2)2−4×1×=−2 0 与x轴 交点 ＞ （1，0） （3，0） = 1 x ＜ 无 分别说出x2−4x+3=0，−x2+2x−1=0和x2−2x+=0的根的情况，与上表对比 7 新课探究 问题1：你发现方程的解与坐标A、B有什么联系？ 方程的解是函数图象与x轴的交点的横坐标。 观察函数图象： （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-8x+16； （3）y=x2-x+1. 无公共点 公共点的函数值为 . 0 0=x2-x+1. 0=x2+x-2 0=x2-8x+16 x1=-2，x2=1. 二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？ x1=x2=4. 对应一元二次方程的根是多少？ 有两个不等的实根 有两个相等的实根 方程无实数根 合作学习 小组讨论 一元二次方程 判别式Δ=b2−4ac计算 一元二次方程根的情况 x2−4x+3=0 Δ=(−4)2−4×1×3=4>0 有两个不相等的实数根 x1​=1，x2​=3 −x2+2x−1=0 Δ=22−4×(−1)×(−1)=0 有两个相等的实数根x1​=x2​=1 x2−2x+=0 Δ=(−2)2−4×1×=−2<0 没有实数根 x2−4x+3=0，−x2+2x−1=0和x2−2x+=0的根的情况 小组谈论，二次函数与x轴的交点与一元二次方程的根有什么关系？ 10 新知探究 做一做 利用函数的图象求下列方程的根： (1)x2+x-6=0；(2)2x²-x-3=0. 抛物线与x轴的交点坐标为(-3，0)，(2，0) ∴方程x2+x-6=0的解为x1=-3，x2=2； 抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)，(,0), ∴方程y=2x2-x-3的解为x1=-1，x2=. 归纳 当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的根。 ①当b2 －4ac >0时，抛物线与x轴有 交点； ②当b2 －4ac =0时，抛物线与x轴只有 交点； ③当b2 －4ac <0时，抛物线与x轴 交点。 两个 一个 没有 问题2：你发现方程的b2 －4ac值和函数图象与坐标轴的交点有什么联系？ 03 新知探究 根据二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系填表： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 新知探究 合作学习 一般地,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)之间有如下关系: 判别式b2−4ac的值 b2−4ac>0 b2−4ac=0 b2−4ac<0 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点情况 图象与x轴有两个交点(x1​,0)，(x2​,0) 图象与x轴有一个交点 图象与x轴没有交点 一元二次ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况 有两个不相等的实数根x1​，x2​ 有两个相等的实数根x1​=x2​ 没有实数根 例1 已知二次函数y=x2+5x-3中，函数y与自变量x的部分对应值如下表 所示，则方程x2+5x-3=0的一个解x的取值范围是____. 典例分析 解：方程x2+5x-3=0的解即为函数y=x²+5x-3的零点。由表格数据可知，当x=0.5时，y=-0.25<0；当x=0.75时，y=1.31>0。由于函数连续，故在x=0.5与x=0.75之间必然存在一点使y=0，因此方程的一个解x的取值范围是0.5<x<0.75. 03 新知讲解 例2 利用二次函数的图象求方程x2+x-1=0的解(或近似解)。 【解析】 设y=x2+x-1，则方程x2+x-1=0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标. 在直角坐标系中画出函数y=x2+x-1的图象. 03 新知讲解 例2 解：由函数y=x2+x-1的图象得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x1，x2就是方程的解. 观察，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈-1.6. 所以方程x2+x-1=0的近似解为x1≈0.6，x2≈-1.6. 练一练 根据下表信息,估计一元二次方程ax2+bx+c=6(a≠0)的一个解的 范围是 。 典例分析 解：5.9996<6<6.0225, ∴由表格可知，使y=ax2+bx+c=6的一个x的值满足1.645<x<1.65， ∴一元二次方程ax2+bx+c=6(a≠0)的一个解的范围是1.645<x<1.65， 故答案为:1.645<x<1.65. 典例分析 抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的方程-x2+bx+c=0的解是 。 例3 解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的交点为(1，0)，设另一个交点为(a，0)，=-1，解得：a=-3，故另一个交点为(-3，0)，∴关于x的方程-x2+bx+c=0的解是：x₁=1，x2=-3； x₁=1，x2=-3 03 新知讲解 例4 一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时 球的高度为h(m). 已知物体竖直上抛运动中，h=v0t- gt2(v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s²). 问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m? 1 2 0 -1 -2 t(s) 1 2 3 4 5 6 h(m) 解：由题意，得h(m)关于t(s)的二次函数表达式为h=10t-5t2. 取h=0，得一元二次方程10t-5t2=0， 解这个方程，得t1=0，t2=2. 所以球从地面弹起至回到地面所需的时间为 t2-t1=2(s). 取h=3.75，得一元二次方程10t-5t2=3.75,解这个 方程，得t1=0.5，t2=1.5. 答:球从弹起至回到地面需2s，经过0.5s或1.5s 球的高度达到3.75m. 。 h=0 弹起时间t=0 落地时间t=2 h=3.75 典例分析 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱。如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 水柱高度 y(单位：m)与水平距离 x (单位：m)之间具有函数关系 例5 (1)解：y=-x²+x+配方得y=-(x-1)²+3, ∴顶点A(1，3) 答：抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为3m； (1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； 典例分析 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱。如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 水柱高度 y(单位：m)与水平距离 x (单位：m)之间具有函数关系 例5 (2)当y=0时，=0， 解得x₁=3，x₂=-1(不符合题意，故舍去)，∴B(3，0)，即OB=3， 答：抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为3m. (2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： C 1． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是(　　) A．x1＝1，x2＝3　　　 B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.二次函数y=2x2-3x-c (c>0)的图象与x轴的交点情况是( ). A. 有1个交点 B. 有2个交点 C. 无交点 D. 无法确定 B 通过这节课，你了解到哪些数学知识？ 设二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，对应一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，判别式：△=b²-4ac 1.△>0：抛物线和x轴产生2个交点(x1，0)、(x2，0)；方程存在两个不相等的实数根x1，x2，交点横坐标就是方程的两根。 2.△=0：抛物线仅和x轴相切，只有1处交点(顶点落在x轴上)；方程有两个相等的实数根x1=x2。 3.△<0：抛物线全程不和x轴相交；一元二次方程不存在实数根。 知识与技能 课堂小结 谢谢大家聆听 二一教育 $