1.3 二次函数的性质 课件 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数的性质，通过“运动员投篮路线”的情景导入，引导学生从生活实例抽象出二次函数图象特征，以分类表格系统呈现a的正负、判别式与图象、增减性、最值的关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言，通过表格化知识梳理、分层例题解析（如例1代数计算与例2图象推理）及核心素养题（推理能力训练），培养学生抽象能力与推理意识。学生能直观理解性质，教师可借助系统资料提升教学效率，落实知识与素养双重目标。

1.3 二次函数的性质 第1章 二次函数 浙教版九年级上册 运动员投篮后，篮球运动的路线是一条怎样的曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 情景导入 二次函数的性质 条件 图象 增减性 最大（小）值 a>0 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 当x≤－ 时，y随x的增大而减小； 当x≥－ 时，y随x的增大而增大. 当x=－ 时， y达到最小值： 无最大值. 获取新知 (续表) 条件 图象 增减性 最大（小）值 a<0 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 当x≤－ 时，y随x的增大而增大； 当x≥－ 时，y随x的增大而减小. 当x=－ 时， y达到最大值： 无最小值. 例1 已知函数y = -x2-7x＋. (1)求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点 坐标，并画出函数的大致图象. (2)自变量x在什么范围内时，y随x 的增大而增大？何时y 随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值. (3)根据图象，说出x取哪些值时，① y=0; ② y<0; ③ y>0. 例题讲解 x=－7 20 x y 10 O 10 －10 30 5 －10 －20 －15 －5 (－7，32) (0，7.5) (－15，0) (1，0) 解：（1）因为a=-,b=-7,c=; 所以函数的顶点坐标是（-7，32），对称轴 是直线x=-7. 由x=0，得y=，即图象与y轴的交点坐标是（0，）； 由y=0，得-x2-7x＋=0，解得x1=-15，x2=1， 所以图象与x轴的交点坐标是（-15，0），（1，0）. 函数y=-x2-7x+的大致图象如右图： x=－7 20 x y 10 O 10 －10 30 5 －10 －20 －15 －5 (－7，32) (0，7.5) (－15，0) (1，0) （2）由函数y=-x2-7x+的图象可知， 当x≤-7时， y随x的增大而增大； 当x≥-7 时，y随x的增大而减小； 当x＝-7时，函数y=-x2-7x+有最大值32. 当-15＜x＜1时， y>0. （3）由函数y=-x2-7x+的图象可知， 当x=-15或x=1时，y=0. 当x＜-15或x＞1时，y<0. 例2 如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为 .下列结论：①ac＜0；②a＋b＝0；③4ac－b2＝4a； ④a＋b＋c＜0.其中正确的有(　　) A．1个 　 B．2个　 　C．3个　 　D．4个 C 解析 ①因为抛物线开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以a<0，c>0，故ac<0； ②由题意知抛物线的对称轴为直线x＝ ，所以 ，即 a＝-b，故a＋b＝0； ③因为抛物线的顶点纵坐标是1，即 ，所以4ac－b2＝4a； ④当x＝1时，y＝a＋b＋c.因为抛物线的对称轴为直线x＝ ，所以当x＝1时与当x＝0时的函数值相同，观察图象，当x＝0时，y>0，所以a＋b＋c>0.综上所述，①②③正确． 课堂小结 二次函数的性质 条件 图象 增减性 最大（小）值 a>0 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 当x≤－ 时，y随x的增大而减小； 当x≥－ 时，y随x的增大而增大. 当x=－ 时， y达到最小值： 无最大值. (续表) 条件 图象 增减性 最大（小）值 a<0 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 当x≤－ 时，y随x的增大而增大； 当x≥－ 时，y随x的增大而减小. 当x=－ 时， y达到最大值： 无最小值. 1.[2025杭州模拟] 二次函数 的最小值是( ) A A. B.1 C. D.7 课堂练习 12 2.当二次函数取得最小值时，对应的自变量 的 值为( ) A A. B.1 C.2 D.9 13 3.若二次函数有最大值6，则实数 的 值是____. 14 4.（教材作业题T2变式） 求下列函数的最大值（或最小值）和 对应的自变量的值. （1） ; 解：因为 , 所以当时，函数有最小值 . 15 （2） . 解：因为,, , 所以当 时，函数有最大值 . 16 5.（1）关于二次函数，当_____时，随 的 增大而减小；当_____时，随的增大而增大；当 ___时， 函数有最____值___. 1 小 6 （2）关于二次函数，当______时，随 的增大而减小；当______时，随的增大而增大；当 ____ 时，函数有最____值___. 大 6 17 6.（教材作业题T3变式） 已知，， 是 抛物线上的点，则，， 由小到 大依次排列为_____________.（用“ ”连接） 18 7.已知二次函数 . （1）求二次函数图象的顶点坐标、对称轴及函数的最值，并画 出函数的大致图象. 解：因为 , 所以二次函数图象的顶点坐标为, 对称轴为直线 , 函数的最小值为 . 画出函数的大致图象略. 19 （2）自变量在什么范围内时，随 的增大而减小？ 解：当时, 随 的增大而减小. 20 （3）若, 请求出函数 的最大值和最小值，并写出对 应的的值；若 呢？ 21 解：因为 , 所以当时, 有最小值 . 因为 , 所以当时, 有最大值为 , 所以若,则当时, 有最小值；当时, 有 最大值 . 因为当时, 随的增大而增大, ,所以若 ,则当时, 有最小值0；当时, 有最大值7. 22 （4）若, 请求出函数 的最大值和最小值，并写出 对应的 的值. 解：因为 , 所以当和时, 的值相同. 将代入, 得 , 所以若, 则当或时, 有最大值 ;当 时, 有最小值 . 23 8.抛物线与 轴的交点坐标是_______________， 与 轴的交点坐标是______. 和 24 9.[2024诸暨期末] 已知二次函数 的图 象经过点和点 . （1）该二次函数的表达式为_______________； （2）该二次函数的图象与 轴的交点坐标为____________，与 轴的交点坐标为________. , 25 10.已知二次函数，与 的部分对应值 如下表，则下列说法正确的是( ) … 0 1 3 … … 3 … D A.这个函数的图象开口向下 B.这个函数的最小值为 C.当时， D.当时，随 的增大而减小 26 图1-3-1 11.（教材作业题T6变式） 小明进行 铅球专业训练，教练尝试用数学模型 来研究铅球的运动情况，从而做出指 导.如图1-3-1所示是小明在某次比赛前 训练时，铅球行进高度 （米）与水 平距离 （米）之间的函数图象，铅球经过的路径可以看作抛物 线.铅球在距离地面米的处出手，在与出手点 水平距离为9.5 米处（即 米）达到最高点，这次训练的成绩是20米. 27 （1）求这次训练中铅球经过路径所在抛物线的函数表达式； 解：根据题意，得, 抛物线的对称轴为直线 , 铅球 的落地点的坐标为 . 设这次训练中铅球经过路径所在抛物线的函数表达式为 , 28 则解得 所以这次训练中铅球经过路径所在抛物线的函数表达式为 . （2）求这次训练中，铅球距离地面的最大高度. 解：在中, 当时, , 所以这次训练中, 铅球距离地面的最大高度为 米. 30 12.已知二次函数的图象经过点， ， 对称轴为直线 . （1）二次函数的表达式为_______________， 的值为___； 1 31 （2）当时，求 的最大值和最小值； 解：因为抛物线开口向上，对称轴为直线 , 所以当时，随 的增大而减小， 所以当时，取得最大值，最大值为 ， 当时，取得最小值，最小值为 . （3）若当时，的最小值为，则 的值为_____ ____________. 或 32 13. 推理能力 已知抛物线 过点 . （1）求， 之间的数量关系及该抛物线的对称轴； 解：因为抛物线 过点 , 所以,所以 , 所以抛物线的对称轴为直线 . 33 （2）若函数的最大值为5，求该抛物线与 轴的交点坐标； 解：因为 , 所以 . 因为函数的最大值为5,所以 , 解得,所以 . 将代入,得 , 所以该抛物线与轴的交点坐标是 . 34 （3）当自变量满足时，记函数的最大值为 ，最 小值为，求证： . 解：证明：因为 , 所以抛物线开口向下,对称轴为直线 , 所以当自变量满足时,函数的最大值是 时的函 数值,即 . 因为 , 35 所以当自变量满足时,函数的最小值是 时的函 数值,即 , 所以 . $