1.1 二次函数 课件（第1课时）2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第1章　二次函数 1.1 二次函数（第1课时） 二次函数的概念、系数与表达式 数学新教材浙教版　九年级上册 情境引入 温室的边长与面积 温室尺寸 一个长方形温室的周长为120m，一边长为（m），面积为（m²）。另一边长是多少？ 数量关系 另一边长为，因此。 实际限制 两条边长都为正，故；每个允许的对应唯一的面积。 合作学习 合作 用适当的函数表达式表示下列问题中两个变量与之间的关系。 （1） 圆的面积（cm²）与圆的半径（cm）。 （2） 存入银行2万元，一年后将本息转存一年，两年年利率均为，两年后本息为元。 （1） 答：。 圆面积等于π乘半径的平方。 （2） 答：。 第一年本息；第二年再乘。 合作学习 合作 温室连同外围通道的矩形周长为120m，一边长为（m）。通道宽如图，种植用地面积为（m²）。求关于的表达式。 答：。 种植区两条边长分别为与。 先用长乘宽列式，再展开整理；实际有。 新知讲授 二次函数的概念 定义 我们把形如（其中，，是常数，）的函数叫做二次函数（quadratic function），称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 共同特征 前面的三个表达式整理后，自变量的最高次数为2，二次项系数不等于0。 新知讲授 系数与缺项 一般式 中，；与都可以为0。系数要连同符号一起读。 课内示例 ：。 缺项示例 ：；缺少一次项或常数项，系数就是0。 做一做 辨认 下列函数中，哪些是二次函数？ （1） 。 是 的二次项系数为1。 （2） 。 否。 自变量在分母中，不能整理成所定义的一般式。 （3） 。 是 已是二次函数的一般式。 （4） 。 是 展开为，二次项系数为。 （5） 。 否。 整理为，二次项相消。 先整理，再看最高次数及二次项系数；不能只看原式是否出现平方。 做一做 读系数 分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1） 。 （2） 。 （3） 。 （1） 答：。 没有一次项，故一次项系数为0。 （2） 答：。 负号属于系数。 （3） 答：。 先展开为。 例题讲解 例1 如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设（cm），四边形的面积为（cm²）。 （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围；（2）当分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，求对应的四边形的面积，并列表表示。 （1） 答：，。 原正方形面积减去四个直角三角形面积： 。 两条直角边都须为正，故严格有。 例题讲解 例1 如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设（cm），四边形的面积为（cm²）。 （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围；（2）当分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，求对应的四边形的面积，并列表表示。 /cm 0.25 0.5 1 1.5 1.75 /cm² 3.125 2.5 2 2.5 3.125 （2） 答：各面积见表，单位为cm²。 时，。 例题归纳 例1中的代入与结果 核对两端数据 与所得面积同为3.125；与所得面积同为2.5。 数量的意义 表达式中的是剩余四边形的面积，不是被剪去部分的面积。每个代入的都应在内。 例题讲解 例2 已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是。求这个二次函数的表达式。 答：。 由题意得，。 整理为，。 两式相减得，代回得。 例题归纳 表达式求出后怎样核验 核对第一个条件 当时，。 核对第二个条件 当时，。 核对类型 二次项系数仍为1，不等于0；两个给定条件都成立，才完成求解。 随堂思考 思考 函数是二次函数，常数应满足什么条件？ 答：。 二次项系数为，由得。 若，原式成为，不再是二次函数。 是否含二次项取决于整理后的系数。 新知讲授 自变量范围与实际条件 仅看表达式 二次函数的一般式中，没有分母、根号等对自变量的限制时，可以取一切实数。 回到实际模型 例1中表示一条直角边长，还要保证另一条直角边为正，因此取。 两类问题分清 先辨认代数式的类型；求实际取值范围时，再补上长度、数量等条件。 随堂辨析 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 是二次函数。 √。 展开为，二次项系数为1。 是二次函数。 ×。 整理后，平方项相消。 二次函数的一次项系数必须不为0。 ×。 可以为0，例如。 课内练习 练习 1. 说出二次函数（为常数，）的自变量的取值范围。 2. （选学）已知二次函数，当时，函数值是3；当时，函数值是2；当时，函数值也是2。求这个二次函数的表达式。 第1题 答：一切实数。 对于任意实数，表达式中的各项及其和都有意义。 第2题 答：先由两个相反横坐标的条件求。 ，。 再由得。 前两式相减：，。 课内练习 练习2 已知二次函数，当时，函数值是3；当时，函数值是2；当时，函数值也是2。求这个二次函数的表达式。 答：。 将代回前两式，得。 第三式变为；相减得，进而。 代入，函数值分别为3，2，2，符合题意。 课堂总结 二次函数 概念 ，为常数且 系数 连同符号读取；缺项的系数为0 辨认 先展开整理，再检查二次项是否保留 表达式 找数量关系或代入对应值列方程 针对训练 训练1 完成下列选择与填空。 下列是二次函数的是：A.；B.；C.。 写出的三个系数。 答：B。 B中二次项系数为，其余分别是一次函数或常值。 答：。 依次为二次项系数、一次项系数和常数项。 一般式要按的顺序整理。 针对训练 训练2 已知函数的二次项系数为2，且当时，当时，求函数表达式。 答：。 由题意，代入得。 代入得，所以。 先确定已知系数，再用剩余条件求未知量。 针对训练 应用1 一块矩形菜地的一边长为米，另一边比它长4米，面积为平方米。（1）求关于的表达式及的取值范围；（2）当时，面积是多少？ 答：，；面积为21m²。 根据长乘宽，。 边长为正，故；时，。 先找另一边，再把面积关系写成式子。 针对训练 应用2 某场馆原票价20元，每场售票100张。规定票价每提高1元，每场少售2张。设提高元（为非负整数）后每场票款为元。（1）求关于的表达式和的范围；（2）提高10元时票款是多少？ 答：，且为整数；票款2400元。 。 售票数非负，得；提高10元时。 票款等于票价乘售票数，两者都随改变。 方法总结 本课方法归纳 整理后辨认类型 ① 先展开并合并同类项。 ② 检查最高次数为2且二次项系数不为0。 ③ 读取系数时保留符号，缺项填0。 列式后代入求值 ① 先写面积、票款等数量关系。 ② 实际问题补上自变量范围。 ③ 求出表达式后逐一核验题设。 $