1.2 二次函数的图象（第1课时）课件 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

第1章　二次函数 1.2 二次函数的图象（第1课时） 二次函数y=ax²的图象 数学新教材浙教版　九年级上册 情境引入 铅球抛出后的运动路线 观察背景 铅球抛出后沿一条弯曲的路线运动。怎样用已知的二次函数画出一条相似的曲线？ 作图起点 先研究最简单的二次函数，用列表、描点、连线的方法画图。 新知讲授 描点法的三个步骤 列表 选取适当的值，求出对应的值；正、负自变量可以成对选取。 描点 把每组对应值作为点的坐标，在同一个直角坐标系中描点。 连线 用光滑曲线顺次连接各点，不能用任意折线代替。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 10 15 x y O 合作学习 列表 完成函数的对应值表。依次取。 −3.5 −3 −2 −1 0 1 2 3 3.5 12.25 9 4 1 0 1 4 9 12.25 答：函数值依次为12.25，9，4，1，0，1，4，9，12.25。 正、负互为相反数的具有相同的平方值。 例如，。 新知讲授 抛物线与顶点 观察图象 的图象关于轴对称，经过原点，并向上伸展。 概念 像这样的曲线叫做抛物线（parabola）.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 本图的顶点 图中对称轴为轴，顶点就是坐标原点。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 10 15 x y O 合作学习 列表 完成与的对应值表，比较同一个对应的两个函数值。 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 −4.5 −2 −0.5 0 −0.5 −2 −4.5 答：两行函数值互为相反数。 先算，再乘2或。 例如时，两个函数值分别为4.5与。 新知讲授 两个图象的对应关系 共同特征 图象都关于轴对称，顶点都是。 不同特征 开口向上，开口向下。相同下，两点纵坐标互为相反数。 图形关系 两条抛物线关于x轴对称；改变系数的符号会改变开口方向。 -3 -2 -1 1 2 3 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y O 新知讲授 二次函数y=ax²的图象特征 图象性质 二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点. -3 -2 -1 1 2 3 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y O 例题讲解 例1 已知二次函数（）的图象经过点。 （1）求的值，并写出这个二次函数的表达式；（2）说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置。 （1） 答：，。 将代入，得。 解得，再写出函数表达式。 例题讲解 例1 已知二次函数（）的图象经过点。 （1）求的值，并写出这个二次函数的表达式；（2）说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 x y O P （2） 答：顶点，对称轴为轴，开口向下；除顶点外，图象在轴下方。 因为，开口向下，原点是图象的最高点。 当时，，所以。 新知讲授 点在图象上的检验 代入横坐标 对例1的表达式，代入，得。 检验新点 点也在图象上，因为对称点具有相同的函数值。点不在图象上。 对应关系 横坐标代入后得到的值应等于该点的纵坐标。 -3 -2 -1 1 2 3 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 x y O P Q 课内练习 练习1 在同一坐标系中画出下列二次函数的图象：（1）；（2）。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y O （1） 答：先画的图象。 取，对应。 描点后用光滑曲线顺次连接，图象关于轴对称。 课内练习 练习1 在同一坐标系中画出下列二次函数的图象：（1）；（2）。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -5 5 x y O （2） 答：再画的图象。 同样的分别对应。 两条图象关于横轴对称，都经过原点。 课内练习 练习2 若抛物线（）过点，则的值是______，对称轴是______，开口______，顶点坐标是______，顶点是抛物线上的______，抛物线在轴的______方（除顶点外）。 -2 -1 1 2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y O 答：3；轴；向上；；最低点；上。 由，得。 因此图象关于轴对称，开口向上，除原点外函数值均为正。 新知讲授 图象位置中的“除顶点外” 原点的位置 不论还是，当时，。顶点都在两条坐标轴上。 其余点的位置 当时，，这时的正负才完全由的正负决定。 表述完整 开口向上的图象在轴上方时，应补上除顶点外。 -3 -2 -1 1 2 3 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y O 随堂辨析 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 开口向下。 √。 系数。 的顶点为。 ×。 顶点仍是，系数不会把顶点移到。 上横坐标互为相反数的两点，纵坐标相同。 √。 两个相反数的平方相等。 随堂思考 思考 二次函数的图象经过点。（1）求表达式；（2）点与是否在该图象上？ 答：；在，不在。 由，得。 代入得6；代入得。 先求系数，再用同一表达式检验各点。 课堂总结 y=ax²的图象 作图 列表、描点、光滑连线 图象 抛物线；对称轴为y轴 顶点 坐标原点(0,0)，位置不随a改变 开口 a正向上、a负向下；顶点分别为最低或最高点 针对训练 训练1 完成下列选择与填空。 开口向下的是：A.；B.；C.。 经过，求。 答：C。 只有C的二次项系数小于0。 答：。 由得。 开口看系数正负；求系数用点的对应值。 针对训练 训练2 在同一坐标系画出与的示意图，并写出共同的顶点和对称轴。 -3 -2 -1 1 2 3 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y O 答：共同顶点，对称轴为轴。 可取分别列表描点。 两图关于轴对称，示意图如右。 对应同一横坐标检查两行函数值是否互为相反数。 针对训练 应用1 用边长0.2m的正方形地砖铺一块大正方形地面，每行和每列都铺块，面积为平方米。（1）写出关于的表达式；（2）每行铺10块时面积是多少？说明实际图象取哪些点。 答：；面积4m²。 大正方形边长为，所以。 时；为正整数，实际只取对应的离散点。 块数必须为正整数，不能把整条抛物线都当作实际图象。 针对训练 应用2 某段匀加速运动中，路程米与开始运动后的时间秒满足。测得2秒时路程为12米。（1）求表达式；（2）求4秒时的路程，并说明实际图象所在的部分。 答：；4秒时48m，实际取的部分。 由，得；代入得。 时间非负，实际只研究抛物线在纵轴右侧及原点的部分。 先用一组对应值求a，再带上时间的实际范围。 方法总结 本课方法归纳 画抛物线 ① 先选成对的横坐标并准确列表。 ② 描出原点及两侧对应点。 ③ 光滑连线，再检查轴对称。 读图与求表达式 ① 系数符号决定开口方向。 ② 顶点、对称轴分别是原点和y轴。 ③ 把已知点坐标代入求系数。 $