1.4 二次函数的应用 第2课时 课件 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

第1章　二次函数 1.4 二次函数的应用（第2课时） 距离、利润与种植中的最值 数学新教材浙教版　九年级上册 情境引入 两船都在动，距离怎样变 情境 A船向北，B船向西，同一时刻的位置都在改变。 任务 把两船距离写成时间的函数，再找出最近时刻。 A B A′ B′ 新知讲授 用平方关系连接几何与函数 直角关系 两船的南北距离与东西距离互相垂直。 距离平方 若两方向距离分别为u和v，则船间距离d满足。 最值转化 d非负，d²最小时d也最小，可以先研究d²。 A B A′ B′ 例题讲解 例2 如图，B船位于A船正东26km处。现在A，B两船同时出发，A船以12km/h的速度朝正北方向行驶，B船以5km/h的速度朝正西方向行驶。何时两船相距最近？最近距离是多少？ A B A′ B′ 答：距离的平方为。 设经过t h，两方向距离分别为和。 。 例题讲解 例2 如图，B船位于A船正东26km处。现在A，B两船同时出发，A船以12km/h的速度朝正北方向行驶，B船以5km/h的速度朝正西方向行驶。何时两船相距最近？最近距离是多少？ A B A′ B′ 答：经过h相距最近，最近为24km。 。 。 当时，d²最小为576，故km。 最后还要求距离d，不能把576直接当作距离。 新知讲授 为什么要先求距离的平方 计算简化 直接写较繁琐；根号内的式子是二次函数。 等价依据 对于非负距离，d²越小，d也越小。 核验 最近时刻h符合，结果24km小于初始26km。 例题讲解 例3 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元。经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶。问：销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价）最大？最大日均毛利润为多少元？ 答：日均销售量为瓶。 设每瓶售价为x元，售价比12元增加元。 日均销售量。 x小于12时，x－12为负，表达式仍反映销量增加。 例题讲解 例3 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元。经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶。问：销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价）最大？最大日均毛利润为多少元？ 答：，。 设日均毛利润y元，每瓶毛利润为元。 。 总毛利润＝单件毛利润×销售量。 例题讲解 例3 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元。经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶。问：销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价）最大？最大日均毛利润为多少元？ 答：每瓶售价13元时，最大日均毛利润为1280元。 因为，对称轴为。 13在内，故最大值在处取得。 元。 新知讲授 两个容易混淆的量 每瓶毛利润 售价减进价，单位为元/瓶；例题中为。 日均毛利润 每瓶毛利润乘日均销量，单位为元；例题中为。 取值范围 顶点横坐标必须落在给定调价区间内，才能直接给出实际最大值。 课内练习 练习 某大棚内种植西红柿，经过试验，其单位面积的产量与这个单位面积种植的株数构成一种函数关系。每平方米种植4株时，平均单株产量为2kg；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少kg。问：每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少？ 答：每平方米总产量为。 设每平方米种x株，单株产量为kg。 总产量。 x表示每平方米的总株数，不是增加的株数。 课内练习 练习 某大棚内种植西红柿，经过试验，其单位面积的产量与这个单位面积种植的株数构成一种函数关系。每平方米种植4株时，平均单株产量为2kg；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少kg。问：每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少？ 答：每平方米种6株，最大产量为9kg/m²。 。 当时取得最大值9；6为正整数且单株产量kg。 增加株数会降低单株产量，要研究两者的乘积。 新知讲授 三种实际量怎样转成二次函数 距离 先写直角三角形两直角边，再求距离平方。 销售 总毛利润＝售价与进价之差×销售量。 种植 单位面积总产量＝株数×平均单株产量。 课堂总结 二次函数的实际最值 找关系 把距离平方、利润、总产量写成函数 求顶点 配方或用对称轴求最值时刻或数量 查条件 时间非负；售价在区间内；株数取整数 回情境 辨明距离与平方、单件与总量，写清单位 针对训练 训练 单价为x元，进价为6元，销量为件。总毛利润应是哪一个：A.；B.；C.？ 答：选B。 单件毛利润为，总毛利润为。 销售额与毛利润的单件因子不同。 针对训练 训练 小林求出两车间距离平方的最小值为225，就说最近距离225km。请改正。 答：最近距离为15km。 距离非负，时。 平方距离的单位为km²。 针对训练 训练 温室每日使用营养液x L时，蔬菜的日产量y kg满足，。求最大日产量及相应营养液用量。 答：每日用营养液6L时，最大日产量为92kg。 ，6在允许范围内。 用量范围决定顶点对应的用量能否取到。 针对训练 训练 某商品售价x元时，毛利润y元满足，允许售价范围为。求最大毛利润。 答：售价13元时最大，最大毛利润为860元。 区间内，函数随x增大而增大；取右端13。 。 顶点不在区间内时，依据增减性比较端点。 针对训练 训练 已知，x只能取1至8的整数。求最大值及对应的x。 答：最大值19.75，x＝4或5。 4与5离对称轴4.5最近，代入得。 整数条件下，顶点横坐标不一定能取到。 针对训练 训练 每平方米种5株花时，单株开花12朵；每增加1株，单株平均少开1朵。设总株数x，写出总花朵数y的表达式。 答：。 增加株数为，单株花数。 若把x定义为增加株数，表达式会变为。 针对训练 训练 两物体在互相垂直的两个方向上的距离分别为与（m），。求它们距离的最小值。 答：最小距离为m。 。 当时，。 也可写为m。 针对训练 训练 公园票价20元时每日游客600人；每涨价1元，游客减少20人。规定票价20至30元，求每日票款最大时的票价及最大票款。 答：票价25元时最大，为12500元。 设票价x元，人数。 ；25在规定范围内。 票款＝票价×人数，不需要减去未给定的成本。 针对训练 训练 果园每亩种20棵果树时，平均每棵结果30kg。每亩每增加1棵，平均每棵减产0.5kg。每亩种多少棵时总产量最大？最大是多少？ 答：每亩种40棵时最大，为800kg。 设每亩种x棵，平均单产。 。 x＝40为正整数，平均单产20kg，符合实际条件。 总株数越多不一定总产量越高。 方法总结 本课方法归纳 建立二次函数模型 ① 先设变量并写明实际范围。 ② 从距离平方、单价×数量等关系列式。 ③ 展开或配方前核对每个因子的实际意义。 求最值并检验条件 ① 配方或用对称轴求顶点。 ② 检查区间与整数限制，必要时比较邻近整数或端点。 ③ 回到原问题，写清数量与单位。 $