1.4 二次函数与一元二次方程的关系 第2课时 课件 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心讲解交点式的推导、应用及三种表达式方法。通过情景导入“已知方程两根求函数表达式”，回顾根与系数关系，搭建从方程到函数的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以问题链引导学生用数学眼光抽象数量关系，例题精讲与变式题（如例2用根与系数关系求参数）培养推理意识，题组专练分方法总结强化模型观念。帮助学生理解函数与方程联系，提升解题能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

1.4 二次函数与一元二次方程的关系 第1章 二次函数 第2课时　二次函数与一元二次方程的关系（2） 浙教版九年级上册 情景导入 已知方程2x2+bx+c=0的两根为x1=-1,x2=,你能确定二次函数y=2x2+bx+c的表达式吗？ 知识回顾：一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2，则根据一元二次方程的根与系数的关系，有x1+x2=x1x2= 获取新知 问题：如何用（x1，0）（x2，0）求二次函数解析式？ 二次函数y=ax2+bx+c=a(x2++)=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) （x1,0）（x2，0）也就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点,y=a(x-x1)(x-x2)也叫作二次函数的交点式 二次函数三种表达式的方法 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 例题精讲 例1 已知二次函数的图象经过点A (-1,0), B(2,0),C(1,-3), 求这个二次函数的表达式和图象的顶点坐标。 解：不妨设这个二次函数为y=a(x+1)(x-2), 因为图象过点(1,-3),把(1,—3)代人函数式，得一3=a(1+1)×(1—2), 解得a=.所求的函数式是y=(x+1)(x-2) 这个二次函数图象的顶点的横坐标为= 把顶点的横坐标代入函数式，得y=×（+1）×（-2）= 所以这个二次函数的图象的顶点坐标是(，） 5 例2  已知关于x的二次函数y=x2-ax+a-2的图象在x轴上截得得线段长为2，求a的值 分析：二次函数的图象与x轴相截，设图象和x轴的交点为（,0）（,0），那么由已知就有=2， 则-=4.而是方程 x2-ax+a-2的两个根，根据根与系数的关系，就可以求出a的值 解：令y =0, 则 x²-ax+a-2=0。设方程的两根为x₁,x₂, 由已知，得 |x₁-x₂|=2, 则(x₁一x₂)²=(x₁+x₂)²—4x₁x₂=4。 根据一元二次方程的根与系数的关系， 有x₁+x₂=a,x₁x₂ =a-2, 所以a²-4(a-2)=4,   解得a=2。 二次函数与一元二次方程的关系 利用交点式求二次函数表达式 利用一元二次方程根与系数的关系求二次函数的参数问题 课堂小结 安排本习题目的配合例2，让学生学会利用图象求方程的近似解. 8 1.若抛物线与 轴两个交点的坐标分别为 ， ，则该抛物线的函数表达式为( ) C A. B. C. D. 课堂练习 9 2.（教材例3变式） 已知二次函数 的图 象经过点，， . （1）求此二次函数的表达式； 10 解：根据题意，设此二次函数的表达式为 . 把点的坐标代入,得 , 解得 , 所以此二次函数的表达式为 , 即 . 11 （2）求此二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 解：因为 , 所以此二次函数图象的对称轴为直线 , 顶点坐标为 . 12 3.已知一条抛物线与轴交于，两点，与 轴交于 点 . （1）请求出该条抛物线的函数表达式； 13 解：根据题意，设该条抛物线的函数表达式为 . 将点的坐标代入，得，解得 , 故该条抛物线的函数表达式为 . 14 （2）当时，请求出 的取值范围. 解：因为 , 所以抛物线开口向下，对称轴为直线 , 所以当时， 取得最大值，为4. 因为当时，；当 时， , 所以当时，的取值范围是 . 15 4.（教材课内练习T2变式） 抛物线在 轴上截 得的线段长是___. 3 16 5.抛物线在直线 上截得的线段长为___. 7 17 6.（教材例4变式） 已知关于 的二次函数 的图象在轴上截得的线段长为2，求 的值. 18 解：令,则 . 设方程的两根为, , 由已知，得 , 则 . 根据一元二次方程的根与系数的关系，有 , , 所以 , 解得或 . 19 图1-4-10 7.老师出示了如图1-4-10所示小 黑板上的题目后，同学们踊跃 回答.甲说：过点 ；乙说： 过点；丙说： ；丁说： 抛物线在 轴上截得的线段长为 A A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 2.这四个人的回答中，正确的有 ( ) 20 图1-4-11 8.兰州牛肉面以其独特的风味火遍全 国，是行走的兰州历史文化代表.如图 1-4-11所示是一个面碗的截面图，碗 身可近似看作抛物线的一部分，以碗 底 为原点建立平面直角坐标系，已 16 知碗口，碗深 ，则当满碗汤面的竖直 高度下降时，碗中汤面的水平宽度为____ （碗的厚度 忽略不计）. 21 图1-4-12 9.如图1-4-12，对称轴为直线 的抛物线 与轴相交于， 两点，其 中点的坐标为 . 22 （1）求抛物线的函数表达式； 解：由点的坐标为, , 两点关于抛物线的对称轴直线 对称, 得点的坐标为 , 所以抛物线的函数表达式为 ,即 . 23 （2）为抛物线与轴的交点，若点 在抛物线上，且 ，求点 的坐标. 24 解：由, 得点到的距离是 的4倍. 由（1）知 , 所以点的横坐标为4或 . 在中, 当时, , 此 时点的坐标为 ; 当时, , 此时点的坐标为 . 综上所述, 点的坐标为或 . 25 题组专练 二次函数表达式的三种常见求解方法 方法一 已知图象上任意三点，通常设一般式 1.已知二次函数的图象经过点，，且与 轴的交点 坐标为 .求这个二次函数的表达式. 26 解：设这个二次函数的表达式为 . 依题意,得解得 所以这个二次函数的表达式为 . 27 方法二 已知顶点、对称轴、最值，通常设顶点式 2.已知二次函数,当时,函数 有最 小值,且函数图象经过点 ,则该二次函数的表达式为_____ ___________. 28 3.[2024桐乡期末节选] 已知二次函数图象的顶点坐标为 , 且函数图象经过点 .求这个二次函数的表达式. 解：因为二次函数图象的顶点坐标为 ,所以设这个二次函 数的表达式为 . 因为函数图象经过点 , 所以 , 解得 , 所以这个二次函数的表达式为 . 29 方法三 已知图象与 轴的两个交点坐标，通常设交点式 4.已知抛物线与轴交于点,，与轴交于点 ,求此 抛物线的函数表达式. 30 解：由题意，设此抛物线的函数表达式为 . 将点的坐标代入，得 ， 解得 ， 故此抛物线的函数表达式为 ， 即 . 31 $