1.2 二次函数的图象（第3课时）课件 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第1章　二次函数 1.2 二次函数的图象（第3课时） 二次函数一般式的图象与配方 数学新教材浙教版　九年级上册 复习引入 一般式中的顶点在哪里 问题 的开口向下，但顶点不再是原点。如何把它改写成便于读图的形式？ 本课联系 把一般式化成顶点式，再利用已经学过的平移、顶点和对称轴。 -2 2 4 6 8 -4 -2 2 4 6 x y O 新知讲授 一般式化为顶点式 先提取二次项系数 。 再配成完全平方 。 对应顶点式 比较，得，。 新知讲授 一般式的图象性质 性质 二次函数（）的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是.当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点. 例题讲解 例3 求抛物线的对称轴和顶点坐标。 答：对称轴，顶点。 。 ，。 因此对称轴是直线，顶点坐标为。 例题归纳 例3用配方法复核 配方过程 。 读图结果 顶点，对称轴，开口向下；与公式计算结果一致。 -2 2 4 6 8 -4 -2 2 4 x y O 做一做 练习 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴。 （1） 。 （2） 。 （1） 答：向下；；。 。 （2） 答：向上；；。 。 例题讲解 例4 已知函数，回答下列问题： （1）函数图象能否由的图象通过平移得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图。 （2）说出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 -4 -2 2 4 6 8 -4 -2 2 4 6 x y O （1） 答：能；先向右平移4个单位，再向上平移5个单位。 原式配方为。 先改变顶点横坐标，再改变顶点纵坐标；示意图如右。 例题讲解 例4 已知函数，回答下列问题： （1）函数图象能否由的图象通过平移得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图。 （2）说出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 -2 2 4 6 8 -2 2 4 6 x y O （2） 答：开口向下；对称轴；顶点。 二次项系数为；由顶点式直接读出。 新知讲授 平方前的系数与括号 先提系数 对，应先写成。 补回同样的数 ；括号内补16后，要同时减16。 式外合并 。 课内练习 练习1 求下列函数图象的对称轴和顶点坐标。 （1） 。 （2） 。 （1） 答：；。 先展开：。 再配方：。 （2） 答：；。 先展开：。 再配方：。 课内练习 练习2 下列函数的图象各可由怎样的抛物线（）经过怎样的平移后得到？ （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） 答：由向左平移1个单位。 顶点为。 （2） 答：由右移、上移1。 表达式已经是顶点式。 课内练习 练习2 下列函数的图象各可由怎样的抛物线（）经过怎样的平移后得到？ （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） 答：左移、上移。 配方：。 （4） 答：右移、上移。 配方：。 课内练习 练习3 写出如图所示抛物线的函数表达式。图象顶点为，并经过点。 答：。 由顶点设。 代入，得，解得。 探究活动 探究 一座拱桥桥洞的拱形是抛物线。当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m。以水平向右为轴，分别以下列点为原点建立坐标系，求函数表达式：（1）左水面端点；（2）右水面端点；（3）拱顶。比较三种取法。 2 4 6 8 10 12 2 4 x y O A B C （1） 答：，。 顶点，设。 代入，得，所以。 探究活动 探究 一座拱桥桥洞的拱形是抛物线。当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m。以水平向右为轴，分别以下列点为原点建立坐标系，求函数表达式：（1）左水面端点；（2）右水面端点；（3）拱顶。比较三种取法。 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 x y O A B C （2） 答：，。 此时顶点为，另一端点为。 把代入顶点式，仍得。 探究活动 探究 一座拱桥桥洞的拱形是抛物线。当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m。以水平向右为轴，分别以下列点为原点建立坐标系，求函数表达式：（1）左水面端点；（2）右水面端点；（3）拱顶。比较三种取法。 -6 -4 -2 2 4 6 -4 -2 x y O A B C （3） 答：，。 以拱顶为原点，水面端点坐标为、。 代入，得。 探究归纳 同一拱形，不同坐标系 物体没有改变 三种表达式描述同一个桥洞，只是原点不同，端点和顶点的坐标随之改变。 选择拱顶作原点 此时顶点坐标为，表达式简化为，只需求一个系数。 保留实际范围 A原点时；C原点时。 随堂辨析 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 的对称轴为。 ×。 必须是直线，横坐标少了负号。 同一个二次函数可以同时写成一般式与顶点式。 √。 表达式不同，但可以由同一顶点式描述。 二次函数图象的顶点纵坐标总是常数项。 ×。 顶点的纵坐标是，一般不等于。 课堂总结 一般式的图象 配方 对称轴 顶点 求表达式 顶点已知时设，再代入一点 针对训练 训练1 求函数图象的对称轴、顶点和开口方向，并写出它由平移得到的过程。 答：；；向上；右移3、下移4。 配方得，再由顶点式读出。 配方结果应能展开还原一般式。 针对训练 训练2 一条抛物线的顶点为，并经过点，求其表达式。 答：。 设，代入。 由得；检验顶点与给定点均符合。 顶点坐标已知时，优先用顶点式减少未知数。 针对训练 应用1 一座抛物线形门洞的最高点在，门洞右端与地面交于，单位为米。（1）求门洞曲线的表达式；（2）用对称性求左端坐标和门宽。 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 x y O 答：；左端，门宽4m。 设，代入得。 对称轴，另一端的横坐标为。 同一高度的左右两点到对称轴的水平距离相等。 针对训练 应用2 某次投篮的球心运动路线可视为抛物线，最高点为，出手点为，坐标单位为米。（1）求该路线的函数表达式；（2）水平前进6m时，模型给出的高度是多少？ -1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 x y O 答：；高度4m。 设；由得。 代入，得。 明确坐标轴表示的实际距离与高度，再写函数关系。 方法总结 本课方法归纳 从一般式求图象特征 ① 先提取a，再补成完全平方。 ② 用顶点式读坐标和对称轴。 ③ 用公式计算时保留a、b的符号。 从图象求表达式 ① 记录顶点及另一已知点。 ② 设顶点式并代入该点求a。 ③ 检查实际横坐标范围与单位。 $