第26章 二次函数单元练习题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第26章 二次函数单元练习题 2026-2027学年人教版九年级数学上册一．选择题（共10小题） 1．已知抛物线与二次函数y＝﹣5x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，2025），它对应的函数表达式为（　　） A．y＝﹣5（x﹣1） 2+2025 B．y＝5（x﹣1） 2+2025 C．y＝5（x+1） 2+2025 D．y＝﹣5（x+1）2+2025 2．若函数是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．2或﹣1 B．﹣1 C．0或1 D．2 3．k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（　　） A．直线y＝x上 B．直线y＝﹣x上 C．x轴上D．y轴上 4．二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x+4的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（　　） A．1或﹣3 B．5或﹣3 C．﹣5或3 D．以上都不对 5．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　） A．x＝4.4 B．x＝3.4 C．x＝2.4 D．x＝1.4 6．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），则的值是（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 7．把抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移1个单位后，恰好 与抛物线y＝2x2+4x+1重合，则a+b+c等于（　　） A．0 B．2 C．8 D．30 8．如题10图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1．下列结论： ①abc＞0；②b2＞4ac；③2a+b＝0；④3a+c＞0； ⑤4a+2b+c＜0．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1 9．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为“海伦一秦九韶公式”．当p＝5，c＝4，且三角形面积的最大值时，则此时边长a的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，关于该二次函数， 下列说法错误的是（　　） A．函数有最小值 B．图象对称轴是直线x C．当x，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0 二．填空题（共6小题） 11．抛物线y＝2x+x2+7的开口向　 　，对称轴是　 　，顶点是　 　． 12．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线　 　． 13．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表知，下列说法：①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y＝ax2+bx+c的最值为6；③抛物线的对称轴是直线x；④在对称轴左侧，y随x的增大而增大，其中正确是　 　（填写序号）． 14．如图，C，D是抛物线y（x+1）2﹣5上两点，抛物线的顶点为E，CD∥x轴，四边形ABCD为正方形，AB边经过点E，则正方形ABCD的边长为　 　． 15．如图，已知点A（6，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y1和过P，A两点的二次函数y2的图象开口均向上，它们的顶点分别为B，C，射线OB与AC交于点 D．当OD＝AD＝5时，这两个二次函数的最小值之和等于　 　． 16．关于x的函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的图象与x轴只有一个交点，则a的值是 　 　． 三．解答题（共7小题） 17．如图，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 18．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标 原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m＝2时，该抛物线 与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下， x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标； 若P点不存在，请说明理由． 19．如图，抛物线yx2x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC． （1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合）．过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值并此时写出点E坐标． 20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，tan∠CBA．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；（3）设抛物线上的点E在第一象限，△BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E． （1）求此抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）若直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积． 23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式； （2）求直线CM的解析式；（3）求△MCB的面积． 第26章 二次函数单元练习题 2026-2027学年人教版九年级数学上册参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B D A A B D D 一．选择题（共10小题） 1．已知抛物线与二次函数y＝﹣5x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，2020），它对应的函数表达式为（　　） A．y＝﹣5（x﹣1） 2+2020 B．y＝5（x﹣1） 2+2020 C．y＝5（x+1） 2+2020 D．y＝﹣5（x+1）2+2020 【分析】先设顶点式y＝a（x+1）2+2020，然后根据二次函数的性质确定a的值． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2020）， ∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2020， ∵抛物线y＝a（x+1）2+2020与二次函数y＝﹣5x2的图象相同，开口方向相同， ∴a＝﹣5， ∴抛物线的解析式为y＝﹣5（x+1）2+2020． 故选：D． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 2．若函数是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．2或﹣1 B．﹣1 C．0或1 D．2 【分析】根据“形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【解答】解：∵y＝（m﹣2）2x+3是关于x的二次函数， ∴m2﹣m＝2且m﹣2≠0， 解得：m＝﹣1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 3．k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（　　） A．直线y＝x上 B．直线y＝﹣x上 C．x轴上 D．y轴上 【分析】求出抛物线的顶点为（k，﹣k），可以得到顶点在y＝﹣x直线上． 【解答】解：∵y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）， ∴抛物线的顶点为（k，﹣k）， ∵k为任意实数， ∴顶点在y＝﹣x直线上， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法，和一次函数的性质是解题的关键． 4．二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x+4的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（　　） A．1或﹣3 B．5或﹣3 C．﹣5或3 D．以上都不对 【分析】由二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x+4的图象与x轴有且只有一个交点，可得Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×4＝0，继而求得答案． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x+4的图象与x轴有且只有一个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×4＝0， ∴（m﹣1）2＝16， 解得：m﹣1＝±4， ∴m1＝5，m2＝﹣3． ∴m的值为5或﹣3． 故选：B． 【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点问题．此题比较简单，注意掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 5．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　） A．x＝4.4 B．x＝3.4 C．x＝2.4 D．x＝1.4 【分析】根据一元二次方程的个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，再根据抛物线的对称轴，求出另外一个交点，即可得到方程的另一个近似跟． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点（﹣3.4，0），且抛物线的对称轴为：x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1.4，0）， 则方程的另一个近似根为x＝1.4， 故选：D． 【点评】本题考查了利用图象法求一元二次方程的近似根，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性和抛物线与x轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键． 6．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），则的值是（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【分析】把（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）整理出a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，然后代入原式化简即可求解． 【解答】解：把（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得 a+b+c＝0， ∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a， 则原式3． 故选：A． 【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系和整体思想的应用． 7．把抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移1个单位后，恰好与抛物线y＝2x2+4x+1重合，则a+b+c等于（　　） A．0 B．2 C．8 D．30 【分析】根据题意，把y＝2x2+4x+1化为顶点坐标式，向右平移2个单位，再向上平移1个单位得抛物线y＝ax2+bx+c，再求a+b+c的值． 【解答】解：y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1向右平移2个单位，再向上平移1个单位得抛物线y＝2（x+1﹣2）2﹣1+1＝2（x﹣1）2＝2x2﹣4x+2．当x＝1时，y＝a+b+c＝2﹣4+2＝0． 故选：A． 【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力． 8．如题10图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1．下列结论： ①abc＞0； ②b2＞4ac； ③2a+b＝0； ④3a+c＞0； ⑤4a+2b+c＜0． 其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可． 【解答】解：由图象可知，a＜0，c＞0， 对称轴直线x0， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac， 故②正确； ∵对称轴是直线x＝1， ∴1， ∴2a+b＝0， 故③正确； ∵当x＝﹣1，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∵b＝﹣2a， ∴3a+c＞0， 故④正确； ∵当x＝2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0， 故⑤错误． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数性质的掌握和运用． 9．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为“海伦一秦九韶公式”．当p＝5，c＝4，且三角形面积的最大值时，则此时边长a的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据p5，c＝4，可以得到b＝6﹣a，然后将S关于a的关系式，进行变化，再根据二次函数的性质，可以得到当S取得最大值时，a的值． 【解答】解：∵p5，c＝4， ∴b＝6﹣a， ∴S， ∴当a＝3时，S取得最大值， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的应用、二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值． 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　） A．函数有最小值 B．图象对称轴是直线x C．当x，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， 该函数图象开口向上，有最小值，故选项A不符合题意； 函数图象的对称轴是直线x，故选项B不符合题意； 当x，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意； 当﹣1＜x＜2时，y＜0，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数的最值，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．抛物线y＝2x+x2+7的开口向　上　，对称轴是　x＝﹣1　，顶点是　（﹣1，6）　． 【分析】把抛物线解析式化为顶点式即可求得答案． 【解答】解： ∵y＝2x+x2+7＝（x+1）2+6， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）， 故答案为：上；x＝﹣1；（﹣1，6）． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 12．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线　x＝﹣1　． 【分析】根据函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的根及两根之和公式来解决此题． 【解答】解：∵函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的根， ∵x1+x2＝﹣3+12． 则对称轴x（）（﹣2）＝﹣1． 【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．（利用二次函数的对称性解答更直接） 13．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法：①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y＝ax2+bx+c的最值为6；③抛物线的对称轴是直线x；④在对称轴左侧，y随x的增大而增大，其中正确的是　①③④　（填写序号）． 【分析】根据表格判断出抛物线的对称轴、开口方向、与x轴的交点等即可解决问题． 【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴x，开口向下，与x轴的交点为（﹣2，0），（3，0）， 在对称轴左侧，y随x的增大而增大，函数y有最大值，最大值＞6， 所以①③④正确， 故答案为①③④． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14．如图，C，D是抛物线y（x+1）2﹣5上两点，抛物线的顶点为E，CD∥x轴，四边形ABCD为正方形，AB边经过点E，则正方形ABCD的边长为　　． 【分析】首先设AB＝CD＝AD＝BC＝a，再根据抛物线解析式可得E点坐标，表示出C点横坐标和纵坐标，进而可得方程5﹣a＝﹣5，再解即可． 【解答】解：设AB＝CD＝AD＝BC＝a， ∵抛物线y（x+1）2﹣5， ∴顶点E（﹣1，﹣5），对称轴为直线x＝﹣1， ∴C的横坐标为1，D的横坐标为﹣1， ∵点C在抛物线y（x+1）2﹣5上， ∴C点纵坐标为（1+1）2﹣55， ∵E点坐标为（﹣1，﹣5）， ∴B点纵坐标为﹣5， ∵BC＝a， ∴5﹣a＝﹣5， 解得：a1，a2＝0（不合题意，舍去）， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质和正方形的性质，解决问题的关键是表示出B、C点的纵坐标． 15．如图，已知点A（6，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y1和过P，A两点的二次函数y2的图象开口均向上，它们的顶点分别为B，C，射线OB与AC交于点 D．当OD＝AD＝5时，这两个二次函数的最小值之和等于　﹣4　． 【分析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE＝OE＝3，DE＝4．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出，，代入求出BF和CM，相加即可求出答案． 【解答】解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M， ∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA， ∴BF∥DE∥CM， ∵OD＝AD＝5，DE⊥OA， ∴OE＝EAOA＝3， 由勾股定理得：DE4． 设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x， ∵BF∥DE∥CM， ∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE， ∴，， ∵AM＝PM（OA﹣OP）（6﹣2x）＝3﹣x， 即，， 解得：BFx，CM＝4x， ∴BF+CM＝4． 故答案为﹣4． 【点评】此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题． 16．关于x的函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的图象与x轴只有一个交点，则a的值是 　0或﹣1　． 【分析】分类讨论a＝0和a≠0时，直线，抛物线与x轴只有一个交点的情况． 【解答】解：当a＝0时，y＝﹣x﹣1为一次函数， 该直线与x轴有一个交点，符合题意， 当a≠0时，令y＝ax2+（a﹣1）x﹣1＝0， ∴Δ＝（a﹣1）2+4a＝0， 解得：a＝﹣1， 故答案为：0或﹣1． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，注意分类讨论求解． 三．解答题（共7小题） 17．如图，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形； （3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由定点列式计算，从而得到b，c的值而得解析式； （2）由解析式求解得到点A，得到AC，CD，AD的长度，而求证； （3）由（2）得到的结论，进行代入，要使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是AB平行且等于EF，那么只需将E点的坐标向左或向右平移AB长个单位即可得出F点的坐标，然后将得出的F点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的F点． 【解答】解：（1）由题意得， 解得：b＝2，c＝﹣3， 则解析式为：y＝x2+2x﹣3； （2）由题意结合图形 则解析式为：y＝x2+2x﹣3， 解得x＝1或x＝﹣3， 由题意点A（﹣3，0）， ∴AC，CD，AD， 由AC2+CD2＝AD2， 所以△ACD为直角三角形； （3）∵A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AB＝4， ∵点E在抛物线的对称轴上， ∴点E的横坐标为﹣1， 当AB为平行四边形的一边时，EF＝AB＝4， ∴F的横坐标为3或﹣5， 把x＝3或﹣5分别代入y＝x2+2x﹣3，得到F的坐标为（3，12）或（﹣5，12）； 当AB为平行四边形的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分， ∴F点必在对称轴上，即F点与D点重合， ∴F（﹣1，﹣4）． ∴所有满足条件的点F的坐标为（3，12），（﹣5，12），（﹣1，﹣4）． 【点评】本题考查了二次函数的综合运用，本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法． 18．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1． （1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可； （2）根据m＝2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可； （3）根据当P、C、D共线时PC+PD最短，利用平行线分线段成比例定理得出PO的长即可得出答案． 【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）， ∴代入二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1＝0， 解得：m＝±1， ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x或y＝x2+2x； （2）∵m＝2， ∴二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1得：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1）， 当x＝0时，y＝3， ∴C点坐标为：（0，3）， ∴C（0，3）、D（2，﹣1）； （3）当P、C、D共线时PC+PD最短， 过点D作DE⊥y轴于点E， ∵PO∥DE， ∴， ∴， 解得：PO， ∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）． 【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以及最短路线问题等知识，根据数形结合得出是解题关键． 19．如图，抛物线yx2x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC． （1）求AB和OC的长； （2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合）．过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值并此时写出点E坐标． 【分析】（1）根据抛物线解析式，可求出A、B、C的坐标，继而可得出AB和OC的长； （2）根据ED∥BC，可判断△AED∽△ABC，再由相似三角形的面积比等于相似比平方，可得出s关于m的函数关系式，结合题意可得m的取值范围； （3）根据S△EDC＝S△AEC﹣S△AED，可得△CDE的面积关于m的表达式，利用配方法可求出△CDE面积的最大值，进而得出EO的长，即可得出E点坐标． 【解答】解：（1）在yx2x﹣9中， 令x＝0，得y＝﹣9， ∴C（0，﹣9）； 令y＝0，即0x2x﹣9， 解得：x1＝﹣3，x2＝6， ∴A（﹣3，0）、B（6，0）， ∴AB＝9，OC＝9． （2）∵ED∥BC， ∴△AED∽△ABC， ∴（）2，即：（）2， ∴sm2（0＜m＜9）． （3）∵S△AECAE•OCm，S△AED＝sm2， ∴S△EDC＝S△AEC﹣S△AEDm2m（m）2， 当m时，S△EDC取得最大，最大值为． 故△CDE的最大面积为， 此时，OE＝AE﹣AO3， 故E点坐标为：（，0）． 【点评】本题考查了二次函数的综合，涉及了相似三角形的判定与性质、配方法求二次函数最值等知识，正确利用相似三角形的判定与性质得出s与m的函数关系是解题关键． 20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，tan∠CBA． （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积； （3）设抛物线上的点E在第一象限，△BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标． 【分析】（1）由抛物线解析式和已知条件得出C和B的坐标，（0，3），OC＝3， 把A（2，0）、B（6，0）分别代入y＝ax2+bx+3得出方程组，解方程即可； （2）把抛物线解析式化成顶点式得出顶点坐标，四边形ACBD的面积＝△ABC的面积+△ABD的面积，即可得出结果； （3）设点E的坐标为（x，x2﹣2x+3），分两种情况：①当∠CBE＝90°时；②当∠BCE＝90°时；分别由三角函数得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵当x＝0时，∴C（0，3），OC＝3， 在Rt△COB中，∵tan∠CBA， ∴， ∴OB＝2OC＝6， ∴点B（6，0）， 把A（2，0）、B（6，0）分别代入y＝ax2+bx+3，得：，解得： ∴该抛物线表达式为yx2﹣2x+3； （2）∵yx2﹣2x+3（x﹣4）2﹣1 ∴顶点D（4，﹣1）， ∴四边形ACBD的面积＝△ABC的面积+△ABD的面积4×34×1＝8； （3）设点E的坐标为（x，x2﹣2x+3），分两种情况： ①当∠CBE＝90°时， 作EM⊥x轴于M，如图所示： 则∠BEM＝∠CBA， ∴tan∠BEM＝tan∠CBA， ∴EM＝2BM， 即2（x﹣6）x2﹣2x+3， 解得：x＝10，或x＝6（不合题意，舍去）， ∴点E坐标为（10，8）； ②当∠BCE1＝90°时，作E1N⊥y轴于N， 则∠E1CN＝∠CBA， ∴tan∠E1CN＝tan∠CBA， ∴CN＝2E1N， 即2xx2﹣2x+3﹣3， 解得：x＝16，或x＝0（不合题意，舍去）， ∴点E1坐标为（16，35）； 综上所述：点E坐标为（10，8）或（16，35）． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线解析式的求法、三角函数的应用、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，求出抛物线解析式是解决问题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）①直接写出点B的坐标； ②求抛物线解析式． （2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． （3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）①先求的直线yx+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y＝y＝a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值； （2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQm2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PACPQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标； （3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系． 【解答】解：（1）①y当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣4， ∴C（0，2），A（﹣4，0）， 由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x对称， ∴点B的坐标为（1，0）． ②∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0）， ∴可设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1）， 又∵抛物线过点C（0，2）， ∴2＝﹣4a ∴a ∴yx2x+2． （2）设P（m，m2m+2）． 过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q， ∴Q（m，m+2）， ∴PQm2m+2﹣（m+2） m2﹣2m， ∵S△PACPQ×4， ＝2PQ＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4， ∴当m＝﹣2时，△PAC的面积有最大值是4， 此时P（﹣2，3）． （3）方法一： 在Rt△AOC中，tan∠CAO在Rt△BOC中，tan∠BCO， ∴∠CAO＝∠BCO， ∵∠BCO+∠OBC＝90°， ∴∠CAO+∠OBC＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC∽△ACO∽△CBO， 如图： ①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC； ②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ③当点M在第四象限时，设M（n，n2n+2），则N（n，0） ∴MNn2n﹣2，AN＝n+4 当时，MNAN，即n2n﹣2（n+4） 整理得：n2+2n﹣8＝0 解得：n1＝﹣4（舍），n2＝2 ∴M（2，﹣3）； 当时，MN＝2AN，即n2n﹣2＝2（n+4）， 整理得：n2﹣n﹣20＝0 解得：n1＝﹣4（舍），n2＝5， ∴M（5，﹣18）． 综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似． 方法二： ∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2）， ∴KAC×KBC＝﹣1， ∴AC⊥BC，MN⊥x轴， 若以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似， 则，， 设M（2t，﹣2t2﹣3t+2）， ∴N（2t，0）， ①||， ∴||， ∴2t1＝0，2t2＝2， ②||， ∴||＝2，∴2t1＝5，2t2＝﹣3， 综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似． 【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质． 22．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E． （1）求此抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）若直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）将（1）中抛物线解析式转化为顶点式，直接得到答案； （3）首先求出直线与二次函数的交点坐标进而得出E，F点坐标，即可得出△DEF的面积． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点， ∴， 解得：， 故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3． ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴此抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1； （3）联立方程组得：， 解得：（舍去），， ∴D（4，5）． 在直线y＝x+1中，当x＝0时，y＝1， ∴F（0，1） 在抛物线y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3， ∴E（0，﹣3）． ∴EF＝1﹣（﹣3）＝4． 过点D作DM⊥y轴于点M， ∴S△DEFEF•DM＝8． 【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识，利用数形结合得出D，E，F点坐标是解题关键． 23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求直线CM的解析式； （3）求△MCB的面积． 【分析】（1）A（﹣1，0），C（0，5），D（1，8）代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值即可得到二次函数解析式； （2）先把抛物线解析式配成顶点式，则可确定M点坐标为（2，9），软件利用待定系数法确定直线CM的解析式； （3）先确定直线CM与x轴的交点D的坐标和抛物线与x轴的交点B的坐标，然后利用S△MCB＝S△MBE﹣S△CBE进行计算． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得， 所以二次函数解析式为y＝﹣x2+4x+5； （2）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， 则M点坐标为（2，9）， 设直线MC的解析式为y＝mx+n， 把M（2，9）和C（0，5）代入得， 解得， 所以直线CM的解析式为y＝2x+5； （3）把y＝0代入y＝2x+5得2x+5＝0， 解得x， 则E点坐标为（，0）， 把y＝0代入y＝﹣x2+4x+5得﹣x2+4x+5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝5， 所以S△MCB＝S△MBE﹣S△CBE95＝15． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/31 21:48:33；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $