期中真题重组卷（海南专用，新教材华东师大版八上10-12.2.3章：数的开方+整式乘除+全等三角形判定）八年级数学上学期

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 3 4 5 6 8 9 10 11 12 B C C C A B D B 公 B B 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分) 13.4 14.1-2 15.3 16.7或3 三、解答题（本大题共6小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(15分) 22 +5 【详解】(1)解：原式 2分 =73分 (2)解：2(x+)°-16=0 :2(x+)=16 (c+=8,4分 .x+1=2,5分 .x=1.6分 (3)解：aaa+(a)-(2a)月 =a8+a8-4a8 8分 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-2a,.9分 (4)原式=4a2-4ab+b2-4a2+6ab…11分 =2ab+b2 12分 (5)原式=20242-2×2024×2025+2025213分 =(2024-2025)2 14分 =1.15分 18.(8分) 【详解】解：原式=(0-2ab+2-2a6+262-2+b)(40 4分 =(4b2-4ab)÷(-4b) .5分 =4b(b-a)÷(-4b) =-b+a,.6分 a=1: 4 :原式←习+1= 4。…8分 19.(12分) 【详解】(1)解：ab+a2 =a(b+a) ;.3分 -4y+12y2 (2)解： =12y2-4xy =4y(3y-x) :.6分 (3)解：2x3-18x 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2x(x2-9) 7分 =2x(x+3)(x-3) ;9分 (4)解：(x+1)x+3)+1 =x2+4x+4 .10分 =(x+2)2 12分 20.(10分) 【详解】(（1)阴影部分是边长为”-m的正方形，面积为(m-m 阴影部分的面积也可表示为大正方形面积一四个小长方形面积， 即m+n-4mn 等量关系为m-n°=(m+n-4mm 故答案为： (m-n}=(m+m-4mn:2分 (2)x+y=6,y=4,4分 0+y=(x+y-2y=36-8=28 ，6分 @（x-y=(+-4g=36-16=20,…8分 (3)解：一个长方形的周长为12，面积为8， ∴.m+n=6,mn=8, ∴.m2+n2=(m+n2-2mn=62-2×8=20 ∵S,+S2+S3 =(5-m)2+(n-5+m)2+(5-n 3/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =25-10m+m2+1+25-10n+n2 =51-10(m+n)+(m2+n2) =51-10×6+20 =51-60+20 =11. 故答案为：11.10分 21.(13分) 【详解】(1) 解：，CE=BF, 、CE+EB=BF+EB,即BC=EF,1分 在AABC和△DEF中， ∠A=∠D ∠C=∠F BC=EF· △ABC≌△DEF(AAS) ,3分 .AB=DE;4分 (2)解：∠C=28°，∠A=90° ∴∠ABC=180°-∠A-∠C=62°，5分 △ABC≌aDEF, 、.∠ABC=∠DEF=62°，6分 .∠EMB=180°-∠ABC-∠DEF=56°，7分 ,MN平分∠EMB, .∠EMN=∠BMN=28°：.8分 (3)解：在△MEN和△MBN中， ∠EMN=∠BMN ∠MEN=∠MBN MN=MN 4/7 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △MEN兰△MBN(AAS) .10分 .EN=BN=1,BE=2,11分 .CF=BC+BF=BC+EF-BE 又：BC=EF, .2BC-2=14,12分 ∴BC=8 .13分 22.(14分) 【答案】 (1)①证明：如图：：BD⊥AF,CE⊥AF, .∠BDA=∠AEC=90°，1分 ∠ABD+∠BAD=90°， ∠MAN=90°， ∴BAD+∠CAE=90°， ∠ABD=∠CAE,3分 在△ABD和△CAE中， ∠ADB=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=AC △ABD≌△CAE(AAS) :4分 ②BD=DE+CE.6分 理由： △ABD≌△CAE, BD=AE,AD=CE. AE=AD+DE, .BD=DE+CE 5/7 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B (2)证明：如图：：∠I=∠BAD+∠ABD,∠BAC=∠BAD+∠CAE, ∠2=∠ECA+∠CAE,且∠I=∠2=∠BAC,7分 ·∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=∠ECA+∠CAE, ∠ABD=∠CAE,∠BAD=∠ECA,8分 在△ABD和△CAE中， ∠ABD=∠CAE AB=AC ∠BAD=∠ACE' △ABD≌△CAE(ASA) …10分 .BD=AE,AD=CE,11分 AE AD+DE .BD=DE+CE:12分 M B CN (3)8.14分 如图：CD=2BD,.BC=3BD 当△ABC,△ABD分别以BC,BD为底来计算面积时，边BC,BD上的高是相等的， 设边BC,BD上的高为h, 6/7 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.ABD= BD.h 2 1 ·根据三角形面积公式知，Sc 1BC.h 3, 2 :△ABC 的面积为24，即 S.A8C=24 1 S.4mD=7S.40C=8 3 .∠I=∠2=∠BAC, ∴.∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAF=∠FCA+∠CAF .∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA, 在△ABE和△CAF中， 「∠ABE=∠CAF AB=AC ∠BAE=∠ACF' △ABE≌ACAF(ASA) SACAF=SABE SCAF+SBDE=SABE+SBDE=S.4BD= 即aCAF与△BDE的面积之和为8. 答案为：8 2 E B D 7/7 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材华师版八年级数学上册第10章~12.2.3角边角。 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，在数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， 观察数轴可知，点在与之间，点在与之间，点在与之间，点在与之间， ∴表示实数的点可能是点． 2．（25-26八年级上·海南儋州·期中）下列命题中，是假命题的是（    ） A．四边形的外角和等于 B．两直线平行，内错角相等 C．若，则 D．在实数范围内，负数没有平方根 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判断，多边形外角和，平行线的性质，不等式的性质，平方根的概念理解． 根据多边形外角和，平行线的性质，不等式的性质，平方根的概念一一判断即可． 【详解】解：A、多边形外角和恒为，正确； B、平行线性质，内错角相等，正确； C、若，只有时，才成立，故错误； D、实数范围内负数无平方根，正确； ∴假命题是C， 故选：C． 3．（26-27八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：，错误． B选项：，错误． C选项：，正确． D选项：，错误 4．（25-26八年级上·海南海口·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是整式的运算，熟练掌握同类项的合并、同底数幂的乘除、幂的乘方运算法则是解题的关键．根据同类项的定义判断能否合并，再依据同底数幂的乘法法则、除法法则以及幂的乘方法则逐一分析选项，进而选出计算正确的选项． 【详解】解：对于选项，与不是同类项，不能合并，计算错误， 对于选项，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，计算错误， 对于选项，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，计算正确， 对于选项，根据幂的乘方法则，可得，计算错误． 故选：． 5．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，即可得到答案． 【详解】解：依题意，， ∴需要类卡片的张数为6， 故选：A． 6．（25-26八年级上·海南海口·阶段检测）若，，则的值是（    ） A．1 B． C．17 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查同底数幂的除法运算和幂的乘方运算的逆运算，解题的关键是熟知幂的运算公式． 根据同底数幂的除法运算和幂的乘方运算的逆运算法则求解即可． 【详解】∵，， ∴． 故选：B． 7．（24-25八年级上·海南海口·期中）根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（     ） A．已知线段，用尺规作，使，， B．已知，，线段，用尺规作，使，， C．已知线段，，，用尺规作，使，， D．已知线段，，，用尺规作，使，， 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形判定对三角形形状唯一性的影响，符合全等判定条件的三角形可唯一确定形状，不符合则不能唯一确定，只需判断各选项对应的判定类型即可． 【详解】解：∵全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，逐一分析各选项： A、已知三边作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； B、已知两角和夹边作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； C、已知两边及其夹角作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； D、已知两边及其中一边的对角作三角形，属于，不能判定三角形全等，可作出多个形状不同的三角形，形状不能唯一确定． 8．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键， 首先得到，然后根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即 A．添加条件，可以根据证明，故A不符合题意； B．添加条件，不可以根据证明，故B符合题意； C．添加条件，可以根据证明，故C不符合题意； D．添加条件，可以根据证明，故D不符合题意； 故选：B． 9．（24-25八年级上·海南琼海·期中）如图，，点A、F、C、E在一条直线上，连接．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 平分，， 设，则 在中，根据三角形内角和定理，得 ， 解得：， ； 故选：B 10．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，．，，垂足分别是点，，，，则的长是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂直得直角三角形，直角三角形的两锐角互余，得到，从而得到，根据三角形全等的性质解即可． 【详解】解：，，， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 11．（25-26八年级上·海南三亚·期中）如图，在中，，，，平分交于点，在上截取，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据角平分线的定义得，证明得，继而推出，代入数据可得答案．解题的关键是掌握全等三角形的判定． 【详解】解：∵平分，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的周长为． 故选：B． 12．（25-26八年级上·海南文昌·期中）观察下表中的数据信息． 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 根据表中的信息判断，下列说法正确的是（    ） A． B．247的算术平方根比15.7小 C．根据表中数据的变化趋势，可以推断出比225小3.01 D．只有3个正整数满足 【答案】A 【分析】根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可；此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 【详解】A、根据表格中的信息知， ，故选项正确； B、根据表格中的信息知：246.49的算术平方根为15.7，247246.49 247的算术平方根比15.7大，故选项不正确； C、根据表格中的信息无法得知的值， 不能推断出比225小3.01，故选项不正确； D、根据表格中的信息知： 正整数或254或255或256， 只有4个正整数满足，故选项不正确； 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（25-26八年级上·海南海口·期中）若关于的代数式是完全平方式，则常数______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式．根据完全平方公式，将代数式与标准形式比较系数求解． 【详解】解：设可化为， 得， 解得， 则． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 【答案】 1 【分析】根据算术平方根，绝对值的非负性求出，的值，通过估算无理数的大小得到的值，再计算，最后根据立方根的定义得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， ，，， ， 的整数部分， 将，，代入得：， 的立方根是． 15．（26-27八年级上·海南海口·阶段检测）若计算的结果中不含有项，则的值为__________． 【答案】 【分析】先将原式展开合并同类项，令项的系数为，解方程即可求出的值． 【详解】解： ， 的结果中不含有项， ， ． 16．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动___________时，与全等． 【答案】7或3 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法．设点E运动的时间为，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线方向运动，根据与全等，可得，求出，然后计算即可；二是点E从点B出发沿射线方向运动，根据与全等，可得，求出，然后计算即可． 【详解】解：设点E运动的时间为， 如图1，点E从点B出发沿射线方向运动，    ∵为边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在和中，，，与全等， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2，点E从点B出发沿射线方向运动，则，，    ∵与全等， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，当点E运动或时，与全等， 故答案为：7或3． 三、解答题（本大题共6小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（25-26八年级上·海南定安·期中）（15分）计算或求出x的值： (1) (2)． (3) (4) (5)（用简便方法） 【详解】（1）解：原式..........2分 ..........3分 （2）解：∵， ∴， ∴，..........4分 ∴，..........5分 ∴．..........6分 （3）解： ..........8分 ；..........9分 （4）原式..........11分 ..........12分 （5）原式..........13分 ..........14分 ..........15分 18．（25-26八年级上·海南儋州·期中）（8分）先化简，再求值：，其中，． 【详解】解：原式..........4分 ..........5分 ，.........6分 ，， 原式．.........8分 19．（25-26八年级上·海南海口·期中）（12分）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ；.........3分 （2）解： ；.........6分 （3）解： .........7分 ；.........9分 （4）解： .........10分 ．.........12分 20．（25-26八年级上·海南海口·期中）（10分）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)如图-1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图-2的形状拼成一个正方形．请根据图-2中阴影部分的面积，写出下列三个代数式，，之间的等量关系式：___________； (2)已知，，求下列各式的值： ①；    ②； (3)如图-3，边长为5的正方形中放置两个长为、宽为的长方形（其中，），且每个长方形的周长是12，面积是8，则图中阴影部分的面积___________． 【详解】（1）阴影部分是边长为的正方形，面积为． 阴影部分的面积也可表示为大正方形面积四个小长方形面积， 即， ∴等量关系为； 故答案为：；.........2分 （2）∵，.........4分 ∴①，.........6分 ②；........8分 （3）解：一个长方形的周长为，面积为8， ，， ， ． 故答案为：11．.........10分 21．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）（13分）问题背景： 如图，在和中，与交于点，且、、、位于同一条直线上．已知，，，平分交于点． 【问题探究】 (1)试说明：； (2)若，求的度数； (3)若，，求的长． 【详解】(1) 解：∵， ∴，即，.........1分 在和中， ， ∴，.........3分 ∴；.........4分 （2）解：∵，， ∴，.........5分 ∵， ∴，.........6分 ∴，.........7分 ∵平分， ∴；.........8分 （3）解：在和中， ， ∴，.........10分 ∴，，.........11分 ∵， 又∵， ∴，.........12分 ∴．.........13分 22．（25-26八年级上·海南海口·期中）（14分）【问题情境】如图-1，在中，，于点，由“同角的余角相等”可证得． 证明过程如下： 于点 在中， 【特例探究】（1）如图-2，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点． ①求证：； ②、、之间有怎样的数量关系：___________；（直接写出结果） 【归纳证明】（2）如图-3，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； 【拓展应用】（3）如图-4，在中，，．点是边上的三等分点（即），点、在线段上，．若的面积为24，则阴影部分的面积之和为___________．（直接写出结果） 【答案】 （1）①证明：如图：∵，， ∴，.........1分 ∴， ∵， ∴， ∴，.........3分 在和中， ， ∴；........4分 ②........6分 理由： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图：∵， ，且,.........7分 ∴， ∴，........8分 在和中， ， ∴；.........10分 ∴，.........11分 ∵， ∴；.........12分 （3）8 .........14分 如图：∵，∴， 当，分别以为底来计算面积时，边上的高是相等的， 设边上的高为h， ∴根据三角形面积公式知，， ∵的面积为24，即 ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∴， 即与的面积之和为8． 答案为：8． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材华师版八年级数学上册第10章~12.2.3角边角。 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，在数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26八年级上·海南儋州·期中）下列命题中，是假命题的是（    ） A．四边形的外角和等于 B．两直线平行，内错角相等 C．若，则 D．在实数范围内，负数没有平方根 3．（26-27八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·海南海口·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．（25-26八年级上·海南海口·阶段检测）若，，则的值是（    ） A．1 B． C．17 D． 7．（24-25八年级上·海南海口·期中）根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（     ） A．已知线段，用尺规作，使，， B．已知，，线段，用尺规作，使，， C．已知线段，，，用尺规作，使，， D．已知线段，，，用尺规作，使，， 8．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（    ）． A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·海南琼海·期中）如图，，点A、F、C、E在一条直线上，连接．若，则等于（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，．，，垂足分别是点，，，，则的长是(　　) A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·海南三亚·期中）如图，在中，，，，平分交于点，在上截取，则的周长为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·海南文昌·期中）观察下表中的数据信息． 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 根据表中的信息判断，下列说法正确的是（    ） A． B．247的算术平方根比15.7小 C．根据表中数据的变化趋势，可以推断出比225小3.01 D．只有3个正整数满足 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（25-26八年级上·海南海口·期中）若关于的代数式是完全平方式，则常数______． 14．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 15．（26-27八年级上·海南海口·阶段检测）若计算的结果中不含有项，则的值为__________． 16．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动___________时，与全等． 三、解答题（本大题共6小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（25-26八年级上·海南定安·期中）（15分）计算或求出x的值： (1) (2)． (3) (4) (5)（用简便方法） 18．（25-26八年级上·海南儋州·期中）（8分） 先化简，再求值：，其中，． 19．（25-26八年级上·海南海口·期中）（12分）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（25-26八年级上·海南海口·期中）（10分）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)如图-1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图-2的形状拼成一个正方形．请根据图-2中阴影部分的面积，写出下列三个代数式，，之间的等量关系式：___________； (2)已知，，求下列各式的值： ①；    ②； (3)如图-3，边长为5的正方形中放置两个长为、宽为的长方形（其中，），且每个长方形的周长是12，面积是8，则图中阴影部分的面积___________． 21．（25-26八年级上·海南东方·期中）（13分）问题背景： 如图，在和中，与交于点，且、、、位于同一条直线上．已知，，，平分交于点． 【问题探究】 (1)试说明：； (2)若，求的度数； (3)若，，求的长． 22．（25-26八年级上·海南海口·期中）（14分）【问题情境】如图-1，在中，，于点，由“同角的余角相等”可证得． 证明过程如下： 于点 在中， 【特例探究】（1）如图-2，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点． ①求证：； ②、、之间有怎样的数量关系：___________；（直接写出结果） 【归纳证明】（2）如图-3，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； 【拓展应用】（3）如图-4，在中，，．点是边上的三等分点（即），点、在线段上，．若的面积为24，则阴影部分的面积之和为___________．（直接写出结果） 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $