备战2027年浙江中考数学一轮复习 第4讲 二次根式（讲义）

备战2027年浙江中考数学一轮复习 · 第4讲 二次根式 · 讲义 · 教师版 备战2027年浙江中考数学一轮复习 第一单元　数与式 第4讲　二次根式 教师版 班级：      　　姓名：      　　学号：       适用浙江全省统考　建议课时1课时　满分120分　考试时间120分钟 一、考点与配套练习对应表 讲义考点 核心内容 配套练习对应题号 考点1 二次根式的定义、有意义的条件、双重非负性 第1题、第11题、第18题 考点2 最简二次根式的判定、的化简 第2题、第6题、第9题、第12题、第21题 考点3 二次根式的乘法、除法、结果化简 第3题、第13题、第17题 考点4 同类二次根式、加减与混合运算 第4题、第7题、第14题、第19题、第22题 考点5 分母有理化、分子分母同乘同一个式子 第5题、第15题、第23题 考点6 估算范围、作差与平方法比较大小 第8题、第10题、第16题、第20题、第24题 二、课标要求 1．了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件。 2．理解最简二次根式的概念，会把二次根式化成最简二次根式。 3．能进行简单的二次根式乘除运算，并会对结果进行化简。 4．能进行简单的二次根式加减运算，掌握合并同类二次根式的方法。 5．会进行分母有理化，能对含二次根式的式子进行混合运算。 6．能用有理数估计一个二次根式的大致范围，能比较两个二次根式的大小。 以上为依据义务教育数学课程标准2022年版数与式主题整理的要点，非逐字原文。 三、知识网络 二　次　根　式 概念 形如的式子；被开方数≥0；≥0 化简 被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数；＝ 乘除 ·＝；＝ 加减 先化最简，再合并同类二次根式；被开方数不同不能合并 有理化 分子分母同乘分母的有理化因式 估算与比较 夹在两个相邻完全平方数之间；平方法、作差法 四、考点梳理 考点1　二次根式的概念与双重非负性 1．形如的式子，当被开方数≥0时叫做二次根式。 2．二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零；二次根式无意义的条件是被开方数小于零。 3．二次根式的双重非负性：被开方数≥0，二次根式的值≥0。 4．算一算：若有意义，则＝1。 考点2　最简二次根式与化简 1．最简二次根式满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2．＝，这是化简时最容易丢的一步。 3．算一算：＝。 4．算一算：＝5。 考点3　二次根式的乘除 1．当≥0，≥0时，·＝。 2．当≥0，＞0时，＝。 3．二次根式乘除的结果必须化成最简二次根式，根号内不能留能开得尽方的因数。 4．算一算：＝3。 考点4　二次根式的加减与混合运算 1．化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2．二次根式加减的实质是合并同类二次根式，即把同类二次根式合并成一项。 3．不能合并，因为这两个二次根式的被开方数不同。 4．算一算：＝。 考点5　分母有理化 1．把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．＝。 3．＝，其中＞0。 4．化简时，分子分母应同乘。 考点6　估算与大小比较 1．估计的大致范围，方法是找出与相邻的两个完全平方数。 2．比较与的大小，先把根号外的因数移入根号内，再比较被开方数。 3．算一算：因为，所以3＜＜5。 4．考法提醒：浙江卷解答题第17题是计算题的固定题位，二次根式的化简与合并常是其中一环，且结果要求写成最简形式。 五、典型例题 例1　二次根式的概念辨析 下列各式中，一定是二次根式的是（　） A．　　B．　　C．　　D． 解析　二次根式要求根指数为 2 且被开方数不小于零。A 的被开方数−3＜0，无意义；B 当＜0 时无意义；D 的根指数是 3，是三次根式。C 中≥1＞0 恒成立，对任意实数都有意义。故选C。 练一练1　若有意义，则的取值范围是     。 例2　最简二次根式的判定 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　） A．　　B．　　C．　　D． 解析　最简二次根式要求被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数。A 中 8＝4×2，可化出；B 的被开方数含分母；C 中 12＝4×3，可化出。D 的被开方数 7 是质数且不含分母，已是最简。故选D。 练一练2　下列各式中，是最简二次根式的是    （填序号）。①　②　③　④ 例3　双重非负性 若有意义，则的值是（　） A．3　　B．−3　　C．0　　D．任意实数 解析　两个二次根式要同时有意义，必须−3≥0 且 3−≥0，即≥3 且≤3，两边夹住只有一个值＝3。这里用的是被开方数非负，不是根式的值非负。故选A。 练一练3　若，则＝     。 例4　的化简 化简的结果是（　） A．−6　　B．6　　C．±6　　D．36 解析　先算乘方再开方：＝36，＝6。也可直接用＝，得＝6。把它答成−6，是把当成了，丢了绝对值这一步。故选B。 练一练4　化简，其中＜3，结果是     。 例5　二次根式的乘除 计算的结果是（　） A．　　B．　　C．　　D． 解析　乘除是同级运算，必须从左往右：＝＝2，再乘得。若先算后两个根式相乘得，再与相除，得到的是，这是把同级运算的顺序弄错了。故选B。 练一练5　计算＝     。 例6　估算 估计的值在（　） A．3和4之间　　B．4和5之间　　C．5和6之间　　D．6和7之间 解析　估计的范围，先找被开方数两侧相邻的完全平方数：＝9＜13＜16＝，故3＜＜4。各边同时加 1，得4＜＜5。故选B。 练一练6　估计的值在     和     之间。 例7　二次根式的混合运算 计算：。 解析　先把每一项化成最简二次根式：＝，＝，＝。再合并同类二次根式：原式＝−+＝。二次根式加减的实质是合并同类二次根式，必须先化最简、再看被开方数是否相同，与能合并，与也能合并，但它们与就不能合并。 练一练7　计算＝     。 例8　分母有理化与整体代入 已知＝，求的值。 解析　直接代入要展开，步骤多且易错。先配方：＝。当＝时，−1＝，故原式＝＝3+2＝5。形如+的式子求值，优先把所求式子配成含−的形式，把根式部分整体平方。 练一练8　已知＝，求的值。 练一练答案　1．≤2　2．③　3．1　4．3−　5．2　6．3；4　7．　8．2 六、易错提醒 易错点 正确认识 认为＝ 应为＝。如＝3，不是−3。 求有意义的条件时只写被开方数大于零 应写大于或等于零。如中≥2，等号不能丢。 把合并成 被开方数不同不能合并，就是最终结果。 化简不彻底，还留在根号里 12＝×3，故＝，根号内不能留能开得尽方的因数。 分母有理化只乘分母、不乘分子 分子分母必须同乘，如＝，分子也乘了。 用·＝时不检验非负 只有≥0、≥0时才成立。·＝是错的。 估算时凭印象写≈4.1 应找相邻完全平方数：16＜17＜25，故4＜＜5。 七、讲义同步练 限时20分钟　满分36分　本练与上面六个考点一一对应，错题按考点归档。 1．若有意义，则的取值范围是（　） A．≤3　　B．≥3　　C．＜3　　D．＞3 答案　A　解析　被开方数非负：3−≥0，解得≤3。等号必须保留，＝3时根式的值为0，仍有意义。 2．化简的结果是（　） A．　　B．　　C．　　D． 答案　A　解析　32＝16×2＝×2，故＝。B的根号内还留着能开得尽方的因数8，没有化到最简。 3．计算×的结果是（　） A．　　B．　　C．3　　D．6 答案　A　解析　×＝＝。乘完必须化简，不能把直接当答案。 4．计算−的结果是（　） A．　　B．　　C．3　　D． 答案　A　解析　先化最简：−＝。被开方数不同的根式不能直接相减，与要先化成同被开方数。 5．将分母有理化的结果是（　） A．　　B．　　C．　　D． 答案　A　解析　分子分母同乘：＝。只乘分母不乘分子，会得到＝1，结果就错了。 6．估计的值在（　） A．2和3之间　　B．3和4之间　　C．4和5之间　　D．5和6之间 答案　B　解析　＝9＜10＜16＝，故3＜＜4。找两侧相邻的完全平方数，是估算的固定动作。 7．使有意义的的取值范围是（　） A．＞1　　B．≥1　　C．≠1　　D．＜1 答案　A　解析　根式在分母上，既要被开方数非负，又要分母不为零：−1＞0，即＞1。漏掉分母不为零就会误选B。 8．若＝2−，则的取值范围是（　） A．≥2　　B．≤2　　C．＞2　　D．＜2 答案　B　解析　＝，故＝2−，即−2≤0，得≤2。这是＝的反向用法。 9．计算＝     。 答案　3　解析　＝＝3。商的根号内能开得尽方，结果要算到底。 10．计算−＝     。 答案　　解析　＝，与是同类二次根式，合并得。 11．化简＝     。 答案　　解析　分子分母同乘，得＝。 12．比较大小：     ，填“＞”“＜”或“＝”。 答案　＜　解析　＝，7＜8，故＜。把根号外的因数移入根号内再比较。 八、浙江中考命题透视 2026年题位 考查内容 备考提示 解答第17题 计算，简答题第1题位 化简与合并是这道题的常备环节，结果必须写成最简形式 选择第1至4题 基础运算与概念判定 二次根式有意义、最简判定若单独命题，落在这几个题位 填空第11至13题 基础填空 ＝、估算范围常在此处设陷阱 2026年浙江卷把计算题放在解答题第17题，这是全卷第一个解答题位，分值稳定、位置固定。这类题通常把零指数幂、负整数指数幂、绝对值和二次根式化简串在一起，最后要求写出一个确定的结果。二次根式在其中承担的是“化简”的角色，不是独立成题。 二次根式在浙江卷还有一个特点：它很少单独出一道大题，却几乎渗透在每一道需要写结果的题里。勾股定理求边长、锐角三角函数求线段、二次函数求交点坐标、反比例函数求比例系数，最终结果常常带根号，能不能化成最简、能不能把分母的根号去掉，直接决定这道题算不算拿满分。 2027年备考定位：本讲求“化到底”。三条必须练成条件反射：一是被开方数先分解、能开尽方的全部开出；二是分母有根号就想有理化；三是看到立刻写再判正负。把这三条守住，二次根式就不会在别人的题里扣你的分。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $备战2027年浙江中考数学一轮复习 · 第4讲 二次根式 · 讲义 · 学生版 备战2027年浙江中考数学一轮复习 第一单元　数与式 第4讲　二次根式 学生版 班级：      　　姓名：      　　学号：       适用浙江全省统考　建议课时1课时　满分120分　考试时间120分钟 一、考点与配套练习对应表 讲义考点 核心内容 配套练习对应题号 考点1 二次根式的定义、有意义的条件、双重非负性 第1题、第11题、第18题 考点2 最简二次根式的判定、的化简 第2题、第6题、第9题、第12题、第21题 考点3 二次根式的乘法、除法、结果化简 第3题、第13题、第17题 考点4 同类二次根式、加减与混合运算 第4题、第7题、第14题、第19题、第22题 考点5 分母有理化、分子分母同乘同一个式子 第5题、第15题、第23题 考点6 估算范围、作差与平方法比较大小 第8题、第10题、第16题、第20题、第24题 二、课标要求 1．了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件。 2．理解最简二次根式的概念，会把二次根式化成最简二次根式。 3．能进行简单的二次根式乘除运算，并会对结果进行化简。 4．能进行简单的二次根式加减运算，掌握合并同类二次根式的方法。 5．会进行分母有理化，能对含二次根式的式子进行混合运算。 6．能用有理数估计一个二次根式的大致范围，能比较两个二次根式的大小。 以上为依据义务教育数学课程标准2022年版数与式主题整理的要点，非逐字原文。 三、知识网络 二　次　根　式 概念 形如的式子；被开方数≥0；≥0 化简 被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数；＝ 乘除 ·＝；＝ 加减 先化最简，再合并同类二次根式；被开方数不同不能合并 有理化 分子分母同乘分母的有理化因式 估算与比较 夹在两个相邻完全平方数之间；平方法、作差法 四、考点梳理 考点1　二次根式的概念与双重非负性 1．形如的式子，当被开方数   时叫做二次根式。 2．二次根式有意义的条件是被开方数   ；二次根式无意义的条件是被开方数   。 3．二次根式的双重非负性：被开方数   0，二次根式的值   0。 4．算一算：若有意义，则＝   。 考点2　最简二次根式与化简 1．最简二次根式满足两个条件：被开方数不含   ；被开方数中不含能开得尽方的   。 2．＝   ，这是化简时最容易丢的一步。 3．算一算：＝   。 4．算一算：＝   。 考点3　二次根式的乘除 1．当≥0，≥0时，·＝   。 2．当≥0，＞0时，＝   。 3．二次根式乘除的结果必须化成   ，根号内不能留能开得尽方的因数。 4．算一算：＝   。 考点4　二次根式的加减与混合运算 1．化成最简二次根式后，被开方数   的二次根式叫做同类二次根式。 2．二次根式加减的实质是   ，即把同类二次根式合并成一项。 3．不能合并，因为这两个二次根式的   不同。 4．算一算：＝   。 考点5　分母有理化 1．把分母中的   化去，叫做分母有理化。 2．＝   。 3．＝   ，其中＞0。 4．化简时，分子分母应同乘   。 考点6　估算与大小比较 1．估计的大致范围，方法是找出与相邻的两个   。 2．比较与的大小，先把根号外的因数   ，再比较被开方数。 3．算一算：因为，所以   ＜＜   。 4．考法提醒：浙江卷解答题第17题是计算题的固定题位，二次根式的化简与合并常是其中一环，且结果要求写成最简形式。 五、典型例题 例1　二次根式的概念辨析 下列各式中，一定是二次根式的是（　） A．　　B．　　C．　　D． 解析　二次根式要求根指数为 2 且被开方数不小于零。A 的被开方数−3＜0，无意义；B 当＜0 时无意义；D 的根指数是 3，是三次根式。C 中≥1＞0 恒成立，对任意实数都有意义。故选C。 练一练1　若有意义，则的取值范围是     。 例2　最简二次根式的判定 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　） A．　　B．　　C．　　D． 解析　最简二次根式要求被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数。A 中 8＝4×2，可化出；B 的被开方数含分母；C 中 12＝4×3，可化出。D 的被开方数 7 是质数且不含分母，已是最简。故选D。 练一练2　下列各式中，是最简二次根式的是    （填序号）。①　②　③　④ 例3　双重非负性 若有意义，则的值是（　） A．3　　B．−3　　C．0　　D．任意实数 解析　两个二次根式要同时有意义，必须−3≥0 且 3−≥0，即≥3 且≤3，两边夹住只有一个值＝3。这里用的是被开方数非负，不是根式的值非负。故选A。 练一练3　若，则＝     。 例4　的化简 化简的结果是（　） A．−6　　B．6　　C．±6　　D．36 解析　先算乘方再开方：＝36，＝6。也可直接用＝，得＝6。把它答成−6，是把当成了，丢了绝对值这一步。故选B。 练一练4　化简，其中＜3，结果是     。 例5　二次根式的乘除 计算的结果是（　） A．　　B．　　C．　　D． 解析　乘除是同级运算，必须从左往右：＝＝2，再乘得。若先算后两个根式相乘得，再与相除，得到的是，这是把同级运算的顺序弄错了。故选B。 练一练5　计算＝     。 例6　估算 估计的值在（　） A．3和4之间　　B．4和5之间　　C．5和6之间　　D．6和7之间 解析　估计的范围，先找被开方数两侧相邻的完全平方数：＝9＜13＜16＝，故3＜＜4。各边同时加 1，得4＜＜5。故选B。 练一练6　估计的值在     和     之间。 例7　二次根式的混合运算 计算：。 解析　先把每一项化成最简二次根式：＝，＝，＝。再合并同类二次根式：原式＝−+＝。二次根式加减的实质是合并同类二次根式，必须先化最简、再看被开方数是否相同，与能合并，与也能合并，但它们与就不能合并。 练一练7　计算＝     。 例8　分母有理化与整体代入 已知＝，求的值。 解析　直接代入要展开，步骤多且易错。先配方：＝。当＝时，−1＝，故原式＝＝3+2＝5。形如+的式子求值，优先把所求式子配成含−的形式，把根式部分整体平方。 练一练8　已知＝，求的值。 六、易错提醒 易错点 正确认识 认为＝ 应为＝。如＝3，不是−3。 求有意义的条件时只写被开方数大于零 应写大于或等于零。如中≥2，等号不能丢。 把合并成 被开方数不同不能合并，就是最终结果。 化简不彻底，还留在根号里 12＝×3，故＝，根号内不能留能开得尽方的因数。 分母有理化只乘分母、不乘分子 分子分母必须同乘，如＝，分子也乘了。 用·＝时不检验非负 只有≥0、≥0时才成立。·＝是错的。 估算时凭印象写≈4.1 应找相邻完全平方数：16＜17＜25，故4＜＜5。 七、讲义同步练 限时20分钟　满分36分　本练与上面六个考点一一对应，错题按考点归档。 1．若有意义，则的取值范围是（　） A．≤3　　B．≥3　　C．＜3　　D．＞3 　 2．化简的结果是（　） A．　　B．　　C．　　D． 　 3．计算×的结果是（　） A．　　B．　　C．3　　D．6 　 4．计算−的结果是（　） A．　　B．　　C．3　　D． 　 5．将分母有理化的结果是（　） A．　　B．　　C．　　D． 　 6．估计的值在（　） A．2和3之间　　B．3和4之间　　C．4和5之间　　D．5和6之间 　 7．使有意义的的取值范围是（　） A．＞1　　B．≥1　　C．≠1　　D．＜1 　 8．若＝2−，则的取值范围是（　） A．≥2　　B．≤2　　C．＞2　　D．＜2 　 9．计算＝     。 　 10．计算−＝     。 　 11．化简＝     。 　 12．比较大小：     ，填“＞”“＜”或“＝”。 　 八、浙江中考命题透视 2026年题位 考查内容 备考提示 解答第17题 计算，简答题第1题位 化简与合并是这道题的常备环节，结果必须写成最简形式 选择第1至4题 基础运算与概念判定 二次根式有意义、最简判定若单独命题，落在这几个题位 填空第11至13题 基础填空 ＝、估算范围常在此处设陷阱 2026年浙江卷把计算题放在解答题第17题，这是全卷第一个解答题位，分值稳定、位置固定。这类题通常把零指数幂、负整数指数幂、绝对值和二次根式化简串在一起，最后要求写出一个确定的结果。二次根式在其中承担的是“化简”的角色，不是独立成题。 二次根式在浙江卷还有一个特点：它很少单独出一道大题，却几乎渗透在每一道需要写结果的题里。勾股定理求边长、锐角三角函数求线段、二次函数求交点坐标、反比例函数求比例系数，最终结果常常带根号，能不能化成最简、能不能把分母的根号去掉，直接决定这道题算不算拿满分。 2027年备考定位：本讲求“化到底”。三条必须练成条件反射：一是被开方数先分解、能开尽方的全部开出；二是分母有根号就想有理化；三是看到立刻写再判正负。把这三条守住，二次根式就不会在别人的题里扣你的分。 第 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