备战2027年浙江中考数学一轮复习 第2讲 整式与因式分解（讲义）

备战2027年浙江中考数学一轮复习 · 第2讲 整式与因式分解 · 讲义 · 学生版 备战2027年浙江中考数学一轮复习 第一单元　数与式 第2讲　整式与因式分解 学生版 班级：      　　姓名：      　　学号：       适用浙江全省统考　建议课时1课时　满分120分　考试时间120分钟 一、考点与讲义同步练对应表 讲义考点 核心内容 同步练对应题号 考点1 代数式与整式的概念、单项式的系数与次数、同类项 第1题、第2题 考点2 去括号与合并同类项 第3题 考点3 同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方 第4题、第5题 考点4 整式的乘法、平方差公式、完全平方公式 第6题、第7题、第9题、第10题 考点5 单项式除以单项式、多项式除以单项式 第12题 考点6 提公因式法、公式法因式分解 第8题、第11题 二、课标要求 1．理解用字母表示数的意义，能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。 2．理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加减运算。 3．掌握同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方，能用它们进行运算。 4．能进行简单的整式乘法运算，理解乘法公式的几何背景，能利用公式进行简便计算。 5．能进行简单的整式除法运算。 6．理解因式分解的意义，能用提公因式法、公式法进行因式分解。 以上为依据义务教育数学课程标准2022年版数与式主题整理的要点，非逐字原文。 三、知识网络 整　式 概念 单项式、多项式、次数、同类项 加减 去括号、合并同类项 幂的运算 同底数幂相乘与相除、幂的乘方、积的乘方 乘法 单项式乘多项式、多项式乘多项式、乘法公式 除法 单项式除以单项式、多项式除以单项式 因式分解 提公因式法、公式法 四、考点梳理 考点1　代数式与整式的有关概念 1．用     表示数，字母和数一样可以参与运算。单独一个数或一个字母也是代数式。 2．数与字母的     叫做单项式，单项式中的       叫做这个单项式的系数，所有字母的指数的   叫做这个单项式的次数。 3．几个单项式的   叫做多项式，多项式中次数     的项的次数，叫做这个多项式的次数。 4．       相同，并且相同字母的    也相同的项叫做同类项，同类项与   无关。 考点2　整式的加减 1．去括号法则：括号前是＋号，把括号和它前面的＋号去掉，括号里各项都      ；括号前是−号，把括号和它前面的−号去掉，括号里各项都      。 2．合并同类项：把同类项的   相加，所得结果作为系数，字母和字母的   不变。 3．整式加减的实质是      和      ，运算结果仍是   。 考点3　幂的运算性质 1．同底数幂相乘：·＝     ，m、n都是正整数。 2．幂的乘方：＝    ，m、n都是正整数。 3．积的乘方：＝    ，n为正整数。 4．同底数幂相除：÷＝    ，a≠0，m、n都是正整数且m＞n。 5．零指数与负整数指数：＝   ，a≠0；＝     ，a≠0，p为正整数。 考点4　整式的乘法与乘法公式 1．单项式乘单项式：把   、     分别相乘，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个   。 2．单项式乘多项式：m(a＋b＋c)＝         。 3．多项式乘多项式：(a＋b)(m＋n)＝            。 4．平方差公式：(a＋b)(a−b)＝     。 5．完全平方公式：＝         。 考点5　整式的除法 1．单项式除以单项式：把   、     分别相除，作为商的因式；只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的     。 2．多项式除以单项式：先把这个多项式的   除以这个单项式，再把所得的商   。 考点6　因式分解 1．把一个多项式化成几个   的   的形式，叫做因式分解，它与整式乘法是   的变形。 2．提公因式法：ma＋mb＋mc＝         。 3．平方差公式：＝         。 4．完全平方公式：＝     。 5．因式分解的一般步骤：一提    ，二套   ，三查括号内能否      。 五、典型例题 例1　单项式的系数与次数 下列说法正确的是（　） A．−的系数是−，次数是3　　B．是单项式 C．−3的次数是2　　D．单项式−5ab的系数是5 解析　系数是数字因数，π是常数不是字母，A正确；B含加减运算，是多项式；C的次数为2＋1＝3；D的系数是−5。故选A。 练一练1　单项式−的系数是    ，次数是   。 例2　同类项 若与−是同类项，则m＋n的值是（　） A．3　　B．5　　C．6　　D．8 解析　同类项要求所含字母相同且相同字母的指数也相同，故m＝2，n＝3，m＋n＝5。故选B。 练一练2　若与−的和仍是单项式，则的值是    。 例3　整式的加减 先化简，再求值：−，其中a＝−1，b＝2。 解析　去括号时注意第二项要变号：原式＝3−−2−2＝−3。当a＝−1，b＝2时，＝2，＝−4，故原式＝2＋12＝14。 练一练3　化简并求值：−，其中x＝−2。 例4　幂的运算性质的辨析 下列运算正确的是（　） A．·＝　　B．＝　　C．÷＝　　D．＝−8 解析　同底数幂相乘指数相加得，A错；幂的乘方指数相乘得，B错；同底数幂相除指数相减得，C错；积的乘方要把每个因式分别乘方，＝−8，D正确。故选D。 练一练4　计算·的结果是（　） A．　　B．−　　C．　　D．− 例5　幂的运算性质的逆用 已知＝2，＝3，求与的值。 解析　＝·＝2×3＝6；＝÷＝÷＝4÷3＝。逆用性质时先想“指数相加对应相乘、指数相减对应相除”。 练一练5　已知＝3，则的值是    。 例6　平方差公式的识别 下列各式中，能用平方差公式计算的是（　） A．(a＋b)(−a−b)　　B．(a−b)(b−a)　　C．(b−a)(a＋b)　　D．(a−b)(−a＋b) 解析　平方差公式要求一项相同、另一项互为相反数。(b−a)(a＋b)即(b−a)(b＋a)，相同的是b，互为相反数的是a与−a，可用平方差得−；A、B、D三式都化为完全平方的相反数。故选C。 练一练6　计算＝         。 例7　完全平方公式的变形 已知a＋b＝5，ab＝3，求的值。 解析　把看成减去多算的2ab：＝−2ab＝25−6＝19。这类“知和与积求平方和”是浙江卷常见的小计算。 练一练7　已知a−b＝2，ab＝−1，则的值是    。 例8　因式分解 分解因式：；。 解析　先提公因式再套公式：＝2(−4)＝2(a＋2)(a−2)；−2＋x＝x(−2x＋1)＝x。分解到每个括号内都不能再分为止。 练一练8　分解因式：；。 六、易错提醒 易错点 正确认识 把−的系数写成− π是常数不是字母，系数应带π，即−。 判断同类项时看系数是否相同 只看字母和相同字母的指数，与系数无关，如−3ab与5ba是同类项。 ·写成 同底数幂相乘指数相加，应为；幂的乘方才指数相乘。 写成 幂的乘方指数相乘，应为。 积的乘方漏乘系数 ＝−8，系数−2也要立方。 写成 漏掉中间项，应为＋2ab＋。 去括号时只变第一项符号 括号前是−号，括号内每一项都要变号。 因式分解不彻底 提完公因式要查括号内能否继续分解，如2−8要分解到2(a＋2)(a−2)。 七、讲义同步练 限时20分钟　满分36分　本练与上面六个考点一一对应，错题按考点归档。 1．单项式−的系数与次数分别是（　） A．−5，3　　B．−，3　　C．，2　　D．−，2 　 2．下列各组中，是同类项的是（　） A．与　　B．−3ab与3ba　　C．与　　D．与 　 3．化简3a−(2a−b)的结果是（　） A．a−b　　B．a＋b　　C．5a−b　　D．5a＋b 　 4．下列计算正确的是（　） A．＝　　B．·＝　　C．＝　　D．÷＝ 　 5．计算的结果是（　） A．　　B．−　　C．　　D． 　 6．下列各式中，计算结果为−9的是（　） A．　　B．(x＋3)(x−3)　　C．　　D．x(x−3) 　 7．若x＋y＝3，xy＝−2，则的值是（　） A．5　　B．9　　C．13　　D．1 　 8．把−4a分解因式，结果正确的是（　） A．a(−4)　　B．a(a＋2)(a−2)　　C．a　　D．(a−4) 　 9．计算：2a·3＝     。 　 10．计算：(x＋2)(x−2)＝     。 　 11．分解因式：−6m＋9＝     。 　 12．计算：6÷2ab＝     。 　 八、浙江中考命题透视 2026年题位 考查内容 备考提示 选择第3题 单项式乘单项式 ·(−5a)　3分 系数与幂的运算一起用，是本题最可能的成题方式 解答第17题 实数计算　8分 2025年该题位考分式化简求值，整式化简属常备 全卷其余题位 因式分解未单独成题 多以工具形式出现，如解方程、分式化简、配方 2026年浙江卷中，本讲直接成题的只有选择第3题，考查单项式乘单项式，3分。相比2025年，2025年第3题考的是科学记数法，本讲考点当年并未单独成题。直接分值的起伏说明一件事：本讲不是靠题位拿分的章节，押题位没有意义。 但分值低不等于分量轻。整式运算是解一元一次方程、分式化简、二次函数配方的前置动作，因式分解更是解一元二次方程的第一步；浙江卷解答题只要涉及式子变形，都会用到本讲。学生在本讲失分，往往不是不会，而是符号错、指数错、分解不彻底，错的都是细节。 2027年备考定位：本讲求快且准，不求难。幂的四条性质要形成条件反射，乘法公式要双向会用，既能展开也能识别出可分解的结构；因式分解坚持一提公因式、二套公式、三查是否分解到底三步走。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $备战2027年浙江中考数学一轮复习 · 第2讲 整式与因式分解 · 讲义 · 教师版 备战2027年浙江中考数学一轮复习 第一单元　数与式 第2讲　整式与因式分解 教师版 班级：      　　姓名：      　　学号：       适用浙江全省统考　建议课时1课时　满分120分　考试时间120分钟 一、考点与讲义同步练对应表 讲义考点 核心内容 同步练对应题号 考点1 代数式与整式的概念、单项式的系数与次数、同类项 第1题、第2题 考点2 去括号与合并同类项 第3题 考点3 同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方 第4题、第5题 考点4 整式的乘法、平方差公式、完全平方公式 第6题、第7题、第9题、第10题 考点5 单项式除以单项式、多项式除以单项式 第12题 考点6 提公因式法、公式法因式分解 第8题、第11题 二、课标要求 1．理解用字母表示数的意义，能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。 2．理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加减运算。 3．掌握同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方，能用它们进行运算。 4．能进行简单的整式乘法运算，理解乘法公式的几何背景，能利用公式进行简便计算。 5．能进行简单的整式除法运算。 6．理解因式分解的意义，能用提公因式法、公式法进行因式分解。 以上为依据义务教育数学课程标准2022年版数与式主题整理的要点，非逐字原文。 三、知识网络 整　式 概念 单项式、多项式、次数、同类项 加减 去括号、合并同类项 幂的运算 同底数幂相乘与相除、幂的乘方、积的乘方 乘法 单项式乘多项式、多项式乘多项式、乘法公式 除法 单项式除以单项式、多项式除以单项式 因式分解 提公因式法、公式法 四、考点梳理 考点1　代数式与整式的有关概念 1．用字母表示数，字母和数一样可以参与运算。单独一个数或一个字母也是代数式。 2．数与字母的积叫做单项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 3．几个单项式的和叫做多项式，多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 4．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，同类项与系数无关。 考点2　整式的加减 1．去括号法则：括号前是＋号，把括号和它前面的＋号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前是−号，把括号和它前面的−号去掉，括号里各项都改变符号。 2．合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3．整式加减的实质是去括号和合并同类项，运算结果仍是整式。 考点3　幂的运算性质 1．同底数幂相乘：·＝，m、n都是正整数。 2．幂的乘方：＝，m、n都是正整数。 3．积的乘方：＝，n为正整数。 4．同底数幂相除：÷＝，a≠0，m、n都是正整数且m＞n。 5．零指数与负整数指数：＝1，a≠0；＝，a≠0，p为正整数。 考点4　整式的乘法与乘法公式 1．单项式乘单项式：把系数、同底数幂分别相乘，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2．单项式乘多项式：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc。 3．多项式乘多项式：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn。 4．平方差公式：(a＋b)(a−b)＝。 5．完全平方公式：＝。 考点5　整式的除法 1．单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 2．多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 考点6　因式分解 1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，它与整式乘法是互逆的变形。 2．提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)。 3．平方差公式：＝(a＋b)(a−b)。 4．完全平方公式：＝。 5．因式分解的一般步骤：一提公因式，二套公式，三查括号内能否继续分解。 五、典型例题 例1　单项式的系数与次数 下列说法正确的是（　） A．−的系数是−，次数是3　　B．是单项式 C．−3的次数是2　　D．单项式−5ab的系数是5 解析　系数是数字因数，π是常数不是字母，A正确；B含加减运算，是多项式；C的次数为2＋1＝3；D的系数是−5。故选A。 练一练1　单项式−的系数是    ，次数是   。 例2　同类项 若与−是同类项，则m＋n的值是（　） A．3　　B．5　　C．6　　D．8 解析　同类项要求所含字母相同且相同字母的指数也相同，故m＝2，n＝3，m＋n＝5。故选B。 练一练2　若与−的和仍是单项式，则的值是    。 例3　整式的加减 先化简，再求值：−，其中a＝−1，b＝2。 解析　去括号时注意第二项要变号：原式＝3−−2−2＝−3。当a＝−1，b＝2时，＝2，＝−4，故原式＝2＋12＝14。 练一练3　化简并求值：−，其中x＝−2。 例4　幂的运算性质的辨析 下列运算正确的是（　） A．·＝　　B．＝　　C．÷＝　　D．＝−8 解析　同底数幂相乘指数相加得，A错；幂的乘方指数相乘得，B错；同底数幂相除指数相减得，C错；积的乘方要把每个因式分别乘方，＝−8，D正确。故选D。 练一练4　计算·的结果是（　） A．　　B．−　　C．　　D．− 例5　幂的运算性质的逆用 已知＝2，＝3，求与的值。 解析　＝·＝2×3＝6；＝÷＝÷＝4÷3＝。逆用性质时先想“指数相加对应相乘、指数相减对应相除”。 练一练5　已知＝3，则的值是    。 例6　平方差公式的识别 下列各式中，能用平方差公式计算的是（　） A．(a＋b)(−a−b)　　B．(a−b)(b−a)　　C．(b−a)(a＋b)　　D．(a−b)(−a＋b) 解析　平方差公式要求一项相同、另一项互为相反数。(b−a)(a＋b)即(b−a)(b＋a)，相同的是b，互为相反数的是a与−a，可用平方差得−；A、B、D三式都化为完全平方的相反数。故选C。 练一练6　计算＝         。 例7　完全平方公式的变形 已知a＋b＝5，ab＝3，求的值。 解析　把看成减去多算的2ab：＝−2ab＝25−6＝19。这类“知和与积求平方和”是浙江卷常见的小计算。 练一练7　已知a−b＝2，ab＝−1，则的值是    。 例8　因式分解 分解因式：；。 解析　先提公因式再套公式：＝2(−4)＝2(a＋2)(a−2)；−2＋x＝x(−2x＋1)＝x。分解到每个括号内都不能再分为止。 练一练8　分解因式：；。 练一练答案　1．−；3　2．9　3．6　4．B　5．12　6．　7．2　8．3(m＋2)(m−2)；a 六、易错提醒 易错点 正确认识 把−的系数写成− π是常数不是字母，系数应带π，即−。 判断同类项时看系数是否相同 只看字母和相同字母的指数，与系数无关，如−3ab与5ba是同类项。 ·写成 同底数幂相乘指数相加，应为；幂的乘方才指数相乘。 写成 幂的乘方指数相乘，应为。 积的乘方漏乘系数 ＝−8，系数−2也要立方。 写成 漏掉中间项，应为＋2ab＋。 去括号时只变第一项符号 括号前是−号，括号内每一项都要变号。 因式分解不彻底 提完公因式要查括号内能否继续分解，如2−8要分解到2(a＋2)(a−2)。 七、讲义同步练 限时20分钟　满分36分　本练与上面六个考点一一对应，错题按考点归档。 1．单项式−的系数与次数分别是（　） A．−5，3　　B．−，3　　C．，2　　D．−，2 答案　B　解析　系数是数字因数−，次数为2＋1＝3。 2．下列各组中，是同类项的是（　） A．与　　B．−3ab与3ba　　C．与　　D．与 答案　B　解析　−3ab与3ba所含字母相同、指数也相同，与系数和字母顺序无关。 3．化简3a−(2a−b)的结果是（　） A．a−b　　B．a＋b　　C．5a−b　　D．5a＋b 答案　B　解析　去括号得3a−2a＋b，合并得a＋b。 4．下列计算正确的是（　） A．＝　　B．·＝　　C．＝　　D．÷＝ 答案　C　解析　A不是同类项不能合并；B应为；D应为；只有C正确。 5．计算的结果是（　） A．　　B．−　　C．　　D． 答案　A　解析　积的乘方分别乘方，＝9，负号被平方消去。 6．下列各式中，计算结果为−9的是（　） A．　　B．(x＋3)(x−3)　　C．　　D．x(x−3) 答案　B　解析　平方差公式得−＝−9。 7．若x＋y＝3，xy＝−2，则的值是（　） A．5　　B．9　　C．13　　D．1 答案　C　解析　＝−2xy＝9＋4＝13。 8．把−4a分解因式，结果正确的是（　） A．a(−4)　　B．a(a＋2)(a−2)　　C．a　　D．(a−4) 答案　B　解析　先提公因式a，括号内再用平方差，A没有分解彻底。 9．计算：2a·3＝     。 答案　6　解析　系数相乘得6，同底数幂相乘指数相加得。 10．计算：(x＋2)(x−2)＝     。 答案　−4　解析　平方差公式。 11．分解因式：−6m＋9＝     。 答案　　解析　首末两项是平方，中间项是−2·m·3，符合完全平方式。 12．计算：6÷2ab＝     。 答案　3　解析　系数相除得3，同底数幂相除指数相减得、＝1。 八、浙江中考命题透视 2026年题位 考查内容 备考提示 选择第3题 单项式乘单项式 ·(−5a)　3分 系数与幂的运算一起用，是本题最可能的成题方式 解答第17题 实数计算　8分 2025年该题位考分式化简求值，整式化简属常备 全卷其余题位 因式分解未单独成题 多以工具形式出现，如解方程、分式化简、配方 2026年浙江卷中，本讲直接成题的只有选择第3题，考查单项式乘单项式，3分。相比2025年，2025年第3题考的是科学记数法，本讲考点当年并未单独成题。直接分值的起伏说明一件事：本讲不是靠题位拿分的章节，押题位没有意义。 但分值低不等于分量轻。整式运算是解一元一次方程、分式化简、二次函数配方的前置动作，因式分解更是解一元二次方程的第一步；浙江卷解答题只要涉及式子变形，都会用到本讲。学生在本讲失分，往往不是不会，而是符号错、指数错、分解不彻底，错的都是细节。 2027年备考定位：本讲求快且准，不求难。幂的四条性质要形成条件反射，乘法公式要双向会用，既能展开也能识别出可分解的结构；因式分解坚持一提公因式、二套公式、三查是否分解到底三步走。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $