备战2027年浙江中考数学一轮复习 第5讲 一元一次方程与二元一次方程组（讲义）

备战2027年浙江中考数学一轮复习 · 第5讲 一元一次方程与二元一次方程组 · 讲义 · 学生版 备战2027年浙江中考数学一轮复习 第二单元　方程与不等式 第5讲　一元一次方程与二元一次方程组 学生版 班级：      　　姓名：      　　学号：       适用浙江全省统考　建议课时1课时　满分120分　考试时间120分钟 一、考点与配套练习对应表 讲义考点 核心内容 配套练习对应题号 考点1 等式性质、方程的解与检验 第1题、第11题、第18题 考点2 一元一次方程的概念与解法五步 第2题、第6题、第9题、第17题、第21题 考点3 二元一次方程组、代入与加减消元 第3题、第7题、第12题、第19题、第22题 考点4 含参系数讨论、同解与解的个数 第4题、第13题、第20题、第23题 考点5 列方程（组）解实际应用 第5题、第14题、第15题、第24题 考点6 三元一次方程组与整体处理 第8题、第10题、第16题 二、课标要求 1．理解等式的性质，能利用等式的基本性质进行变形。 2．理解一元一次方程的概念，掌握解一元一次方程的一般步骤。 3．理解二元一次方程（组）及其解的概念，会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。 4．能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。 5．会检验一个数是否为方程（组）的解，能对含参数的方程进行简单讨论。 6．了解三元一次方程组的消元思路，能用整体相加、整体相减简化运算。 以上为依据义务教育数学课程标准2022年版方程与不等式主题整理的要点，非逐字原文。 三、知识网络 一　次　方　程（组） 等式性质 两边同加同减、同乘同除（除数不为0），结果仍相等 一元一次方程 一个未知数、次数为1、整式方程；解法五步 二元一次方程组 两个方程联立求解；代入消元、加减消元 含参与同解 系数为0时讨论解的个数；同解先解后代入 实际应用 设、列、解、验、答；行程、工程、销售三类模型 三元一次方程组 三个未知数、次数为1；先消一元，化为二元 四、考点梳理 考点1　等式性质与方程的解 1．等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，结果仍   。 2．等式两边都乘同一个数，或除以同一个   的数，结果仍相等。 3．使方程左右两边的值   的未知数的值，叫做方程的解。 4．算一算：若＝2是方程＝5的解，则＝   。 考点2　一元一次方程的概念与解法 1．只含一个未知数，未知数的次数都是   ，且等式两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。 2．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、   、合并同类项、系数化为1。 3．去分母时，方程两边的   项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。 4．算一算：解方程＝5，得＝   。 考点3　二元一次方程组的解法 1．含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是   的整式方程，叫做二元一次方程。 2．解二元一次方程组的基本思想是   ，常用方法是代入消元法和   。 3．当某个未知数的系数互为相反数时，把两个方程   就能消去这个未知数。 4．算一算：方程组的解是   。 考点4　含参方程与同解问题 1．关于的方程＝：当≠0时解为   ；当＝0且＝0时有   个解；当＝0且≠0时   解。 2．两个方程同解，可先把不含参数的方程解出来，再把解   含参方程求参数。 3．方程组中两个方程有相同的解，应把不含参数的两个方程组成新方程组先求出   。 4．算一算：若关于的方程＝4的解是＝2，则＝   。 考点5　方程（组）的实际应用 1．列方程（组）解应用题的关键是找出题目中的   关系，再把所求量设为未知数。 2．三类常用模型：行程问题中路程＝速度×时间；工程问题中工作量＝   ×时间；销售问题中利润＝售价−   。 3．解出未知数后要检验是否符合   ，并写清单位、写全答句。 4．算一算：某商品进价80元，按标价八折出售仍获利16元，则标价为   元。 考点6　三元一次方程组与整体处理 1．含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的方程组，叫做   方程组。 2．解三元一次方程组的基本思路是   ，即先消去一个未知数，化为二元一次方程组。 3．三个方程轮换出现时，常把三式   ，直接得到三个未知数的和。 4．考法提醒：浙江卷解答题第18题是方程（组）的固定题位，消元过程要写全，最后把解代回原方程检验。 五、典型例题 例1　方程的解与检验 下列各数中，是方程＝5的解的是（　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 解析　判断一个数是不是方程的解，把它代入原方程，看左右两边的值是否相等。＝1时左边＝1，＝2时左边＝3，＝4时左边＝7，都不等于5；＝3时左边＝5＝右边。故选C。 练一练1　若＝−1是方程＝的解，则＝     。 例2　一元一次方程的概念 若关于的方程＝0是一元一次方程，则的值是（　） A．1　　B．0　　C．±1　　D．−1 解析　一元一次方程要求未知数的最高次数为1、且一次项系数不为0。二次项必须消失，故−1＝0，得＝1；此时方程为＝0，一次项系数3≠0，符合要求。故选A。 练一练2　若关于的方程＝5是一元一次方程，则＝     。 例3　二元一次方程组的解 已知＝2，＝1是方程组的解，则的值是（　） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 解析　把解代入方程组的两个方程，得。要求+，不必分别求出、：两式相加得3+3＝9，所以+＝3。故选B。 练一练3　已知＝1，＝2是方程组的公共解，则＝     。 例4　解一元一次方程 解方程：−＝2。 解析　去分母，两边同乘6：3(+1)−2(−1)＝12；去括号得3+3−2+2＝12；合并得+5＝12；移项得＝7。检验：＝7时左边＝4−2＝2＝右边。去分母时右边的2也要乘6，漏乘是最常见的失分点。 练一练4　解方程：−＝1。 例5　解二元一次方程组 解方程组：。 解析　由第二个方程得＝1+2，代入第一个方程：2(1+2)+3＝16，即2+7＝16，解得＝2；再代回得＝5。检验：2×5+3×2＝16，5−2×2＝1，都成立。所以方程组的解是＝5，＝2。代入时要把整个式子加括号，否则符号容易错。 练一练5　解方程组：。 例6　含参系数与解的个数 若关于的方程＝3无解，则的值是（　） A．0　　B．2　　C．−2　　D．3 解析　方程＝无解的条件是＝0且≠0。这里＝3≠0，只要的系数为零就无解，即−2＝0，得＝2。若≠2，则＝，一定有解。故选B。 练一练6　若关于的方程＝−1有无数个解，则＝     。 例7　列方程组解应用题 某校七年级组织学生研学。若每辆客车坐45人，则有15人没有座位；若每辆客车坐50人，则恰好空出一辆客车。问共有多少名学生、多少辆客车？ 解析　设共有辆客车、名学生。由题意列方程组：。两式相减得0＝5−65，解得＝13，代回得＝600。检验：45×13+15＝600，50×12＝600，都符合。答：共有13辆客车、600名学生。 练一练7　某班学生分组参加劳动。若每组7人，则多出3人；若每组8人，则少5人。求组数与人数。 例8　三元一次方程组的消元 解方程组：。 解析　由第二个方程得＝1+，由第三个方程得＝−1。把两式代入第一个方程：(1+)++(−1)＝6，即3＝6，解得＝2，于是＝3，＝1。检验：3+2+1＝6，3−2＝1，2−1＝1，都成立。三元方程组的关键仍是消元：用一个字母表示另外两个，再代入第三个方程。 练一练8　若方程组成立，则＝     。 六、易错提醒 易错点 正确认识 代入求参后不检验，符号抄错 应分别写清“左边＝…，右边＝…”，两边相等才下结论。 去分母时漏乘不含分母的项 如−＝2中右边的2也要乘6，漏乘必错。 括号前是负号，只变第一项的符号 括号内每一项都要变号：−(2+1)＝−2−1。 由＝直接得＝ 必须≠0。＝0时、可以不相等，等式性质里没有这一条。 加减消元两式相减时符号出错 要整体加括号再减：(2+)−(+2)，不能逐项“看着减”。 应用题设了未知数却不写单位和答句 设、列、解、验、答五步齐全，单位与答句同样给分。 把含一个字母的方程都当成一元一次方程 分母含字母的如＝1不是整式方程，不属于一元一次方程。 七、讲义同步练 限时20分钟　满分36分　本练与上面六个考点一一对应，错题按考点归档。 1．下列等式变形错误的是（　） A．由＝得+2＝+2　　B．由＝得＝ C．由＝得＝　　D．由＝得＝ 　 2．若关于的方程＝5是一元一次方程，则的值是（　） A．1　　B．−1　　C．±1　　D．2 　 3．方程组的解是（　） A．＝3，＝1　　B．＝1，＝3　　C．＝2，＝2　　D．＝4，＝0 　 4．若关于的方程＝2与＝5的解相同，则的值是（　） A．7　　B．−7　　C．5　　D．−5 　 5．某班学生分组参加劳动。若每组7人，则多出3人；若每组8人，则少5人。设组数为，则可列方程（　） A．7+3＝8−5　　B．7−3＝8+5　　C．7+3＝8+5　　D．7−3＝8−5 　 6．若方程组成立，则的值是（　） A．1　　B．3　　C．5　　D．6 　 7．方程＝的解是（　） A．＝1　　B．＝2　　C．＝4　　D．＝8 　 8．用加减消元法解方程组时，最简便的做法是（　） A．两式相加　　B．两式相减　　C．代入消元　　D．两式相乘 　 9．若＝2，＝−1是方程＝4的解，则＝     。 　 10．若关于的方程＝0与＝5的解相同，则＝     。 　 11．某商品标价240元，按八折出售仍可获利20%，则该商品的进价为     元。 　 12．在等式＝中，当＝1时＝3；当＝−1时＝5，则＝     ，＝     。 　 八、浙江中考命题透视 2026年题位 考查内容 备考提示 解答第18题 解方程（组），全卷第二个解答题位 消元或去分母的过程要写全，结果代回原方程检验 选择第5至7题 方程的解、含参系数、等式性质判定 判断是不是解，最快的办法是代入验算 填空第11至13题 打折销售、行程、工程等一步应用 找准等量关系，单位与答句不能丢 2026年浙江卷把解方程组放在解答题第18题，紧接在第17题的计算之后。这个位置说明命题组把方程看作“必须拿分的基础题”，不设阅读障碍、不套复杂情境，考的就是去分母、去括号、移项、消元这几个动作是否规范。分值稳定，过程分占比高，写全步骤比算出答案更重要。 方程在浙江卷里还有另一种考法：它不出现在第18题，而是藏在实际应用题、函数题和几何题的计算过程里。一次函数求解析式要用待定系数法解方程组，相似三角形求线段要用比例式列方程，统计题求人数也要列方程。这些位置不会提示“请解方程”，但只要前面列式错了，后面全部作废。 2027年备考定位：本讲求“算得准、写得全”。三条必须练成条件反射：一是去分母先找最小公倍数、每一项都乘；二是移项必变号、合并必验算；三是解完方程组把解代回两个方程各验一次。这三条守住了，第18题就是全卷最稳的12分。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $备战2027年浙江中考数学一轮复习 · 第5讲 一元一次方程与二元一次方程组 · 讲义 · 教师版 备战2027年浙江中考数学一轮复习 第二单元　方程与不等式 第5讲　一元一次方程与二元一次方程组 教师版 班级：      　　姓名：      　　学号：       适用浙江全省统考　建议课时1课时　满分120分　考试时间120分钟 一、考点与配套练习对应表 讲义考点 核心内容 配套练习对应题号 考点1 等式性质、方程的解与检验 第1题、第11题、第18题 考点2 一元一次方程的概念与解法五步 第2题、第6题、第9题、第17题、第21题 考点3 二元一次方程组、代入与加减消元 第3题、第7题、第12题、第19题、第22题 考点4 含参系数讨论、同解与解的个数 第4题、第13题、第20题、第23题 考点5 列方程（组）解实际应用 第5题、第14题、第15题、第24题 考点6 三元一次方程组与整体处理 第8题、第10题、第16题 二、课标要求 1．理解等式的性质，能利用等式的基本性质进行变形。 2．理解一元一次方程的概念，掌握解一元一次方程的一般步骤。 3．理解二元一次方程（组）及其解的概念，会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。 4．能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。 5．会检验一个数是否为方程（组）的解，能对含参数的方程进行简单讨论。 6．了解三元一次方程组的消元思路，能用整体相加、整体相减简化运算。 以上为依据义务教育数学课程标准2022年版方程与不等式主题整理的要点，非逐字原文。 三、知识网络 一　次　方　程（组） 等式性质 两边同加同减、同乘同除（除数不为0），结果仍相等 一元一次方程 一个未知数、次数为1、整式方程；解法五步 二元一次方程组 两个方程联立求解；代入消元、加减消元 含参与同解 系数为0时讨论解的个数；同解先解后代入 实际应用 设、列、解、验、答；行程、工程、销售三类模型 三元一次方程组 三个未知数、次数为1；先消一元，化为二元 四、考点梳理 考点1　等式性质与方程的解 1．等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，结果仍相等。 2．等式两边都乘同一个数，或除以同一个不等于零的数，结果仍相等。 3．使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 4．算一算：若＝2是方程＝5的解，则＝1。 考点2　一元一次方程的概念与解法 1．只含一个未知数，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。 2．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 3．去分母时，方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。 4．算一算：解方程＝5，得＝2。 考点3　二元一次方程组的解法 1．含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 2．解二元一次方程组的基本思想是消元，常用方法是代入消元法和加减消元法。 3．当某个未知数的系数互为相反数时，把两个方程相加就能消去这个未知数。 4．算一算：方程组的解是＝3，＝2。 考点4　含参方程与同解问题 1．关于的方程＝：当≠0时解为＝；当＝0且＝0时有无数个解；当＝0且≠0时无解。 2．两个方程同解，可先把不含参数的方程解出来，再把解代入含参方程求参数。 3．方程组中两个方程有相同的解，应把不含参数的两个方程组成新方程组先求出公共解。 4．算一算：若关于的方程＝4的解是＝2，则＝1。 考点5　方程（组）的实际应用 1．列方程（组）解应用题的关键是找出题目中的相等关系，再把所求量设为未知数。 2．三类常用模型：行程问题中路程＝速度×时间；工程问题中工作量＝效率×时间；销售问题中利润＝售价−进价。 3．解出未知数后要检验是否符合实际意义，并写清单位、写全答句。 4．算一算：某商品进价80元，按标价八折出售仍获利16元，则标价为120元。 考点6　三元一次方程组与整体处理 1．含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组。 2．解三元一次方程组的基本思路是消元，即先消去一个未知数，化为二元一次方程组。 3．三个方程轮换出现时，常把三式相加，直接得到三个未知数的和。 4．考法提醒：浙江卷解答题第18题是方程（组）的固定题位，消元过程要写全，最后把解代回原方程检验。 五、典型例题 例1　方程的解与检验 下列各数中，是方程＝5的解的是（　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 解析　判断一个数是不是方程的解，把它代入原方程，看左右两边的值是否相等。＝1时左边＝1，＝2时左边＝3，＝4时左边＝7，都不等于5；＝3时左边＝5＝右边。故选C。 练一练1　若＝−1是方程＝的解，则＝     。 例2　一元一次方程的概念 若关于的方程＝0是一元一次方程，则的值是（　） A．1　　B．0　　C．±1　　D．−1 解析　一元一次方程要求未知数的最高次数为1、且一次项系数不为0。二次项必须消失，故−1＝0，得＝1；此时方程为＝0，一次项系数3≠0，符合要求。故选A。 练一练2　若关于的方程＝5是一元一次方程，则＝     。 例3　二元一次方程组的解 已知＝2，＝1是方程组的解，则的值是（　） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 解析　把解代入方程组的两个方程，得。要求+，不必分别求出、：两式相加得3+3＝9，所以+＝3。故选B。 练一练3　已知＝1，＝2是方程组的公共解，则＝     。 例4　解一元一次方程 解方程：−＝2。 解析　去分母，两边同乘6：3(+1)−2(−1)＝12；去括号得3+3−2+2＝12；合并得+5＝12；移项得＝7。检验：＝7时左边＝4−2＝2＝右边。去分母时右边的2也要乘6，漏乘是最常见的失分点。 练一练4　解方程：−＝1。 例5　解二元一次方程组 解方程组：。 解析　由第二个方程得＝1+2，代入第一个方程：2(1+2)+3＝16，即2+7＝16，解得＝2；再代回得＝5。检验：2×5+3×2＝16，5−2×2＝1，都成立。所以方程组的解是＝5，＝2。代入时要把整个式子加括号，否则符号容易错。 练一练5　解方程组：。 例6　含参系数与解的个数 若关于的方程＝3无解，则的值是（　） A．0　　B．2　　C．−2　　D．3 解析　方程＝无解的条件是＝0且≠0。这里＝3≠0，只要的系数为零就无解，即−2＝0，得＝2。若≠2，则＝，一定有解。故选B。 练一练6　若关于的方程＝−1有无数个解，则＝     。 例7　列方程组解应用题 某校七年级组织学生研学。若每辆客车坐45人，则有15人没有座位；若每辆客车坐50人，则恰好空出一辆客车。问共有多少名学生、多少辆客车？ 解析　设共有辆客车、名学生。由题意列方程组：。两式相减得0＝5−65，解得＝13，代回得＝600。检验：45×13+15＝600，50×12＝600，都符合。答：共有13辆客车、600名学生。 练一练7　某班学生分组参加劳动。若每组7人，则多出3人；若每组8人，则少5人。求组数与人数。 例8　三元一次方程组的消元 解方程组：。 解析　由第二个方程得＝1+，由第三个方程得＝−1。把两式代入第一个方程：(1+)++(−1)＝6，即3＝6，解得＝2，于是＝3，＝1。检验：3+2+1＝6，3−2＝1，2−1＝1，都成立。三元方程组的关键仍是消元：用一个字母表示另外两个，再代入第三个方程。 练一练8　若方程组成立，则＝     。 练一练答案　1．＝−2　2．＝±1　3．7　4．＝　5．＝3，＝1　6．＝1　7．6组，45人　8．6 六、易错提醒 易错点 正确认识 代入求参后不检验，符号抄错 应分别写清“左边＝…，右边＝…”，两边相等才下结论。 去分母时漏乘不含分母的项 如−＝2中右边的2也要乘6，漏乘必错。 括号前是负号，只变第一项的符号 括号内每一项都要变号：−(2+1)＝−2−1。 由＝直接得＝ 必须≠0。＝0时、可以不相等，等式性质里没有这一条。 加减消元两式相减时符号出错 要整体加括号再减：(2+)−(+2)，不能逐项“看着减”。 应用题设了未知数却不写单位和答句 设、列、解、验、答五步齐全，单位与答句同样给分。 把含一个字母的方程都当成一元一次方程 分母含字母的如＝1不是整式方程，不属于一元一次方程。 七、讲义同步练 限时20分钟　满分36分　本练与上面六个考点一一对应，错题按考点归档。 1．下列等式变形错误的是（　） A．由＝得+2＝+2　　B．由＝得＝ C．由＝得＝　　D．由＝得＝ 答案　C　解析　等式两边同除以一个数，这个数必须不为零。C中可能等于0，此时变形不成立；D的分母+1≥1，一定不为零，变形正确。 2．若关于的方程＝5是一元一次方程，则的值是（　） A．1　　B．−1　　C．±1　　D．2 答案　C　解析　一元一次方程要求未知数的次数为1，故＝1，得＝1或＝−1。两个值都要保留，只答1是漏解。 3．方程组的解是（　） A．＝3，＝1　　B．＝1，＝3　　C．＝2，＝2　　D．＝4，＝0 答案　A　解析　两式相加得2＝6，＝3；代回得＝1。也可把四个选项逐一代入检验，两式都成立的才是解。 4．若关于的方程＝2与＝5的解相同，则的值是（　） A．7　　B．−7　　C．5　　D．−5 答案　B　解析　先解不含参的方程：2−1＝5得＝3；把＝3代入3+＝2，得9+＝2，＝−7。同解问题的固定套路：先解出已知方程，再代入。 5．某班学生分组参加劳动。若每组7人，则多出3人；若每组8人，则少5人。设组数为，则可列方程（　） A．7+3＝8−5　　B．7−3＝8+5　　C．7+3＝8+5　　D．7−3＝8−5 答案　A　解析　“多出3人”表示人数比7多3，即7+3；“少5人”表示人数比8少5，即8−5。两边都表示同一个班的人数，故7+3＝8−5。 6．若方程组成立，则的值是（　） A．1　　B．3　　C．5　　D．6 答案　B　解析　三式相加得2(++)＝18，故++＝9；用它减去+＝6，得＝3。先求整体再作差，比逐个消元快。 7．方程＝的解是（　） A．＝1　　B．＝2　　C．＝4　　D．＝8 答案　C　解析　移项得5−3＝6+2，合并得2＝8，系数化为1得＝4。移项要变号，这是最基本的失分点。 8．用加减消元法解方程组时，最简便的做法是（　） A．两式相加　　B．两式相减　　C．代入消元　　D．两式相乘 答案　B　解析　两个方程中的系数都是2，直接相减即可消去，得4＝4。系数相同用减法，系数互为相反数用加法。 9．若＝2，＝−1是方程＝4的解，则＝     。 答案　3　解析　把＝2，＝−1代入：2−2＝4，解得＝3。二元方程只给一组解时，代入后就是关于的一元一次方程。 10．若关于的方程＝0与＝5的解相同，则＝     。 答案　−4　解析　先解3−1＝5得＝2；代入2+＝0，得4+＝0，＝−4。 11．某商品标价240元，按八折出售仍可获利20%，则该商品的进价为     元。 答案　160　解析　八折售价＝240×0.8＝192元；设进价元，则192−＝0.2，解得＝160。利润率的基数永远是进价。 12．在等式＝中，当＝1时＝3；当＝−1时＝5，则＝     ，＝     。 答案　−1；4　解析　把两组值代入得方程组；两式相加得2＝8，＝4，再得＝−1。待定系数法的标准步骤。 八、浙江中考命题透视 2026年题位 考查内容 备考提示 解答第18题 解方程（组），全卷第二个解答题位 消元或去分母的过程要写全，结果代回原方程检验 选择第5至7题 方程的解、含参系数、等式性质判定 判断是不是解，最快的办法是代入验算 填空第11至13题 打折销售、行程、工程等一步应用 找准等量关系，单位与答句不能丢 2026年浙江卷把解方程组放在解答题第18题，紧接在第17题的计算之后。这个位置说明命题组把方程看作“必须拿分的基础题”，不设阅读障碍、不套复杂情境，考的就是去分母、去括号、移项、消元这几个动作是否规范。分值稳定，过程分占比高，写全步骤比算出答案更重要。 方程在浙江卷里还有另一种考法：它不出现在第18题，而是藏在实际应用题、函数题和几何题的计算过程里。一次函数求解析式要用待定系数法解方程组，相似三角形求线段要用比例式列方程，统计题求人数也要列方程。这些位置不会提示“请解方程”，但只要前面列式错了，后面全部作废。 2027年备考定位：本讲求“算得准、写得全”。三条必须练成条件反射：一是去分母先找最小公倍数、每一项都乘；二是移项必变号、合并必验算；三是解完方程组把解代回两个方程各验一次。这三条守住了，第18题就是全卷最稳的12分。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $