备战2027年浙江中考数学一轮复习 第1讲 实数（讲义）

备战2027年浙江中考数学一轮复习 · 第1讲 实数 · 讲义 · 学生版 备战2027年浙江中考数学一轮复习 第一单元　数与式 第1讲　实数 学生版 班级：      　　姓名：      　　学号：       适用浙江全省统考　建议课时1课时　满分120分　考试时间120分钟 一、考点与配套练习对应表 讲义考点 核心内容 配套练习对应题号 考点1 实数的分类、无理数判定 第2题、第23题 考点2 数轴与数轴读点、相反数、绝对值、倒数 第1题、第7题、第10题、第15题、第19题、第20题 考点3 平方根、算术平方根、立方根 第5题、第14题、第17题 考点4 科学记数法、近似数与有效数字 第3题、第8题、第13题、第22题 考点5 实数的大小比较与估算 第6题、第12题、第16题、第21题 考点6 实数的运算、零指数与负指数幂、举反例 第4题、第9题、第10题、第11题、第14题、第18题、第23题、第24题 二、课标要求 1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值。 3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，能运用运算律简化运算。 4．了解无理数与实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。 5．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示，会用有理数估计一个无理数的大致范围。 6．了解近似数，会用科学记数法表示数，能按问题的要求对结果取近似值。 以上为依据义务教育数学课程标准2022年版数与式主题整理的要点，非逐字原文。 三、知识网络 实　数 分类 有理数、无理数；无限不循环小数是无理数 相关概念 数轴、相反数、绝对值、倒数 开方运算 平方根、算术平方根、立方根 数的表示 科学记数法、近似数与有效数字 运算 加、减、乘、除、乘方、开方 四、考点梳理 考点1　实数的分类 1．按定义分：实数分为     和     ；有理数包括     和     。 2．按大小符号分：正实数、     、负实数。 3．无理数是         小数，常见三类：开方开不尽的数，如；与π有关的数，如；特定结构的数，如0.1010010001…。 4．辨析：带根号的数     是无理数，如＝   ，是有理数。 考点2　实数的相关概念 1．数轴：规定了     、     、     的直线叫做数轴；实数与数轴上的点     对应。 2．相反数：数a的相反数是     ，0的相反数是   ；若a、b互为相反数，则a＋b＝   。 3．绝对值：当a≥0时，|a|＝   ；当a＜0时，|a|＝   。几何意义是数轴上表示数a的点到     的距离，因此|a|   0。 4．倒数：非零数a的倒数是     ；0     倒数；倒数等于它本身的数是     。 5．数轴读点：先找出点所在的两个相邻整数刻度，再按偏向估读。点M在0与1之间，则M表示的数在   与   之间。 考点3　平方根、算术平方根与立方根 1．若＝a且a≥0，则x叫做a的     。正数a的平方根有   个，记作     ；0的平方根是   ；负数     平方根。 2．正数a的正的平方根叫做a的       ，记作，0的算术平方根是   。 3．若＝a，则x叫做a的     ，记作。正数、负数、0的立方根都是   个；＝     。 4．重要性质：＝a且a≥0；＝   ；＝   。 考点4　科学记数法与近似数 1．科学记数法：把数写成a×的形式，其中   ≤|a|＜   。原数的绝对值大于10时，n等于整数位数减   ；原数的绝对值小于1时，n为   整数。 2．近似数的精确度：2.60万精确到    位；有效数字是从   边第一个    的数字起，到末位数字止的所有数字。 3．提醒：科学记数法中的负号不参与a的取值范围判断，−4.05×中a＝    。 考点5　实数的大小比较与估算 1．数轴比较法：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数   。 2．常用方法：数轴法、作差法、平方法、倒数法、特殊值法。 3．估算：夹逼法是通法。如，由＝4＜5＜9＝得2＜＜3；再由＝4.84＜5＜5.29＝得2.2＜＜2.3，故精确到0.01约为    。 4．考法提醒：2026年第1题以数轴上点表示的数呈现，本质是定区间加估偏向，比单纯比较大小更强调数形结合。 考点6　实数的运算 1．运算顺序：先算   ，再算   ，最后算   ；同级运算从   到   ；有括号先算括号里面的。 2．零指数幂：＝   且a≠0。负整数指数幂：＝     ，其中a≠0，n为正整数。 3．算一算：＝   ；＝   ；＝   ；＝   ；＝   。 4．浙江卷解答题第17题的固定套路：去绝对值，算零指数与负整数指数幂，算乘方与开方，最后合并。 五、典型例题 例1　无理数的判定 在−2027，0，π，，，0.1010010001…这六个数中，无理数的个数是（　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 解析　π与0.1010010001…是无理数；−2027、0是整数，＝2，是分数，均为有理数。故选B。 练一练1　在，2π，3.14，−1，−，0.2020020002…中，无理数的个数是（　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 例2　相反数、绝对值与倒数 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，且|m|＝3，则a＋b＋−cd的值是（　） A．8　　B．6　　C．8或6　　D．8或−8 解析　由题意a＋b＝0，cd＝1，＝9，原式＝0＋9−1＝8。m的正负不影响的值，故选A。 练一练2　若|x|＝5，|y|＝2，且x＜y，则x−y的值是（　） A．−7或−3　　B．7或3　　C．−3　　D．−7 例3　数轴读点 数轴上点M在0与1之间，且离原点比离点1远。若点M表示的数是m，则下列判断正确的是（　） A．m＜0.5　　B．m＝0.5　　C．m＞0.5　　D．m＞1 解析　M在0与1之间，排除D；离原点比离点1远，说明M更靠近点1，故m＞0.5，选C。 练一练3　数轴上点A表示−1，点B表示3，点C到A、B的距离相等，则点C表示的数是（　） A．0.5　　B．1　　C．1.5　　D．2 例4　平方根与算术平方根 下列说法正确的是（　） A．的平方根是4　　B．的算术平方根是4　　C．的算术平方根是−3　　D．＝−3且＝3 解析　＝4，4的平方根是±2，A错；4的算术平方根是4，B对；＝9，算术平方根为3，C错；＝−3，D错。故选B。 练一练4　下列判断正确的是（　） A．的平方根是3　　B．的平方根是−4　　C．＝−2　　D．＝±4 例5　科学记数法 2026年某市建成新能源汽车充电桩约126000个，将126000用科学记数法表示为（　） A．1.26×　　B．12.6×　　C．1.26×　　D．0.126× 解析　写科学记数法只需盯住两点：1≤|a|＜10，指数为原数整数位数减1。126000是六位数，故为1.26×，选A。 练一练5　某种花粉的直径约为0.000072米，用科学记数法表示为（　） A．7.2×　　B．7.2×　　C．72×　　D．0.72× 例6　无理数的估算 已知a＝−2，则a的值在（　） A．1和2之间　　B．2和3之间　　C．3和4之间　　D．4和5之间 解析　由＝9＜13＜16＝得3＜＜4，故1＜−2＜2，选A。 练一练6　与最接近的整数是（　） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 例7　实数的混合运算 计算：＋|−2|−＋。 解析　原式＝−4＋−1＋2＝−1−。其中≈1.732＜2，故|−2|＝2−，去绝对值必须先定符号。 练一练7　计算：＋−−||。 例8　绝对值的分类讨论 已知|a|＝3，|b|＝5，且|a＋b|＝a＋b，求a−b的值。 解析　由|a＋b|＝a＋b得a＋b≥0。a＝±3，b＝±5，满足a＋b≥0的只有a＝3、b＝5与a＝−3、b＝5两种搭配，故a−b＝−2或−8。 练一练8　若|a−1|＋＝0，则的值是（　） A．−2　　B．2　　C．1　　D． 六、易错提醒 易错点 正确认识 与混淆 ＝−4，＝4。底数是否含负号由括号决定。 把的平方根答成±4 先算＝4，再求4的平方根，结果为±2。 把0.1010010001…当成有理数 无限不循环小数是无理数，有规律也不等于有理数。 认为|a|＝a就推出a＞0 a≥0时都有|a|＝a，包含a＝0，可用作反例。 把算成负数 ＝，是倒数关系，如＝。 科学记数法写成30.6× a满足1≤|a|＜10，应写成3.06×。 去绝对值不先定符号 先比较被减数与0的大小，再按非负原样、负取相反数脱去绝对值。 七、讲义同步练 限时20分钟　满分36分　本练与上面六个考点一一对应，错题按考点归档。 1．下列各数中，是无理数的是（　） A．　　B．　　C．−3.14　　D． 　 2．下列各组数中，互为相反数的是（　） A．与　　B．与　　C．与2　　D．|−2|与2 　 3．若|x−1|＝2，则x的值是（　） A．3　　B．−1　　C．3或−1　　D．−3或1 　 4．若一个正数的两个平方根分别是2a−1与−a+2，则a的值是（　） A．−1　　B．1　　C．3　　D．−3 　 5．我国某海域天然气探明储量约为1.2×立方米，1.2×写成原数是（　） A．12000000　　B．120000000　　C．1200000000　　D．120000 　 6．估计的值在（　） A．4与5之间　　B．5与6之间　　C．6与7之间　　D．7与8之间 　 7．下列运算正确的是（　） A．＝4　　B．＝−4　　C．＝0　　D．＝−2 　 8．若a＜0＜b，且|a|＞|b|，则下列判断正确的是（　） A．a＋b＞0　　B．a＋b＜0　　C．a−b＞0　　D．ab＞0 　 9．计算：−＋|−1|＝     。 　 10．若的算术平方根是3，则a＝     。 　 11．用科学记数法表示：−0.0000207＝         。 　 12．定义新运算：a⊕b＝|a|−b，则(−3)⊕(−5)＝     。 　 八、浙江中考命题透视 题位 2025年省统考 2026年省统考 变化 选择第1题 求−2027的相反数　3分 数轴上点M表示的数可能是　3分 由纯概念送分改为数形结合估读 选择第3题 科学记数法　3分 整式乘法·(−5a)　3分 本讲考点退出该题位 填空第11题 实数运算　3分 一元一次不等式解集　3分 本讲考点退出该题位 解答第17题 分式化简求值　8分 计算|−2|−＋　8分 仍考基本运算，但更朴素 本讲直接分值 约17分 约11分 波动大，不能押题位 两年来，解答题第17题始终是基本运算的首题，2025年为分式化简求值，2026年为实数计算，这是本讲最值得死守的一分；选择题第1题两年来都由本讲承担，但外壳已经从相反数换成了数轴读点。 两点变化需要留意：科学记数法在2026年没有单独成题，说明它属常考而非必考，仍需会但不占重兵；本讲在填空第11题的位置被不等式取代，全卷直接分值从约17分降到约11分。命题手法上，2026年全卷情境高度真实化，吴越杯足球联赛、科学实验溶液检测、古建筑六角亭、摇杆车裂缝采样、学校配餐加权、云存储阶梯收费、共同富裕示范区、新能源汽车续航，几乎没有裸数据题，但落到本讲仍是读得懂题、算得对比的基本功。 2027年备考定位：本讲目标不是会做，而是100%不错。训练顺序建议为符号、运算顺序、估算与数轴读点、科学记数法，错题按符号类、概念类、顺序类归档。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $备战2027年浙江中考数学一轮复习 · 第1讲 实数 · 讲义 · 教师版 备战2027年浙江中考数学一轮复习 第一单元　数与式 第1讲　实数 教师版 班级：      　　姓名：      　　学号：       适用浙江全省统考　建议课时1课时　满分120分　考试时间120分钟 一、考点与配套练习对应表 讲义考点 核心内容 配套练习对应题号 考点1 实数的分类、无理数判定 第2题、第23题 考点2 数轴与数轴读点、相反数、绝对值、倒数 第1题、第7题、第10题、第15题、第19题、第20题 考点3 平方根、算术平方根、立方根 第5题、第14题、第17题 考点4 科学记数法、近似数与有效数字 第3题、第8题、第13题、第22题 考点5 实数的大小比较与估算 第6题、第12题、第16题、第21题 考点6 实数的运算、零指数与负指数幂、举反例 第4题、第9题、第10题、第11题、第14题、第18题、第23题、第24题 二、课标要求 1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值。 3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，能运用运算律简化运算。 4．了解无理数与实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。 5．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示，会用有理数估计一个无理数的大致范围。 6．了解近似数，会用科学记数法表示数，能按问题的要求对结果取近似值。 以上为依据义务教育数学课程标准2022年版数与式主题整理的要点，非逐字原文。 三、知识网络 实　数 分类 有理数、无理数；无限不循环小数是无理数 相关概念 数轴、相反数、绝对值、倒数 开方运算 平方根、算术平方根、立方根 数的表示 科学记数法、近似数与有效数字 运算 加、减、乘、除、乘方、开方 四、考点梳理 考点1　实数的分类 1．按定义分：实数分为有理数和无理数；有理数包括整数和分数。 2．按大小符号分：正实数、零、负实数。 3．无理数是无限不循环小数，常见三类：开方开不尽的数，如；与π有关的数，如；特定结构的数，如0.1010010001…。 4．辨析：带根号的数不一定是无理数，如＝3，是有理数。 考点2　实数的相关概念 1．数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；实数与数轴上的点一一对应。 2．相反数：数a的相反数是−a，0的相反数是0；若a、b互为相反数，则a＋b＝0。 3．绝对值：当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝−a。几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，因此|a|≥0。 4．倒数：非零数a的倒数是；0没有倒数；倒数等于它本身的数是±1。 5．数轴读点：先找出点所在的两个相邻整数刻度，再按偏向估读。点M在0与1之间，则M表示的数在0与1之间。 考点3　平方根、算术平方根与立方根 1．若＝a且a≥0，则x叫做a的平方根。正数a的平方根有2个，记作±；0的平方根是0；负数没有平方根。 2．正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0。 3．若＝a，则x叫做a的立方根，记作。正数、负数、0的立方根都是1个；＝。 4．重要性质：＝a且a≥0；＝；＝a。 考点4　科学记数法与近似数 1．科学记数法：把数写成a×的形式，其中1≤|a|＜10。原数的绝对值大于10时，n等于整数位数减1；原数的绝对值小于1时，n为负整数。 2．近似数的精确度：2.60万精确到百位；有效数字是从左边第一个非零的数字起，到末位数字止的所有数字。 3．提醒：科学记数法中的负号不参与a的取值范围判断，−4.05×中a＝−4.05。 考点5　实数的大小比较与估算 1．数轴比较法：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 2．常用方法：数轴法、作差法、平方法、倒数法、特殊值法。 3．估算：夹逼法是通法。如，由＝4＜5＜9＝得2＜＜3；再由＝4.84＜5＜5.29＝得2.2＜＜2.3，故精确到0.01约为2.24。 4．考法提醒：2026年第1题以数轴上点表示的数呈现，本质是定区间加估偏向，比单纯比较大小更强调数形结合。 考点6　实数的运算 1．运算顺序：先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右；有括号先算括号里面的。 2．零指数幂：＝1且a≠0。负整数指数幂：＝，其中a≠0，n为正整数。 3．算一算：＝−1；＝−4；＝4；＝；＝2。 4．浙江卷解答题第17题的固定套路：去绝对值，算零指数与负整数指数幂，算乘方与开方，最后合并。 五、典型例题 例1　无理数的判定 在−2027，0，π，，，0.1010010001…这六个数中，无理数的个数是（　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 解析　π与0.1010010001…是无理数；−2027、0是整数，＝2，是分数，均为有理数。故选B。 练一练1　在，2π，3.14，−1，−，0.2020020002…中，无理数的个数是（　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 例2　相反数、绝对值与倒数 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，且|m|＝3，则a＋b＋−cd的值是（　） A．8　　B．6　　C．8或6　　D．8或−8 解析　由题意a＋b＝0，cd＝1，＝9，原式＝0＋9−1＝8。m的正负不影响的值，故选A。 练一练2　若|x|＝5，|y|＝2，且x＜y，则x−y的值是（　） A．−7或−3　　B．7或3　　C．−3　　D．−7 例3　数轴读点 数轴上点M在0与1之间，且离原点比离点1远。若点M表示的数是m，则下列判断正确的是（　） A．m＜0.5　　B．m＝0.5　　C．m＞0.5　　D．m＞1 解析　M在0与1之间，排除D；离原点比离点1远，说明M更靠近点1，故m＞0.5，选C。 练一练3　数轴上点A表示−1，点B表示3，点C到A、B的距离相等，则点C表示的数是（　） A．0.5　　B．1　　C．1.5　　D．2 例4　平方根与算术平方根 下列说法正确的是（　） A．的平方根是4　　B．的算术平方根是4　　C．的算术平方根是−3　　D．＝−3且＝3 解析　＝4，4的平方根是±2，A错；4的算术平方根是4，B对；＝9，算术平方根为3，C错；＝−3，D错。故选B。 练一练4　下列判断正确的是（　） A．的平方根是3　　B．的平方根是−4　　C．＝−2　　D．＝±4 例5　科学记数法 2026年某市建成新能源汽车充电桩约126000个，将126000用科学记数法表示为（　） A．1.26×　　B．12.6×　　C．1.26×　　D．0.126× 解析　写科学记数法只需盯住两点：1≤|a|＜10，指数为原数整数位数减1。126000是六位数，故为1.26×，选A。 练一练5　某种花粉的直径约为0.000072米，用科学记数法表示为（　） A．7.2×　　B．7.2×　　C．72×　　D．0.72× 例6　无理数的估算 已知a＝−2，则a的值在（　） A．1和2之间　　B．2和3之间　　C．3和4之间　　D．4和5之间 解析　由＝9＜13＜16＝得3＜＜4，故1＜−2＜2，选A。 练一练6　与最接近的整数是（　） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 例7　实数的混合运算 计算：＋|−2|−＋。 解析　原式＝−4＋−1＋2＝−1−。其中≈1.732＜2，故|−2|＝2−，去绝对值必须先定符号。 练一练7　计算：＋−−||。 例8　绝对值的分类讨论 已知|a|＝3，|b|＝5，且|a＋b|＝a＋b，求a−b的值。 解析　由|a＋b|＝a＋b得a＋b≥0。a＝±3，b＝±5，满足a＋b≥0的只有a＝3、b＝5与a＝−3、b＝5两种搭配，故a−b＝−2或−8。 练一练8　若|a−1|＋＝0，则的值是（　） A．−2　　B．2　　C．1　　D． 练一练答案　1．B　2．A　3．B　4．C　5．A　6．B　7．6−　8．C 六、易错提醒 易错点 正确认识 与混淆 ＝−4，＝4。底数是否含负号由括号决定。 把的平方根答成±4 先算＝4，再求4的平方根，结果为±2。 把0.1010010001…当成有理数 无限不循环小数是无理数，有规律也不等于有理数。 认为|a|＝a就推出a＞0 a≥0时都有|a|＝a，包含a＝0，可用作反例。 把算成负数 ＝，是倒数关系，如＝。 科学记数法写成30.6× a满足1≤|a|＜10，应写成3.06×。 去绝对值不先定符号 先比较被减数与0的大小，再按非负原样、负取相反数脱去绝对值。 七、讲义同步练 限时20分钟　满分36分　本练与上面六个考点一一对应，错题按考点归档。 1．下列各数中，是无理数的是（　） A．　　B．　　C．−3.14　　D． 答案　B　解析　＝4，−3.14是有限小数，是分数，均属有理数；含π，是无理数。 2．下列各组数中，互为相反数的是（　） A．与　　B．与　　C．与2　　D．|−2|与2 答案　C　解析　＝−2，与2互为相反数；A、D两组分别相等，B两组都等于−27。 3．若|x−1|＝2，则x的值是（　） A．3　　B．−1　　C．3或−1　　D．−3或1 答案　C　解析　由x−1＝2或x−1＝−2得x＝3或x＝−1。 4．若一个正数的两个平方根分别是2a−1与−a+2，则a的值是（　） A．−1　　B．1　　C．3　　D．−3 答案　A　解析　一个正数的两个平方根互为相反数，(2a−1)＋(−a+2)＝0，解得a＝−1，此时这个正数是9。 5．我国某海域天然气探明储量约为1.2×立方米，1.2×写成原数是（　） A．12000000　　B．120000000　　C．1200000000　　D．120000 答案　B　解析　指数8表示把小数点向右移动8位，得120000000。 6．估计的值在（　） A．4与5之间　　B．5与6之间　　C．6与7之间　　D．7与8之间 答案　C　解析　由＝36＜40＜49＝得6＜＜7。 7．下列运算正确的是（　） A．＝4　　B．＝−4　　C．＝0　　D．＝−2 答案　D　解析　＝−4，＝，＝1，只有D正确。 8．若a＜0＜b，且|a|＞|b|，则下列判断正确的是（　） A．a＋b＞0　　B．a＋b＜0　　C．a−b＞0　　D．ab＞0 答案　B　解析　a为负且绝对值更大，其绝对值抵消b后仍有余，故a＋b＜0；a−b、ab均为负。 9．计算：−＋|−1|＝     。 答案　7＋　解析　原式＝5−(−3)＋(−1)＝7＋。 10．若的算术平方根是3，则a＝     。 答案　81　解析　＝＝9，故a＝81。 11．用科学记数法表示：−0.0000207＝         。 答案　−2.07×　解析　小数点向右移动5位，指数取−5，负号保留。 12．定义新运算：a⊕b＝|a|−b，则(−3)⊕(−5)＝     。 答案　8　解析　(−3)⊕(−5)＝|−3|−(−5)＝3＋5＝8。 八、浙江中考命题透视 题位 2025年省统考 2026年省统考 变化 选择第1题 求−2027的相反数　3分 数轴上点M表示的数可能是　3分 由纯概念送分改为数形结合估读 选择第3题 科学记数法　3分 整式乘法·(−5a)　3分 本讲考点退出该题位 填空第11题 实数运算　3分 一元一次不等式解集　3分 本讲考点退出该题位 解答第17题 分式化简求值　8分 计算|−2|−＋　8分 仍考基本运算，但更朴素 本讲直接分值 约17分 约11分 波动大，不能押题位 两年来，解答题第17题始终是基本运算的首题，2025年为分式化简求值，2026年为实数计算，这是本讲最值得死守的一分；选择题第1题两年来都由本讲承担，但外壳已经从相反数换成了数轴读点。 两点变化需要留意：科学记数法在2026年没有单独成题，说明它属常考而非必考，仍需会但不占重兵；本讲在填空第11题的位置被不等式取代，全卷直接分值从约17分降到约11分。命题手法上，2026年全卷情境高度真实化，吴越杯足球联赛、科学实验溶液检测、古建筑六角亭、摇杆车裂缝采样、学校配餐加权、云存储阶梯收费、共同富裕示范区、新能源汽车续航，几乎没有裸数据题，但落到本讲仍是读得懂题、算得对比的基本功。 2027年备考定位：本讲目标不是会做，而是100%不错。训练顺序建议为符号、运算顺序、估算与数轴读点、科学记数法，错题按符号类、概念类、顺序类归档。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $