精品解析：四川成都市盐道街中学2026～2027学年上学期10月阶段性练习九年级数学试题

成都市盐道街中学2026~2027学年上10月阶段性练习 初2024级（初三）数学试题 A卷（100分） 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程一个根为，则另一个根为（ ）． A. B. C. D. 3. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①对角线互相平分 B. ②对角线互相垂直 C. ③有一组邻边相等 D. ④有一个角是直角 4. 如图是一架人字梯的侧面示意图，已知，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则的值为___________． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_________． 11. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为_________． 12. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_____． 13. 如图所示，在菱形中，以点为圆心，一定长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若，则________． 三、解答题（共5小题，共48分） 14. 解方程 （1）； （2） 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点都在单位长度为1的正方形网格的格点上． （1）以点为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点、、的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点的右侧； （2）点的坐标为         ． （3）的面积是        平方单位． 16. 为响应国家“乡村振兴”与节能减排号召，某乡镇在乡村旅游道路上，安装一批太阳能路灯，既方便村民夜间出行，也助力乡村夜景打造．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的D处时，测得自身影长为1米． （1）求路灯的高度； （2）小明沿着走至F处时，头顶的影子刚好落到墙脚O处，则他行走的路程是多少米． 17. 如图，在矩形中，垂直平分对角线，交边，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 在坐标系中，直线与x轴交于点A与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于，点M是直线上的动点． （1）求直线的解析式； （2）如图，点M在运动过程中，当时，求点M的坐标； （3）若点N在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点M，使以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（50分） 一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若、是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 20. 如图，矩形中，，，，连接，则图中阴影部分面积为__________． 21. 定义：关于的一元二次方程与为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式能取得的最大值是___________． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点和，其中．点C在x轴上且在点B右侧，．点D为第四象限内一点，若，，则_______．（用含a，b的代数式表示） 23. 如图，在中，，，，D，E分别为边，上的动点，且，连接，． （1）的长为______； （2）当的值最小时，的值为______． 二、解答题（共3小题，共30分） 24. 2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 25. 小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究：如图2，若，求证：． （2）尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长． （3）创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，则的长为 ．（请直接写出答案） 26. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B． （1）求的面积； （2）点P、Q分别在线段和上，且，与相似时，求P点坐标； （3）如图2，点M在线段上，点T从O出发，沿路线O→M→A到达点A，其中在线段上的速度为1个单位长度/秒，在线段上的速度为个单位长度/秒，求点T到达A点所需最短时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市盐道街中学2026~2027学年上10月阶段性练习 初2024级（初三）数学试题 A卷（100分） 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．由一元二次方程的概念对四个选项进行验证，可得正确答案． 【详解】解：A、当时，即该方程的二次项系数是0时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、由，得，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误； C、是分式方程，不是整式方程，； D、符合一元二次方程的概念，故本选项正确． 故选：D． 2. 已知关于x的一元二次方程一个根为，则另一个根为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设方程的另一个根为，再利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵关于x的一元二次方程一个根为， ，解得：． ∴方程的另一个根为． 3. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①对角线互相平分 B. ②对角线互相垂直 C. ③有一组邻边相等 D. ④有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角线互相平分的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：A． 4. 如图是一架人字梯的侧面示意图，已知，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，结合已知条件，可建立等价比例关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 5. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，对应边成比例，但是不是夹角相等，不能确定，符合题意． 选项，添加，对应边成比例，且，两边夹角也相等，确定，不符合题意． 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可． 【详解】解：∵ 以原点为位似中心，相似比为，把缩小． ∴ 点的对应点的坐标为或． 即或． 7. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：在菱形中， ∴,,, ∵, ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移法，将分散的停车位拼合为一个矩形，确定该矩形的长和宽，结合面积公式列出方程． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， ∵停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等， ∴入口和出口的宽度均为， 停车位拼合后的长为，宽为， ∵停车位的占地面积为， ∴． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的变形代入求值，准确的计算是解决本题的关键． 将所求表达式拆分为，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知判别式，以及二次项系数，进而得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 整理得：，解得：， ∴的取值范围为且． 11. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】证明四边形是矩形，得到，再根据题意求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是求解即可． 【详解】解：∵与交于点，， ∴， ∵点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∵蜡烛火焰的高度是， ∴，解得，即蜡烛火焰倒立的像的高度是． 13. 如图所示，在菱形中，以点为圆心，一定长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若，则________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】由作图步骤可得平分，由菱形的性质结合角平分线的定义，求出，进而求出，最后根据三角形的外角求即可． 【详解】解： 菱形， ， ， 由作图步骤可得平分， ， ，， ， ， ． 三、解答题（共5小题，共48分） 14. 解方程 （1）； （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可； （2）通过提取公因式、移项后，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得：， 配方，得：， ∴， 直接开平方，得：， ∴，； 【小问2详解】 解：， 提取公因式，得：， 移项，得：， 因式分解，得：， ∴，． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点都在单位长度为1的正方形网格的格点上． （1）以点为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点、、的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点的右侧； （2）点的坐标为         ． （3）的面积是        平方单位． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先读出 A、B、C，位似中心是原点、相似比 且在原点右侧，坐标都乘得到、、，描点连线画出三角形． （2）根据位似变换算出 C 的对应点坐标，得到． （3）先用割补法算出面积是，相似三角形面积比等于相似比的平方，面积比为 ，算出面积为 14． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：根据图形可得，点的坐标为． 【小问3详解】 解：， ∵ 与的相似比为， ∴ 与的面积比为， ∴ ． 16. 为响应国家“乡村振兴”与节能减排号召，某乡镇在乡村旅游道路上，安装一批太阳能路灯，既方便村民夜间出行，也助力乡村夜景打造．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的D处时，测得自身影长为1米． （1）求路灯的高度； （2）小明沿着走至F处时，头顶的影子刚好落到墙脚O处，则他行走的路程是多少米． 【答案】（1） （2）他行走的路程米 【解析】 【分析】（1）根据题意得，得到，代入计算即可； （2）根据题意得，得到，代入计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴， 解得（米）； 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴小明沿着走至F处时，头顶的影子刚好落到墙脚O处，则他行走的路程米． 17. 如图，在矩形中，垂直平分对角线，交边，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵矩形， ∴，， ∴， ∵垂直平分对角线， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形和垂直平分线得到，，即可证明； （2）由矩形得到，，，再证明，得到，接着根据得到，代入解得，最后得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形，，， ∴，，， ∵垂直平分对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 18. 在坐标系中，直线与x轴交于点A与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于，点M是直线上的动点． （1）求直线的解析式； （2）如图，点M在运动过程中，当时，求点M的坐标； （3）若点N在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点M，使以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）M的坐标为或 （3）存在，M坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）先求出点A，B的坐标，然后再用待定系数法求直线的解析式即可； （2）先求出由题意可得，那么或，然后解方程即可求出点M的纵坐标，然后利用的解析式，求得点M的横坐标即可； （3）分类讨论，利用两点距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， ，， 设直线的解析式为， 将点，分别代入得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：，，， ，，， ， ， 点M在直线上， 或， ①当时， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ； ②当时， 得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， ， 综上所述，点M的坐标为或； 【小问3详解】 解：平面内存在一点M，使得以点A、B、M、N四点为顶点形成的四边形是菱形；理由如下： 设，相交于点E，则，，设， ①当四边形是菱形，如图1 ，即， ， ， 或； ②当四边形是菱形，如图2， 此时，即， ， 解得：， ； ③当四边形是菱形时，过点M作轴于点Z，如图3， 此时，即， ， 解得：不合题意，舍去或， ； 综上所述，M坐标为或或或 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象及性质，菱形的性质，中点公式，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． B卷（50分） 一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若、是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由根与系数的关系，得 ， ∴． 20. 如图，矩形中，，，，连接，则图中阴影部分面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半可得，利用勾股定理求出，进而得到，过点M作，求出，然后根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点M作， ∴， 则图中阴影部分的面积 ． 21. 定义：关于的一元二次方程与为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式能取得的最大值是___________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式与性质，先根据同族二次方程的定义，将第二个方程转化为顶点式，通过比较系数求出a和b的值，再代入代数式求其最大值． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， 的最大值为2026， 即能取得的最大值为2026． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点和，其中．点C在x轴上且在点B右侧，．点D为第四象限内一点，若，，则_______．（用含a，b的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得出，过点A作的角平分线，利用各角之间的等量代换及等腰三角形的判定得出为等腰三角形，确定，过点A作，交x轴于点F，根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵和，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点A作的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， 过点A作，交x轴于点F， ∴平分，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 23. 如图，在中，，，，D，E分别为边，上的动点，且，连接，． （1）的长为______； （2）当的值最小时，的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）过点C作于点H，由题意易得，则有，然后根据含30度直角三角形与等腰直角三角形的性质可进行求解； （2）过C作，使，连接，与交于T，由题意易得，则有，所以当点D与点T重合时，为最小，即为最小，此时，然后可得，即，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：（1）过点C作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为； （2）过C作，使，连接，与交于T，如图所示， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据“两点间线段最短”得：， ∴当点D与点T重合时，为最小，即为最小，此时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当为最小，此时； 故答案为． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握含30度直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 二、解答题（共3小题，共30分） 24. 2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是； （2）售价应降低元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是， 利用10月份的销售量月份的销售量（月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是，依题意得： ， 解得：，(不合题意，舍去)， 答：月平均增长率是； 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为 件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽量减少库存， ， 答：售价应降低元． 25. 小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究：如图2，若，求证：． （2）尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长． （3）创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，则的长为 ．（请直接写出答案） 【答案】（1）证明： ∵，， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明即可得到； （2）由（1）的结论结合可得，再利用相似三角形的性质求出即可； （3）取中点，连接、，设，由等腰三角形与直角三角形的性质可得，，，．容易证明，则，计算得，，进而得到．在中，使用勾股定理构造方程求解出，最后计算出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，取中点，连接、，设， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵点为的中点， ∴，， 在中，，点为的中点， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 26. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B． （1）求的面积； （2）点P、Q分别在线段和上，且，与相似时，求P点坐标； （3）如图2，点M在线段上，点T从O出发，沿路线O→M→A到达点A，其中在线段上的速度为1个单位长度/秒，在线段上的速度为个单位长度/秒，求点T到达A点所需最短时间． 【答案】（1）6 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出A，B两点的坐标，得到，的长，再求出面积． （2）分类讨论：①②两种情况，分别求出的长，再求出P点的坐标． （3）作，交x轴于F，作，交于G，作轴于E． ，求出G点坐标，再求出直线的解析式，得到的长，利用等积法求得的长即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：由勾股定理得， ∵， ∴分两种情况进行讨论 当时， ∴，即： ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 作轴，如图所示： ∵ ∴， ∴P点坐标为． ②当时， ∴，即： ∴ ∴ ∴ ∴， ∴P点坐标 综上P点坐标为或 【小问3详解】 解：如图3，作，交x轴于F，作，交于G，作，作轴于E． 过M作于N，则， ∵， ∴当O、M、N三点共线时，． ∵， ∴， ∵轴 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 由得， ∴， ∴ ∴ 故． 答：点T到达A点所需最短时间为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与三角形相似，三角形全等，锐角三角函数，线段之和最小等知识，注重数形结合，正确分类讨论，合理添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $