1.1 集合的概念 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1 集合的概念 高中数学人教A版必修 第一册 2026-2027学年 教学设计 教材版本：2019版人教A版《高中数学》必修第一册 课题：1.1 集合的概念 课时：1课时（约40分钟） 一、教材分析 （一）教材地位与作用：本节内容选自人教A版《普通高中教科书·数学·必修第一册》第一章《集合与常用逻辑用语》的第一节。集合语言是现代数学的基本语言，是高中数学学习的起点。学生在小学和初中已经接触过一些集合，如数集、不等式的解集、点集等，本节在此基础上系统学习集合的含义与表示，为后续学习集合间的基本关系、集合的基本运算，以及用集合语言表述函数的定义域、值域等知识奠定基础，起着承前启后的枢纽作用。 （二）内容结构：教材通过丰富的实例引入集合的概念，具体为： 1. 集合的概念：由某些确定的对象组成的整体称为集合，组成集合的对象称为元素； 2. 元素与集合的关系：元素与集合之间只有"属于"与"不属于"两种关系，记作"∈"与"∉"； 3. 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性； 4. 常用数集及其记法：自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R； 5. 集合的表示方法：列举法和描述法。 二、学情分析 （一）知识基础：学生在小学和初中阶段已经接触过一些集合，如自然数集、不等式的解集、圆（点集）等，对"集合"一词并不陌生，但认识停留在感性层面，尚未用严格的数学语言加以刻画。 （二）能力与思维特点：高一新生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，能凭借生活经验感知"整体"的含义，但用符号语言（∈、∉、N、Z、R等）准确表达元素与集合的关系，以及用列举法、描述法规范表示集合的能力尚待培养。 （三）可能遇到的困难：1. 判断对象能否构成集合时，对"确定性"标准的把握；2. 描述法中竖线两侧"代表元素"与"共同特征"的书写规范；3. 符号语言与自然语言、图形语言之间的转换。 三、教学目标 （一）基础知识与基本技能： 1. 通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的"属于"关系； 2. 了解集合中元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号； 3. 会用列举法和描述法表示集合，并能根据情境选择恰当的方法。 （二）基本活动体验： 1. 经历从生活实例和数学实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义； 2. 通过判断对象能否组成集合的辨析活动，加深对元素特性的理解。 （三）学科素养： 1. 在实例抽象概括中发展数学抽象素养； 2. 在集合语言的使用中提升数学表达与交流能力。 四、教学重难点 （一）教学重点： 1. 集合的概念与元素与集合的属于关系； 2. 用列举法和描述法表示集合。 （二）教学难点： 1. 判断对象能否组成集合（确定性的把握）； 2. 描述法的规范书写与恰当选用。 五、教学准备 （一）教具：多媒体课件、实物投影。 （二）情境素材： 案例1：某中学高中学部2023级（1）班的全体同学； 案例2：中国的四大名著； 案例3：1～11之间的所有偶数、地球上的四大洋。 六、教学过程 （一）创设情境，导入新课（5分钟）。 情境引入：观察下面三组对象： （1）某中学高中学部2023级（1）班的全体同学； （2）中国的四大名著； （3）昆明圆通山动物园的所有动物。 问题1：以上每组对象都具有什么共同特征？ 学生讨论：每组对象都是确定的、没有重复的，可以看成一个整体。 教师引导：我们数学上就把具有这些共同特征的对象组成的整体叫做集合。本节课就来学习集合的概念。（板书课题） 设计意图：通过生活情景的导入，自然引出本节课的教学重点——集合的概念。 （二）探究新知，形成概念（12分钟）。 1. 集合与元素的概念 考察下面几组对象： （1）1～11之间的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形； （4）到直线l的距离等于定长d的所有的点； （5）方程 x2−3x+2=0 的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 思考：每组对象的全体能否组成集合？每个集合的元素分别是什么？ 师生活动：学生独立思考、回答，师生共同总结：每组对象的全体都能组成集合；构成集合的元素可以是数、点、图形、物体等。 归纳新知：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）。通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素。 2. 元素与集合的关系 实例：用A表示高一（3）班全体学生组成的集合，用a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学。那么a，b与集合A分别有什么关系？ 学生回答：a是集合A中的元素，b不是集合A中的元素。 归纳总结：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A。例如，设全体偶数组成的集合为M，则2∈M，3∉M。 图示辅助：元素与集合的属于关系可以用下图直观表示。 图1 元素与集合的属于关系示意图 设计意图：借助Venn图直观呈现元素与集合的属于、不属于关系，帮助学生建立符号语言与图形语言的联系，发展直观想象素养。 3. 集合中元素的特性 问题2：判断下列对象能否组成集合，并说明理由： （1）我国的直辖市；（2）树人中学高一（2）班的高个子同学；（3）较小的数。 解析：（1）我国的直辖市是确定的（北京、上海、天津、重庆），能组成集合；（2）"高个子"没有明确标准，对象不确定，不能组成集合；（3）"较小"没有明确标准，对象不确定，不能组成集合。 归纳总结：集合中的元素具有三个特性——确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；互异性：一个集合中的元素是互不相同的；无序性：组成集合的元素没有顺序之分。 4. 常用数集及其记法 引导学生回忆数集的扩充过程，逐一介绍常用数集的记法： 非负整数集（自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。 课堂练习1：用"∈"或"∉"填空： （1）设所有亚洲国家组成的集合为A，则中国____A，美国____A，印度____A，英国____A； （2）若方程 x2−3x+2=0 的所有实数根组成的集合为B，则1____B，2____B，0____B。 答案：（1）∈，∉，∈，∉；（2）∈，∈，∉。其中方程 x2−3x+2=0 的两根为 x1=1，x2=2，0不是它的根。 （三）集合的表示方法（15分钟）。 1. 列举法 问题3：地球上的四大洋组成的集合如何表示？方程 x2−3x+2=0 的所有实数根组成的集合又如何表示？ 学生活动：把元素一个一个地一一列举出来。 归纳总结：把集合的元素一一列举出来，并用花括号"{ }"括起来表示集合的方法叫做列举法。例如： 地球上的四大洋组成的集合可表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；方程 x2−3x+2=0 的所有实数根组成的集合可表示为{1，2}。 注意：①大括号不能缺失，元素之间用逗号隔开；②元素与顺序无关，但列举时通常按一定顺序（如从小到大）书写。 2. 描述法 问题4：能否用列举法表示不等式 x−7<3 的解集？ 学生讨论：不能一一列举，但这个集合中的元素满足性质：元素都是实数，且都小于10。 归纳总结：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。写成： 规范说明：在大括号内先写表示这个集合元素的一般符号及其取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 例如：所有奇数组成的集合可表示为；不等式 x−7<3 的解集用描述法可表示为。 注意：在不致混淆的情况下，描述法可以简写，例如所有直角三角形的集合可以表示为{x | x是直角三角形}，也可以简写成{直角三角形}。 3. 例题精讲 例1 用列举法表示下列集合： （1）小于6的所有自然数组成的集合； （2）方程 x2=4 的所有实数根组成的集合。 解：（1）设小于6的所有自然数组成的集合为A，则 A={0，1，2，3，4，5}； （2）设方程 x2=4 的所有实数根组成的集合为B，由 x2=4 得 x=±2，则 B={−2，2}。 设计意图：巩固列举法的书写规范，注意自然数包含0，避免漏写；求根时注意负根，避免漏解。 例2 用描述法表示下列集合： （1）所有偶数组成的集合； （2）不等式 2x−3>1 的解集。 解：（1）所有偶数组成的集合可表示为； （2）由 2x−3>1 得 x>2，所以解集为。 设计意图：训练描述法的规范书写，明确代表元素及其取值范围，避免遗漏"x∈Z"等限定条件。 4. 巩固练习 练习1：判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）所有的小于1的正整数组成一个集合； （2）1，2，2，3 这四个数组成的集合中有4个元素。 答案：（1）正确，"小于1的所有正整数"中，哪些对象属于它是明确的（事实上不存在小于1的正整数，但对象的范围是确定的），能组成集合，此时集合中不含任何元素，这种不含元素的集合叫做空集，记作∅（空集的严格定义将在后续课时学习，此处只需知道对象确定即可组成集合）； （2）错误，由互异性，集合{1，2，2，3}中的重复元素只算一个，实际元素为1，2，3，共3个元素。 练习2：已知集合 A={x | x2−5x+6=0}，用列举法表示A，并判断元素1，2，3与A的关系。 解：解方程 x2−5x+6=0，得 x=2 或 x=3，所以 A={2，3}。因为 2∈A，3∈A，1∉A，所以元素1不属于A，元素2、3都属于A。 （四）课堂总结与拓展（8分钟）。 知识梳理：请学生带着下列问题回顾本节课内容： （1）集合中的元素具有哪些特性？你能结合例子说明这些特性吗？ （2）元素与集合有哪些关系？如何表示？ （3）描述集合有几种方法？你能结合例子说明如何选择这些方法吗？ 师生共同总结： 1. 集合的概念：某些确定的对象组成的整体；元素的三特性：确定性、互异性、无序性； 2. 元素与集合的关系：属于（∈）与不属于（∉）； 3. 常用数集：N，N*（N+），Z，Q，R； 4. 表示方法：列举法适用于元素个数有限且较少的集合；描述法适用于元素有共同特征、不宜一一列举的集合。 拓展思考：{x | x2−5x+6=0}与{y | y2−5y+6=0}表示的是同一个集合吗？代表元素不同会影响集合的含义吗？（引导学生关注描述法中代表元素的选取，为下一课时集合的表示深化做铺垫。） 七、板书设计（主版面） 左栏：集合的概念 1. 集合：某些确定的对象组成的整体；元素：组成集合的对象 2. 元素与集合：a∈A（属于），a∉A（不属于） 3. 元素的特性：确定性、互异性、无序性 4. 常用数集：N（自然数集），N*或N+（正整数集），Z（整数集），Q（有理数集），R（实数集） 中栏：集合的表示 1. 列举法：{1，2，3，4，5} 2. 描述法：{x∈R | x<10} 右栏：例题区 例1：A={0，1，2，3，4，5}，B={−2，2} 例2：{x∈Z | x=2k，k∈Z}，{x | x>2} 八、作业设计 基础题（全体完成） 1. 教材课后练习第1、2、3题； 2. 判断下列对象能否组成集合，若能，试用适当的方法表示： （1）本班身高超过1.7m的同学；（2）著名的数学家；（3）不超过20的非负偶数。 参考答案：（1）能组成集合，"身高超过1.7m"标准确定，可用描述法表示；（2）不能组成集合，"著名"无明确标准，对象不确定；（3）能组成集合，用列举法表示为{0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20}。 提高题（选做） 已知集合 A={x | x2+ax+b=0}，若1∈A，2∈A，求a，b的值，并用列举法表示A。 参考答案：由1∈A，2∈A知1、2是方程 x2+ax+b=0 的两个实数根。将x=1代入，得 1+a+b=0；将x=2代入，得 4+2a+b=0。两式相减得 a=−3，代回得 b=2。此时方程为 x2−3x+2=0，其两根为1、2，故 A={1，2}。 九、教学反思与评价建议 （一）教学反思要点： 1. 是否通过丰富的实例让学生真正理解集合的"确定性"，能否自主判断对象能否组成集合； 2. 学生能否规范使用∈、∉等符号，准确书写列举法与描述法； 3. 描述法中代表元素与共同特征的书写是否规范，代表元素不同引起的集合含义差异是否理解； 4. 是否体现了从自然语言到符号语言、图形语言的转换训练。 （二）评价建议： 1. 过程性评价：关注课堂参与、小组讨论表现、符号语言使用的规范性； 2. 纸笔测试：考查集合概念的理解、元素特性的辨析、集合表示方法的选用； 3. 实践评价：通过课后作业中集合表示的规范性评价学习效果。 设计说明：本教学设计以课程标准为指导，紧扣教材内容，从生活与数学实例出发，通过问题驱动、辨析活动促进学生对集合概念与表示方法的理解，注重符号语言、自然语言、图形语言三种语言的转换训练，发展学生数学抽象与直观想象素养。 学科网（北京）股份有限公司 $