第一章集合与常用逻辑用语 1.1-1.3作业设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

广西高一数学上学期课时作业设计 ——人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》(1.1—1.3) 全集U 全集A 全集B A∩B 概念 关系 运算 应用 广西高一数学上学期课时作业设计（必修第一册第一章） 学科网（北京）股份有限公司 广西高一数学上学期课时作业设计 ——人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》(1.1—1.3) 一、作品基础信息 作品名称 广西高一数学上学期课时作业(第一章：集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算) 学段学科 高中·数学 适用年级 高一年级 教材版本 人教A版(2019版)必修第一册 对应内容 第一章　1.1 集合的概念、1.2 集合间的基本关系、1.3 集合的基本运算 课标依据 《普通高中数学课程标准(2017年版2025年修订)》必修课程主题一“预备知识”之“集合” 作业类型 单元作业(三个课时的分层课时作业及对应的实践性作业) 完成时长 每课时书面作业约20分钟(必做题约15分钟，选做题约5分钟)；实践性作业课后约10分钟 设计者 曾德扬 二、2025年修订版课标对接要点 本作业以《普通高中数学课程标准(2017年版2025年修订)》[footnoteRef:2](以下简称“2025版新课标”)为唯一依据。与2020修订版课标相比，2025版新课标进一步强化育人导向与时代特征：课程性质部分增加了对数字化时代与人工智能技术发展的论述；课程理念部分新增“充分利用数字化赋能数学教学”，并将学习评价明确为“素养导向、重视过程、方式多样的评价体系”，强调“重视教、学、评的有效融合”；教学建议部分明确提出“丰富作业的形式，提高作业的质量，提升学生完成作业的自主性、有效性”。 [2: 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2025年修订）[S]. 北京: 人民教育出版社, 2025.] (一)课程性质与课程理念的新导向 1.人工智能与数字化时代背景。2025年修订版课标在课程性质中指出：“随着现代科学技术特别是人工智能技术的迅猛发展，人们获取数据和处理数据的能力都得到极大提升……数学的研究领域与应用领域得到极大拓展。数学直接为社会创造价值，推动社会生产力的发展。”这要求作业设计要关注到数学的应用价值与表达价值，引导学生体会“数学是表达和交流的语言”。 2.数字化赋能。课程理念要求“充分利用数字化赋能数学教学，助力提高教学质量和教学效率”；实施建议进一步要求“科学、合理地使用人工智能技术赋能数学教学改革”。本作业据此在每课时增设实践性、数字化微任务(见第七部分)。 3.过程评价与教学评融合。课程理念要求“制定科学合理的学业质量标准，开发有效的评价工具，建立素养导向、重视过程、方式多样的评价体系”、“重视教、学、评的有效融合”。本作业将评价方案(第九部分)与作业目标、作业内容一体设计，落实“教—学—评”一致性。 4. “四基”“四能”与“三会”。2025年修订版课标继续强调帮助学生掌握“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)，发展“四能”(发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力)，引导学生“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”。本作业以集合语言的学习为切入点，重点落实“用数学的语言表达世界”。 (二)本章内容要求 2025年修订版课标将“集合”列于必修课程主题一“预备知识”，指出：“集合是刻画一类事物的语言和工具。本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。”具体内容要求为： (1)集合的概念与表示：①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；②针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；③在具体情境中，了解全集与空集的含义。 (2)集合的基本关系：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 (3)集合的基本运算：①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；③能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。 (三)学业要求 2025年修订版课标对本主题提出的学业要求是：“能够在现实情境或数学情境中，概括出数学对象的一般特征，并用集合语言予以表达。初步学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达数学研究对象，并能进行转换。理解集合的基本关系与基本运算。”并明确本主题“重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养”。上述要求直接决定了本作业的目标定位、题型选择与素养落点。 (四)教学提示要点 与本作业相关的教学提示包括：创设适洽的教学情境，以义务教育阶段积累的知识为载体，引导学生用集合语言梳理、表达相应数学内容；引导学生理解属于关系可以定义元素与集合之间的关系，了解元素a与由元素a组成的集合{a}的差异；可以针对学生对知识掌握的实际情况布置不同的任务，采用自主学习与合作学习相结合的方式组织教学活动。本作业的情境选择、实践性作业与分层设计均据此展开。 (五)学业质量标准定位 2025年修订版课标规定，数学学业质量标准从“情境与问题解决、知识与体系构建、思维与交流表达、态度与价值判断”四个方面刻画学生的学业成就表现，分三个水平呈现；其中“学业质量水平一是高中毕业应当达到的要求，也是数学学业水平考试命题的依据”。本作业以学业质量水平一为主线(必做题全体达标)，选做探究题适度触及水平二，服务学有余力学生的发展需求。 三、设计背景与意图 (一)课标与教材分析 课标要求：《普通高中数学课程标准(2017年版2025年修订)》将集合定位为高中数学的预备知识，要求学生通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；在具体情境中了解全集与空集的含义；理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；理解并集、交集、补集的含义并能求简单集合的相应运算结果；能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算。本作业对应的核心素养是数学抽象(从具体实例中抽象出集合概念)、逻辑推理(空集讨论、参数范围推导、等价性论证)、数学运算(交、并、补运算及容斥计数)，并借助Venn图、数轴发展直观想象，学业质量达到水平一的要求。 教材地位：本章是高中数学的起始章，集合语言是后续函数、不等式、立体几何等内容的表达基础。2025年修订版课标在“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”中明确要求“用集合表示一元二次不等式的解集”，在函数概念教学中强调“用集合语言和对应关系刻画函数”。用集合语言准确、简洁地刻画数学对象，是学生完成初高中衔接、形成符号化表达习惯的关键一步。 教学重难点：重点是集合的表示方法(列举法、描述法)、集合间关系(子集、真子集、相等)与交、并、补运算；难点是空集在含参问题中的“陷阱”作用、描述法中代表元素的理解、Venn图在计数问题中的应用，以及元素a与集合{a}的差异。 (二)学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生在初中接触过数的分类、不等式解集等初步集合思想，会用数轴表示数的范围，具备基本的分类讨论意识。 现有困惑 易混淆“”与“”的使用对象；忽略集合元素的互异性导致检验漏步；含参问题中遗漏空集情形；对描述法中代表元素x、y以及(x，y)的差异理解不透。 差异分析 约六成学生能完成基础识记与简单运算，但含参分类讨论能力薄弱；约两成学生学有余力，需要新定义、开放性探究题提供发展空间。 学习方式特征 高一新生处于初高中衔接期，抽象思维正在发展，偏好直观、可视化的学习方式，对数字化工具接受度高，适合布置图表类、实践类作业任务，并通过“试验—猜想—验证”的探究路径积累基本活动经验。 (三)设计意图 本作业以2025年修订版课标学业质量水平一为基准，按“基础过关—能力提升—素养拓展”三层设计，并增设实践性作业，整体呼应课标“丰富作业的形式，提高作业的质量”的要求： 1.基础题：取材教材核心题型并予以改编，覆盖课标内容要求的全部要点，保障全体学生巩固“四基”； 2.原创情境题：融入广西本土素材(壮族三月三、青秀山研学等)，在现实情境中落实数学抽象与数学建模素养，体现“会用数学的眼光观察世界”； 3.选做探究题：每课时一道(新定义运算、周期元素探究、等价性论证等)，服务分层教学与拔尖培养，对接学业质量水平二； 4.实践性作业：每课时一项(梳理单、生活调查、数字化验证)，落实课标“以义务教育阶段学过的数学内容为载体”“充分利用数字化赋能数学教学”的要求； 5.控量提质：每课时书面必做题控制在15分钟左右，落实“双减”控量提质要求，把节省的时间留给反思与实践活动。 四、作业目标 依据2025年修订版课标的内容要求、学业要求与学业质量标准，本作业设置四个维度的目标，并标注与核心素养、学业质量四方面的对应关系，作为作业评价(第九部分)的依据。 目标维度 编号 具体目标 核心素养与学业质量维度 评价证据 知识理解 A 理解集合的含义与元素的确定性、互异性、无序性，会用列举法、描述法表示常见集合，能辨别“”与“”的使用对象，理解元素a与集合{a}的差异 数学抽象； 知识与体系构建 基础题正确率、概念复述 能力运用 B 运用子集、交、并、补的定义求解含参问题，会用数轴与Venn图辅助运算与计数，能在三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)之间进行转换 数学运算、直观想象； 情境与问题解决 过程记录、 方法选用 思维发展 C 在含参问题中进行分类讨论(尤其空集情形)，对新定义运算进行类比、推理与概括，能对集合相等作双向论证 逻辑推理； 思维与交流表达 论证思路、 讨论完备性 情感态度 D 在本土文化情境中体验数学的应用价值，养成检验反思(如互异性检验)的学习习惯，愿意参与实践性与合作性作业 数学建模、科学态度； 态度与价值判断 反思语、 解题检验痕迹、实践成果 五、单元知识结构与作业整体蓝图 (一)单元知识结构 按照2025年修订版课标“重视数学知识的体系构建”的建议，本作业立足单元整体设计：第一章《集合与常用逻辑用语》同属必修主题一“预备知识”，其中1.1—1.3“集合”是本作业的覆盖范围，其结构如下图所示。 图1 必修第一册第一章单元知识结构图 (二)作业整体蓝图 课时 教材内容 核心内容 课标条目对接 必做 选做/实践 时长 素养重点 课时一 1.1 集合的概念 集合的含义、元素特性、列举法与描述法、全集与空集 内容要求(1)①②③ 5题 1题＋1项实践 20分钟 数学抽象 课时二 1.2 集合间的基本关系 子集、真子集、相等、空集的作用、含参讨论 内容要求(2)、(1)③ 5题 1题＋1项实践 20分钟 逻辑推理 课时三 1.3 集合的基本运算 交集、并集、补集、Venn图、容斥计数、区间运算 内容要求(3)①②③ 5题 1题＋1项实践 20分钟 数学运算 直观想象 注：全套作业共必做题15题、选做探究题3题、实践性作业3项。每课时按“基础过关3题—能力提升2题—素养拓展1题(选做)”配置，难度比例约为5∶3∶2；三课时依次侧重数学抽象、逻辑推理、数学运算，综合评估后可大致完整覆盖2025年修订版课标对本主题“重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养”的学业要求。 六、作业内容与目标对应表(双向细目表) 题号 题型·题源 题目概要 目标 难度 设计意图 (素养指向) 参考答案·评价要点 1-1 选择·原创 集合的确定性判断(本土情境) A 易 从生活对象中抽象出集合的确定性标准 选C；能说出“确定性”判据 1-2 填空·原创 列举法表示有限集 A 易 描述法向列举法转化 M={1,2,3,4} 1-3 填空·改编 与⊆辨析 A 易 厘清元素与集合、集合与集合两种关系 ①②⑤正确 1-4 解答·改编 含参元素与互异性检验 BC 中 训练“求解—回代检验”完整闭环 (a=−1舍) 1-5 解答·原创 描述法表示区间并判断元素归属 AB 中 衔接不等式与集合语言 ；4、、5.5T 1-6 探究·原创·选做 奇数集两种描述法等价性 C 难 发展逻辑推理与概括能力 P=Q，需双向论证 2-1 选择·原创 子集、真子集、空集关系判断 A 易 强化关系符号的规范使用 正确的4个，选C 2-2 填空·改编 子集与真子集个数 AB 易 由元素个数归纳子集计数规律 子集4个，真子集3个 2-3 填空·原创 数轴辅助求参数范围 B 中 渗透数形结合 a<−2 2-4 解答·改编 空集情形下的参数讨论 BC 中 突破“遗漏空集”高频失分点 a=0或1或 2-5 解答·原创 有限制条件的子集枚举 BC 中 在约束下有序枚举，不重不漏 共3个 2-6 探究·改编·选做 周期元素集合探究 C 难 经历“试验—猜想—验证”过程 至少还含−1、 3-1 填空·原创 交、并、补基本运算 AB 易 巩固运算定义与符号 A∩B={3}；A∪B={1,2,3,4,5}；； 3-2 填空·改编 区间上的交并运算 AB 易 数轴法处理连续集合 ； 3-3 解答·原创 容斥原理解决计数问题(民族节庆情境) BD 中 Venn图建模，体验数学应用价值 至少参加一项38人；都不参加12人 3-4 解答·改编 由运算结果反推参数 BC 中 A∪B=A ⟺ B⊆A的转化思想 a=2或3 3-5 解答·原创 补集思想与参数范围 BC 中 正难则反，端点取舍辨析 (1) a≤1；(2) a>4 3-6 探究·原创·选做 新定义“对称差”运算 C 难 类比迁移，阅读理解新定义 ; 七、试题详情 注：每课时作业分“基础过关(必做)—能力提升(必做)—素养拓展(选做)”三层，另设一项实践性作业(课后完成)；【原创】为本设计独立命制，【改编】为以教材习题或经典题型为原型重新命制。每课时的“课标对接”框标明本课时对应的2025年修订版课标条目。 课时作业一　集合的概念(建议20分钟) 【课标对接】2025年修订版课标必修主题一“集合”之(1)集合的概念与表示：①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；②能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；③在具体情境中，了解全集与空集的含义。 【完成时长】必做约15分钟，选做约5分钟　【对应课时】1.1 集合的概念 (一)基础过关(必做) 1．【原创】下列各组对象中，能构成集合的是(　　) A．桂林市风景优美的旅游景点　　B．广西特产中所有“好吃的水果” C．方程的所有实数解　　D．高一(1)班个子较高的同学 2．【原创】用列举法表示集合M={x∈N|x是12的正因数,且x<6}，M＝__________． 3．【改编】给出下列关系：①；②；③；④；⑤．其中正确的序号是__________． (二)能力提升(必做) 4．【改编】已知集合A={a−2，2a²+5a，12}，且 −3∈A，求实数 a 的值． 5．【原创】某校高一研学小组在南宁青秀山测量了几处观景点的海拔(单位：米/m)。设集合 T 表示“所有大于 3 且不大于 10 的实数”。(1)用描述法表示集合 T；(2)判断 4、、5.5 是否属于 T，并说明理由． (三)素养拓展(选做) 6．【原创·选做·探究】设集合， ．试判断 P 与 Q 是否相等，并说明理由． (四)实践性作业(课后约10分钟) 【集合语言梳理单】请用列举法或描述法重新表示初中所学的各类数(自然数、整数、有理数、无理数、实数)，并用树状图或Venn图表示它们之间的包含关系。独立完成，下节课与同桌互查三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)的转换是否准确。 课时作业二　集合间的基本关系(建议20分钟) 【课标对接】　2025年修订版课标必修主题一“集合”之(2)集合的基本关系：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；并结合(1)③落实空集在具体情境中的作用。教学提示强调：理解属于关系可以定义集合的基本关系，了解元素a与集合{a}的差异。 【完成时长】必做约15分钟，选做约5分钟　【对应课时】1.2 集合间的基本关系 (一)基础过关(必做) 1．【原创】下列关系中，正确的个数是(　　) ①；②；③；④⫋{0}；⑤ A．2　　B．3　　C．4　　D．5 2．【改编】集合，则 A 的子集个数为__________，真子集个数为__________． 3．【原创】已知集合 M={x｜−2≤x≤4}，N={x｜x>a}．若 M⊆N，则实数 a 的取值范围是__________． (二)能力提升(必做) 4．【改编】已知集合 A={x｜ax−1=0}，B={1，2}．若A⊆B，求实数a的所有可能取值． 5．【原创】已知 {1，2}⊆M⫋{1，2，3，4}，则满足条件的集合 M 共有_______个，请把它们全部写出来． (三)素养拓展(选做) 6．【改编·选做·探究】设非空数集 S 满足：若 x∈S 且 x≠1，则．已知 2∈S，试问 S 中至少还含有哪几个元素？请说明理由． (四)实践性作业(课后约10分钟) 【寻找身边的集合】从家庭生活或校园生活中找出3个可以用集合语言描述的分类实例(如“我家书架上的科普读物”“我们班参加社团的同学”)，写出每个集合的3个元素与分类标准，并指出其中一个真子集。小组内交流，互评分类标准是否满足“确定性”。 课时作业三　集合的基本运算(建议20分钟) 【课标对接】　2025年修订版课标必修主题一“集合”之(3)集合的基本运算：①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；③能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。 【完成时长】必做约15分钟，选做约5分钟　【对应课时】1.3 集合的基本运算 (一)基础过关(必做) 1．【原创】设全集 U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，B={2,3,4}．则 A∩B=__________；A∪B=__________；=__________；=__________． 2．【改编】设集合 A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B= ，A∩B= ． 3．【原创】广西“壮族三月三”节庆期间，高一某班共 50 名学生，报名参加歌圩表演的有 28 人，参加民族体育比赛的有 22 人，两项都参加的有 12 人． (1)求至少参加一项活动的人数；(2)求两项活动都不参加的人数．(可借助Venn图求解) (二)能力提升(必做) 4．【改编】已知集合．若 A∪B=A，求实数 a 的值． 5．【原创】设全集 U=R，A={x|1≤x≤4}，B={x|x<a}．(1)若 A∩B=，求 a 的取值范围；(2)若 A∪B=B，求 a 的取值范围． (三)素养拓展(选做) 6．【原创·选做·拓展】对集合 A、B，定义运算 (称为 A 与 B 的“对称差”)．(1)设 A={1,2,4}，B={2,3,5}，求 ；(2)探究：若，则集合 A 与 B 之间有什么关系？证明你的结论． (四)实践性作业(课后约10分钟) 【数字化验证任务】呼应课标“充分利用数字化赋能数学教学”的要求：借助GeoGebra或在线数轴工具，绘制区间 [1,4] 与 (−∞,a)，拖动参数 a，观察两个集合交集、并集的变化，截图记录 A∩B= 与 A⊆B 成立时 a 的临界位置，验证本课时第5题的结论，并用一句话说明端点取舍的理由。(无条件使用设备的同学可用纸笔数轴完成) 八、答案与解析 课时作业一　集合的概念 1．【答案】C 【解析】集合中的元素必须满足确定性。“风景优美”“好吃”“个子较高”均无客观确定的标准，不能构成集合；方程 x²−4=0 的实数解为 ±2，是确定的对象，能构成集合。故选 C。 2．【答案】M={1，2，3，4} 【解析】12 的正因数为 1，2，3，4，6，12，其中小于 6 的是 1，2，3，4，且它们都是自然数，故 M={1,2,3,4}。 3．【答案】①②⑤ 【解析】是实数，①正确；−3 不是自然数，②正确；空集不含任何元素，，③错误；“∈”用于元素与集合之间，{0} 是 {0,1} 的子集而非元素，应为 {0}⊆{0,1}，④错误；π 是无理数，πQ，⑤正确。本题直接对应课标教学提示中“了解元素a与由元素a组成的集合{a}的差异”的要求。 4．【答案】 【解析】由 −3∈A，分两类：若 a−2=−3，则 a=−1，此时 2a²+5a=2−5=−3，与集合元素的互异性矛盾，舍去；若 2a²+5a=−3，即 2a²+5a+3=0，解得 a=−1(同上，舍去)或 。当时，，2a²+5a=−3，A={，−3，12}，符合题意。综上 。【易错警示】求出参数后必须回代检验互异性。【评分要点】分类讨论2分，解出给1分，回代检验并舍去a=−1给1分，共4分。 5．【答案】(1)T={x｜3<x≤10}；(2)4∈T，∈T，5.5∈T 【解析】(1)用 x 作代表元素，限制条件为 3<x≤10。(2)4>3 且 4≤10，4∈T；由 16<17<25 得 4<<5，故 ∈T；5.5 满足 3<5.5≤10，5.5∈T。判断元素是否属于集合，只需验证其是否满足描述法中的限制条件。【评分要点】描述法书写规范1分，三个判断各1分并附理由，共4分。 6．【答案】P=Q 【解析】一方面，若 x∈Q，则 x=4k+1=2(2k)+1 或 x=4k−1=2(2k−1)+1，均为奇数，故 Q⊆P；另一方面，任一奇数 x=2k+1：当 k 为偶数，设 k=2n，则 x=4n+1∈Q；当 k 为奇数，设 k=2n−1，则 x=4n−1∈Q，故 P⊆Q。所以 P=Q。【素养指向】两个描述形式不同的集合可能表示同一集合，判断集合相等需双向证明包含关系，体现逻辑推理素养水平二的要求。 课时作业二　集合间的基本关系 1．【答案】C(①②④⑤正确) 【解析】0 是 {0} 的元素，①正确；空集是任何集合的子集，②正确；{0} 与 {0,1} 之间是包含关系而非属于关系，③错误；空集是任何非空集合的真子集，④正确；集合元素无序，{0,1}={1,0}，任何集合是自身的子集，⑤正确。共 4 个正确，选 C。 2．【答案】子集 4 个，真子集 3 个 【解析】x²−5x+6=0 解得 x=2 或 x=3，A={2,3} 含 2 个元素，子集个数为 2²=4，即、{2}、{3}、{2,3}；去掉自身后，真子集个数为 3 个。可顺势归纳：含 n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集、2ⁿ−1 个真子集。 3．【答案】a<−2 【解析】M⊆N 即区间 [−2,4] 内的所有数都大于 a。在数轴上，点 a 必须严格位于 −2 的左侧(若 a=−2，则 −2∈M 但 −2N，不满足)，故 a<−2。【易错警示】端点能否取等号，要代回验证。 4．【答案】a=0 或 a=1 或 a= 【解析】方程 ax−1=0：当 a=0 时无解，A=，⊆B 恒成立；当 a≠0 时 A={}，由 A⊆B 得 =1 或 =2，即 a=1 或 a=。综上 a=0、1 或 。【易错警示】含参方程要先讨论系数为零、集合为空集的情形。【评分要点】空集情形2分，非空情形两个值各1分，共4分。 5．【答案】共 3 个：M={1,2}、{1,2,3}、{1,2,4} 【解析】由 {1,2}⊆M 知 M 必含 1、2；由 M⫋{1,2,3,4} 知 M 是 {1,2,3,4} 的真子集，即 M 不能同时含 3 和 4。按“再含几个元素”分类：只含 1、2；再含 3；再含 4，共 3 个。【方法】有限制条件的子集枚举要按所含元素个数有序分类，做到不重不漏。【评分要点】全部写出3个且不多写、不漏写给4分，漏1个扣1分，多写不得分。 6．【答案】至少还含有 −1 和 【解析】由2∈S得；由−1∈S得；再由得，回到已知元素。故 S 中至少还含有 −1 和，即满足条件的集合至少为 {2，−1，}。【素养指向】通过递推试验发现元素呈现周期循环，体现“试验—猜想—验证”的探究路径。 课时作业三　集合的基本运算 1．【答案】A∩B={3}；A∪B={1,2,3,4,5}；={2,4,6}；={2，4} 【解析】A 与 B 的公共元素只有 3；两集合全部元素合并去重得 {1,2,3,4,5}；U 中不属于 A 的元素为 2,4,6；再与 B 取公共元素得 {2,4}。注意补集运算必须相对于全集 U。 2．【答案】A∪B={x｜1≤x<4}；A∩B={x｜2<x≤3} 【解析】借助数轴：A 覆盖 [1,3]，B 覆盖 (2,4)，合并后为 [1,4)，重叠部分为 (2,3]。注意端点 4 处为开区间，端点 1、3 处为闭区间。借助数轴处理区间运算，是图形语言与符号语言转换的直接训练。 3．【答案】(1)38 人；(2)12 人 【解析】设参加歌圩表演的学生组成集合 A，参加民族体育比赛的组成集合 B，则 |A|=28，|B|=22，|A∩B|=12。(1)由容斥原理 |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|=28+22−12=38 人；(2)两项都不参加的人数为 50−|A∪B|=50−38=12 人(各区域人数分布见图2：只参加歌圩16人、只参加民族体育10人、两项都参加12人、都不参加12人)。【素养指向】用Venn图把实际计数问题转化为集合运算，是数学建模的初步体验。【评分要点】正确设集合并列式2分，两问结果各1分，共4分。 图2　“壮族三月三”活动报名情况Venn图(区域人数为参考答案示意，供讲评使用) 4．【答案】a=2 或 a=3 【解析】A={x｜x²−3x+2=0}={1,2}。方程 x²−ax+a−1=0 可分解为 (x−1)(x−(a−1))=0，故 B 的元素为 1 和 a−1。A∪B=A ⟺ B⊆A，所以 a−1=1 或 a−1=2。当 a−1=1 时 a=2，B={1}⊆A；当 a−1=2 时 a=3，B={1，2}=A。综上 a=2 或 a=3。【方法】“A∪B=A ⟺ B⊆A”“A∩B=A ⟺ A⊆B”是运算结果向包含关系转化的关键。【评分要点】化简A、B各1分，等价转化1分，两个a值各0.5分并检验，共4分。 5．【答案】(1)a≤1；(2)a>4 【解析】(1)A∩B=要求区间 [1,4] 与 (−∞,a) 无公共部分，在数轴上需 a≤1(a=1 时 x<1 与 x≥1 无交集，成立)。(2)A∪B=B ⟺ A⊆B，即 [1,4] 内的数都满足 x<a，需 a>4(a=4 时 4∈A 但 4∉B，不成立)。【易错警示】两问端点取舍不同，都要代回验证端点值。本题可与实践性作业的数字化验证对照讲评。【评分要点】每问2分(结论1分＋端点验证1分)，共4分。 6．【答案】(1)；(2) 【解析】(1)A∪B={1,2,3,4,5}，A∩B={2}，属于并集但不属于交集的元素为 1,3,4,5，故 ={1,3,4,5}。(2)若 A=B，则 A∪B=A∩B=A，对称差为空集；反之，若 ，则不存在只属于 A、B 之一的元素，即 A⊆B 且 B⊆A，故 A=B。【素养指向】新定义题的关键是“翻译”：把新符号还原为已学的并、交、补运算，体现逻辑推理素养水平二的要求。 九、作业评价方案 (一)评价原则 依据2025年修订版课标评价建议，本作业评价遵循以下原则：①关注数学学科核心素养的达成，聚焦核心概念与通性通法，通过开放题、探究题考查思维过程；②重视过程评价，课内外作业作为形成性评价的主要方式，跟踪学生知识技能掌握与思维发展；③关注学生的学习态度，把主动学习、认真思考、严谨求实等表现纳入评价目标；④在制订评分方案时遵循满意原则和加分原则——达到基本要求视为满意，在探究题、实践性作业中有所拓展或创新的，根据实际情况加分，鼓励学生大胆发挥。 (二)评价量规 评价维度 A(优秀) B(良好) C(待改进) 权重 知识与体系构建 基础题全对，概念精确，符号使用规范，能说出集合各部分知识的联系 少量细节错误，能经提示改正 较多基础错误，概念混淆 20% 情境与问题解决 方法恰当，过程清晰，理由充分，能自觉检验(如互异性、端点回代) 方法基本正确，检验环节偶有缺失 方法不当或缺失，不能完成含参问题 30% 思维与交流表达 分类讨论完备，论证充分(如双向论证集合相等)，探究题有独到见解，表达有条理 表达清楚但欠缺深度，讨论略有遗漏 思路混乱，缺乏依据 30% 态度与价值判断 主动投入，按时完成并主动订正，积极参与实践性作业与合作交流，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务，基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% (三)多元评价主体与方式 2025年修订版课标要求“教学评价的主体应多元化，评价方式应多样化”，综合运用教师评价、学生自我评价、学生相互评价、家长评价等方式。本作业的评价安排如下： 评价环节 评价主体 评价方式 主要用途 书面必做题 教师评价＋学生自评 全批全改，等级＋评语；学生对照答案用红笔订正 了解基础知识与基本技能的掌握情况，诊断典型错误 选做探究题 教师评价＋小组互评 课堂展示交流，按量规打分；执行满意原则与加分原则 评价思维深度与交流表达，激励拔尖创新 实践性作业 学生自评＋同伴互评 成果档案袋收集(梳理单、调查记录、截图) 关注学习过程与态度，积累基本活动经验 单元回顾 学生自我评价 填写错题归因表与自评反思单 引导学生认识自我、增强自信，改进学习方法 (四)学生自评反思单(每课时作业完成后填写) 自评项目 能做到 基本做到 尚需努力 1. 我能区分“”(元素与集合)与“⊆”(集合与集合)的使用对象 □ □ □ 2. 解出含参问题的答案后，我回代检验了互异性、端点等限制条件 □ □ □ 3. 遇到含参问题时，我主动考虑了空集情形 □ □ □ 4. 我能借助数轴或Venn图把问题直观化，并完成三种语言的转换 □ □ □ 5. 我按时完成作业，对错题进行了归因并主动订正 □ □ □ 使用建议：学生自评结果不计入成绩，仅作为形成性评价信息；教师据此识别共性问题(如普遍忽略空集)，在下次课课前用3—5分钟集中反馈，实现“以评促学、以评促教”。 (五)反馈与改进机制 建立本章典型错误档案，重点跟踪四类高频错误：①∈与⊆混用；②忽略互异性导致未舍增根；③含参问题遗漏空集；④区间端点开闭判断失误。教师将形成性评价结果(作业正确率、自评单、错题归因)用于调整后续教学；对连续两次处于“待改进”等级的学生，给予重点关注并安排面批面改，落实课标“对于特殊的学生给予重点关注”的要求。 十、作业实施与数字化支持建议 (一)分层实施建议 必做题面向全体，当天完成、当天批改；选做探究题鼓励学有余力的学生完成，可在班级“数学角”张贴优秀解答；实践性作业允许2—3人合作，成果计入过程性评价档案。对基础薄弱学生，可先将选做题替换为教材对应练习，待基础过关后再行挑战，体现“针对学生的实际布置不同的任务”。 (二)时长与控量 每课时书面作业不超过20分钟(必做15分钟＋选做5分钟)，实践性作业不超过10分钟且每周不超过3项，不挤占学生自主时间，落实“双减”控量提质要求。 (三)数字化支持 呼应2025年修订版课标“充分利用数字化赋能数学教学”“科学、合理地使用人工智能技术赋能数学教学改革”的建议： 1. 资源支持：指导学生利用国家中小学智慧教育平台等正规资源进行课前预习与课后补学； 2. 2. 工具支持：借助GeoGebra、数轴工具等动态演示区间运算与Venn图，为解决问题提供直观； 3. 3. 评价支持：利用在线作业平台即时统计各题正确率，生成班级错题分布，提高讲评针对性； 4. 4. 边界意识：人工智能工具仅用于教师的错题归因分析与资源推荐，不替代学生的独立思考与书面表达；探究题、实践性作业须由学生本人完成，坚守诚信底线。 十一、设计特色小结 1. 课标对接精准：每课时标注2025年修订版课标条目，目标、内容、评价一体设计，落实“教—学—评”一致性； 2. 单元整体设计：以单元知识结构图统摄三课时作业，素养落点(数学抽象—逻辑推理—数学运算)逐课递进； 3. 分层控量提质：“基础过关—能力提升—素养拓展”三层＋实践性作业，必做15分钟控量，选做与探究服务拔尖培养； 4. 本土情境育人：壮族三月三、青秀山研学等广西素材入题，在真实情境中发展数学抽象与数学建模素养； 5. 评价方式多元：量规评价、自评反思单、错题归因、档案袋并举，践行满意原则与加分原则，落实素养导向的过程评价。 $