1.1集合的概念教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1 集合的概念（教学设计） 课题 1.1 集合的概念 单元 第一章 集合与常用逻辑用语（1.1 集合的概念 第1课时） 学科 高中数学（人教A版） 年级 高一 学习目标 1、通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，理解集合元素的确定性、互异性、无序性； 2、能选择自然语言、列举法、描述法表示集合，感受集合语言的意义和作用，掌握常用数集及其专用记号； 3、经历从具体实例抽象出集合概念的过程，体会由具体到抽象、由特殊到一般的数学思想，发展数学抽象素养。 教材分析 本节课是人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》1.1《集合的概念》，是高中数学的起始课。 教材从小学和初中已经接触过的集合实例（自然数的集合、圆）出发，通过6个具体例子引导学生归纳集合与元素的含义，再介绍元素与集合的属于关系、常用数集记号，最后介绍列举法和描述法两种表示方法。 教科书的编写路径是：实例感知→归纳集合与元素概念→认识集合元素的三个特性→学习属于关系与常用数集→学习列举法→学习描述法。 集合语言是现代数学的基本语言，本章是高中数学的基础。本节课作为高中数学第一课，既要完成集合概念的建构，又要让学生初步感受用集合语言刻画一类事物的方法，为后续学习函数定义域、值域等打下基础。 学情分析 学生在小学和初中已经接触过一些集合，如自然数的集合、同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（圆），对“集合”有朴素的直观认识，但尚未形成严格的数学概念。 本节学生面临的主要障碍： 1、对集合元素的“确定性”理解不深，容易把“较小的数”“高个子同学”等不确定对象当作集合； 2、对列举法与描述法的适用场景区分不清，尤其对描述法中代表元素 x 与其共同特征 P(x) 的关系理解不到位； 3、对常用数集 N、N*、Z、Q、R 的记号容易混淆，特别是 N 与 N* 的区别。 教学策略：通过丰富实例让学生充分感知，通过“思考”栏目引导学生自主归纳概念，通过辨析题和例题强化三种表示方法的灵活选用。 教学重点 集合的含义与元素的三个特性；元素与集合的属于关系；列举法与描述法。 教学难点 集合元素确定性与互异性的理解；描述法中代表元素与共同特征 P(x) 的把握。 教学准备 多媒体课件（PPT）、Venn图动画演示。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【情境引入 提出问题】 教师：在小学和初中，我们已经接触过一些集合。例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆）等。 教师指出：为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识。本章章引言指出：明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础。为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具。 提问1：在初中数学中，你还能举出哪些“把一些对象放在一起”的例子？ 引出课题：本节课从集合的含义开始研究。 1、回忆小学、初中见过的集合实例，举例回答提问1； 2、阅读章引言，明确本章学习任务：用集合语言刻画一类事物； 3、明确本节课学习目标，进入学习状态。 由学生已有的集合直观经验切入，联系章引言，让学生体会学习集合语言的必要性，自然引入课题。 新知 探究1 【活动一：集合与元素的概念】 教师呈现教材实例： （1）1~10之间的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形； （4）到直线 l 的距离等于定长 d 的所有点； （5）方程 x²−3x+2=0 的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 教师：例（1）中，我们把1~10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；例（2）中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合。 思考（教材第2页）：上面的例（3）到例（6）也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？ 教师给出定义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。 1、逐一分析6个例子，指出每个集合的元素是什么； 2、小组讨论“思考”栏目，归纳每个例子的元素； 3、在课本上标注元素、集合两个核心概念。 通过6个丰富实例让学生充分感知集合的含义，再由教师抽象出概念，体现由具体到抽象的认知规律；教材“思考”促使学生主动归纳。 【活动二：集合元素的三个特性】 教师追问：给定的集合，它的元素有什么特点？ 师生共同归纳： （1）确定性：给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了。例如，“1~10之间的所有偶数”构成一个集合，2,4,6,8,10是这个集合的元素，1,3,5,7,9…不是它的元素；“较小的数”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的。 （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。 （3）无序性：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的，与元素排列顺序无关。 教师说明：通常用大写拉丁字母 A,B,C,…表示集合，用小写拉丁字母 a,b,c,…表示集合中的元素。 提问2：“我们班个子高的同学”能构成集合吗？为什么？ 4、思考并归纳集合元素的三个特性； 5、口头回答提问2，从“确定性”角度说明理由； 6、记录集合、元素的字母表示法。 通过追问引导学生自主归纳三个特性，再用“个子高的同学”反例强化确定性的理解，突破难点。 新知 探究2 【活动三：元素与集合的关系】 教师：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（belong to）集合 A，记作 a∈A；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a∉A。 教师举例：若用 A 表示例（1）中“1~10之间的所有偶数”组成的集合，则有 4∈A，3∉A。 教师呈现教材“数学中一些常用的数集及其记法”表： 全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作 N； 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作 N* 或 N+； 全体整数组成的集合称为整数集，记作 Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 Q； 全体实数组成的集合称为实数集，记作 R。 提问3：0∈N 吗？0∈N* 吗？−3∈Z 吗？属于Q 吗？ 1、记录∈、∉符号及读法； 2、阅读常用数集表，标注 N 与 N* 的区别； 3、口头回答提问3，巩固常用数集记号。 用表格集中呈现常用数集记号，便于学生对照记忆；通过即时提问巩固符号使用。 新知 探究3 【活动四：列举法】 教师：从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？ 教师：“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；“方程 x²−3x+2=0 的所有实数根”组成的集合可以表示为{1,2}。 教师给出定义：像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法。 【例1（教材第3页）】用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程 x²=x 的所有实数根组成的集合。 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为 A，那么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}。 （2）设方程 x²=x 的所有实数根组成的集合为 B，那么 B={0,1}。 教师说明：由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法。 1、理解列举法的书写格式； 2、独立完成例1，对照教师板书订正； 3、体会列举法中元素不重复、不计顺序。 由具体实例引出列举法，例1规范书写格式，强调互异性与无序性。 【思考（教材第3页）】 （1）你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗？ （2）你能用列举法表示不等式 x−7<3 的解集吗？ 教师指出：x−7<3 的解是 x<10，满足 x<10 的实数有无数个，无法一一列举。由此引出描述法。 4、思考并回答两个问题，发现列举法对无限集无能为力，产生认知需求。 通过思考制造认知冲突，自然引出描述法。 新知 探究4 【活动五：描述法】 教师：我们可以利用解集中元素的共同特征，即 x 是实数，且 x<10，把解集表示为 {x∈R | x<10}。 教师：整数集 Z 可以分为奇数集和偶数集。对于每一个 x∈Z，如果它能表示为 x=2k+1(k∈Z) 的形式，那么它是奇数；反之亦然。所以奇数集可以表示为 {x∈Z | x=2k+1, k∈Z}。 教师给出定义：一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征 P(x) 的元素 x 所组成的集合表示为 {x∈A | P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法。 教师说明：有时也用冒号或分号代替竖线，写成 {x∈A:P(x)} 或 {x∈A;P(x)}。 【例2（教材第4页）】试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程 x²−2=0 的所有实数根组成的集合 A； （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合 B。 解：（1）A={x∈R | x²−2=0}={, −}； （2）B={x∈Z | 10<x<20}={11,12,13,14,15,16,17,18,19}。 教师强调：如果从上下文看 x∈R、x∈Z 是明确的，可省略不写。 1、理解描述法的结构：代表元素 | 共同特征； 2、独立完成例2，对比两种表示方法； 3、记录省略规则。 由无数个元素无法列举引出描述法，例2让学生对比两种方法，体会各自适用场景。 典例 精讲 【例题方法提炼】 教师引导归纳： 1、列举法适用于元素个数有限或有明显规律的无限集（如自然数集），书写时元素用逗号隔开； 2、描述法适用于元素个数较多或无限集，关键是找准代表元素及其共同特征； 3、选择表示方法时，能化简就化简，注意元素的互异性（同一集合中同一元素只写一次）； 4、常用数集记号必须熟记：N（含0）、N*或N+（不含0）、Z、Q、R。 教师补充易错点： ① “较小的数”“漂亮的人”等对象不具确定性，不能构成集合； ② {x∈R | x<10} 与 {y∈R | y<10} 表示同一个集合，代表字母可换； ③ 列举法中元素不重复、不遗漏、不计顺序。 1、对照例1、例2，归纳两种表示法的适用场景； 2、在错题本上记录“确定性判断”“代表元素识别”两类易错点； 3、默记常用数集记号。 通过方法提炼把零散知识系统化，易错点清单帮助学生自我监控。 课堂 练习 【教材第5页 练习】 1、判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）A，B 是平面 α 内的定点，在平面 α 内与 A，B 等距离的点； （2）高中学生中的游泳能手。 2、用“∈”或“∉”填空： 0___N；−3___N；0.5___Z；___Z；___Q；π___R。 3、用适当的方法表示下列集合： （1）由方程 x²−9=0 的所有实数根组成的集合； （2）一次函数 y=x+3 与 y=−2x+6 图象的交点组成的集合； （3）不等式 4x−5<3 的解集。 【答案】 1、（1）能（到A,B等距离的点在线段AB的垂直平分线上）；（2）不能（“游泳能手”标准不确定）。 2、∈；∉；∉；∉；∈；∈。 3、（1）{−3,3}；（2）{(1,4)}；（3）{x|x<2}。 1、独立完成练习，同桌互改； 2、第1题重点说明确定性的理由； 3、第3题体会三种表示方法的灵活选用。 当堂检测核心目标，第1题强化确定性，第3题对比两种表示法。 课堂 小结 教师引导回顾，构建知识框架： 一、集合与元素 · 元素：研究对象；集合：一些元素组成的总体。 · 三性：确定性、互异性、无序性。 二、元素与集合的关系 · 属于：a∈A；不属于：a∉A。 · 常用数集：N、N*(N+)、Z、Q、R。 三、集合的表示方法 · 列举法：{a,b,c}； · 描述法：{x∈A | P(x)}。 教师强调：集合语言是现代数学的基本语言，后续函数定义域、值域等都要用集合表示。 1、跟随教师口头梳理； 2、独立画思维导图； 3、自评：能否判断确定性、能否正确使用两种表示法。 形成结构化认知，为后续学习函数做铺垫。 作业 布置 1、教材第5—6页 习题1.1 复习巩固第1、2题； 2、教材第6页 习题1.1 综合运用第3、4题； 3、预习1.2《集合间的基本关系》。 记录作业，课后独立完成。 分层作业巩固基础，预习为下节课作准备。 板书 设计 1.1 集合的概念 一、集合与元素 元素：研究对象；集合：一些元素组成的总体。 三性：确定性、互异性、无序性。 二、元素与集合的关系：a∈A，a∉A 常用数集：N、N*(N+)、Z、Q、R 三、表示方法 列举法：{a,b,c}； 描述法：{x∈A | P(x)}。 学科网（北京）股份有限公司 $