2027年春季高考数学冲刺模拟卷01（全国通用）

2027年春季高考数学冲刺模拟卷 (满分100分，考试用时90分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2026·湖南·合格考）已知是全集，，是的两个子集，则图中阴影部分表示（     ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·合格考）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·合格考）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·湖南·合格考）将化为弧度是（     ）. A． B． C． D． 5．（2025·山东·学业水平考试）下列命题中为假命题的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南·合格考）函数的图象是（     ） A． B． C． D． 7．（2025·山东·学业水平考试）（    ） A． B． C． D． 8．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或 9．下列样本数据中，方差最大的一组是（    ） A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6 C．3，3，5，7，7 D．2，2，5，8，8 10．（2026·湖南·合格考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·湖南·合格考）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（     ） A． B． C． D． 12．已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分. 13．（2026·湖南·合格考）已知向量，．若，则实数x的值为________． 14．某志愿服务小组有两名男生和两名女生，从中任选一人参加志愿服务，则女生被选中的概率是_________. 15．（2026·湖南·合格考）将一个棱长为的正方体铁块切削成一个球体零件，则可能制成的最大零件的体积为________． 16．（2025·山东·学业水平考试）如图，为山脚两侧共线的三点，在同一铅垂平面内，计划沿直线开通穿山隧道.若在山顶处测得三点的俯角分别为，，若，，则隧道的长度是_________. 三、解答题：本大题共5小题，第17-20题每小题10分，第21题12分，共52分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．已知向量，． (1)求； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 18．（2025·湖北·合格考）记的内角的对边分别为．已知． (1)求； (2)若，再从条件①和条件②中选择一个作为已知，求的周长． ①的面积为；②． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 19．（2025·河南·合格考）为全面落实“健康第一”教育理念，引导学生养成良好锻炼习惯和健康生活方式，某所大学依据《国家学生体质健康标准》对录取的新生进行体质健康监测，依据各单项评分和指标权重得出每名学生的体质健康综合指标评分．现从这所大学新生中随机抽取200名学生，将他们的综合指标评分数据分成5组：，，画出了如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)估计这所大学新生体质健康综合指标评分的众数和平均数． 20．（2026·湖南·合格考）如图，在四棱锥中，，，和都垂直于平面． (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积． 21．（2025·山东·学业水平考试）已知函数． (1)若是偶函数，求实数的值； (2)若函数，，，使得，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027年春季高考数学冲刺模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共36分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题：本大题共5小题，第17-20题每小题10分，第21题12分，共52分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年春季高考数学冲刺模拟卷 (参考答案） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C C C C B A D C D D 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分. 13．8 14．/ 15． 16．/ 三、解答题：本大题共5小题，第17-20题每小题10分，第21题12分，共52分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．【解析】（1）因为，，所以． 所以． （2）因为， ， ， 所以． 18．【解析】（1）由余弦定理可得，由题可知， 则，是的内角，，故. （2）选择条件①： 三角形面积公式为：，已知，，， 代入得：. 由余弦定理， 则，，， 则周长. 选择条件②： 已知，，， 根据正弦定理， 由余弦定理， 解得或，，，则周长. 19．【解析】（1）根据频率分布直方图的性质，所有矩形的面积之和为1，已知组距为10， 所以， 即，解得. （2）其中最高矩形对应区间[70,80)，该区间的中点为，因此众数为. 平均数：， 所以平均数为. 20．【解析】(1)如图所示； 平面，平面，， 又平面，平面，平面. （2）如图所示； 平面，平面，， 又，平面,平面. 平面，平面，， 四边形为直角梯形， ， . 21．【解析】（1）因为是偶函数，所以． 已知，则． 由，可得，化简得． 因为上式对于任意都成立，所以． （2）已知，，则． 根据正弦函数的性质，可得， 故． 函数的图象开口向下，对称轴为． ①当，即时，在上单调递减， 则，， 所以的值域为； ②当，即时，在上单调递增，则，， 所以的值域为； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则，，． 比较和的大小：． 当时，，， 所以的值域为； 当时，，， 所以的值域为 ． 因为，，使得， 所以的值域是的值域的子集． （1）当时，，解得； （2）当时，，此时无解； （3）当时，，此时无解； （4）当时，，此时无解． 综上，实数的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年春季高考数学冲刺模拟卷 (满分100分，考试用时90分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2026·湖南·合格考）已知是全集，，是的两个子集，则图中阴影部分表示（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由韦恩图可知，阴影部分区域内的元素既属于集合，又属于集合. 根据集合交集的定义，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为与的交集，记作 . 所以图中阴影部分表示的集合为 . 2．（2025·湖北·合格考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，则共轭复数 . 3．（2025·湖北·合格考）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】①充分性：若，则，所以充分性成立； ②必要性：若，由正弦函数的性质可得，必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 4．（2026·湖南·合格考）将化为弧度是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 5．（2025·山东·学业水平考试）下列命题中为假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：显然时，，故该命题为真命题， B：对任意，都有，则恒成立，故该命题为真命题， C：由的判别式，显然方程在上无解，故该命题为假命题， D：由，则，故该命题为真命题. 6．（2026·湖南·合格考）函数的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由绝对值的定义可知， ， 当 时，函数 的图象是一条射线，过点 和 ，且单调递增； 当时，函数的图象是一条射线，过点 且单调递减， 综上所述，函数图象的折点（最低点）坐标为，且过点 ， 观察各选项，只有C选项符合上述特征. 7．（2025·山东·学业水平考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 8．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】函数有意义， 则需满足， 解得， 故函数的定义域为． 9．下列样本数据中，方差最大的一组是（    ） A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6 C．3，3，5，7，7 D．2，2，5，8，8 【答案】D 【详解】A：均值为，则方差为， B：均值为，则方差为， C：均值为，则方差为， D：均值为，则方差为， 所以方差最大的一组是D. 10．（2026·湖南·合格考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上单调递增，所以，所以， 又，所以，即. 11．（2026·湖南·合格考）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形将异面直线平移至，从而在中求解线线角. 【详解】取的中点，连接，. 因为为的中点，为的中点， 所以在中，为中位线， 所以且. 又因为在直三棱柱中，且， 且为的中点，即， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以. 所以异面直线与所成的角等于直线与所成的角，即（或其补角）. 因为，所以为等边三角形， 又为的中点， 所以平分， 所以. 故异面直线与所成角的大小为. 12．已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式“1”的妙用求得，进而可得，计算即可求解. 【详解】因为恒成立，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 因为函数在定义域内单调递增， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分. 13．（2026·湖南·合格考）已知向量，．若，则实数x的值为________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以. 14．某志愿服务小组有两名男生和两名女生，从中任选一人参加志愿服务，则女生被选中的概率是_________. 【答案】/ 【详解】该试验属于古典概型，所有等可能的基本事件总数为4，对应4名不同的成员. 记“女生被选中”为事件，事件包含的基本事件数为2，对应2名女生. 根据古典概型概率公式 15．（2026·湖南·合格考）将一个棱长为的正方体铁块切削成一个球体零件，则可能制成的最大零件的体积为________． 【答案】 【分析】根据正方体的内切球的性质，结合球的体积公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：该球为正方体的内切球，所以该球的半径为， 所以可能制成的最大零件的体积为. 16．（2025·山东·学业水平考试）如图，为山脚两侧共线的三点，在同一铅垂平面内，计划沿直线开通穿山隧道.若在山顶处测得三点的俯角分别为，，若，，则隧道的长度是_________. 【答案】/ 【分析】利用平行线的性质求出 和 的内角，结合正弦定理求出 的长，最后根据线段的和差关系求得 的长度. 【详解】由题意可知 ， 所以 ，， 又因为 ，所以 ， 在 中，，， 由正弦定理 ， 得 ， 在 中，， 由正弦定理 ， 得 ， 因为 四点共线，且顺序如图所示， 所以 ， 故隧道 的长度是 . 三、解答题：本大题共5小题，第17-20题每小题10分，第21题12分，共52分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．已知向量，． (1)求； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用向量的坐标公式求解； （2）利用数量积求解. 【详解】（1）因为，，所以． 所以． （2）因为， ， ， 所以． 18．（2025·湖北·合格考）记的内角的对边分别为．已知． (1)求； (2)若，再从条件①和条件②中选择一个作为已知，求的周长． ①的面积为；②． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选条件①或②，周长均为 【详解】（1）由余弦定理可得，由题可知， 则，是的内角，，故. （2）选择条件①： 三角形面积公式为：，已知，，， 代入得：. 由余弦定理， 则，，， 则周长. 选择条件②： 已知，，， 根据正弦定理， 由余弦定理， 解得或，，，则周长. 19．（2025·河南·合格考）为全面落实“健康第一”教育理念，引导学生养成良好锻炼习惯和健康生活方式，某所大学依据《国家学生体质健康标准》对录取的新生进行体质健康监测，依据各单项评分和指标权重得出每名学生的体质健康综合指标评分．现从这所大学新生中随机抽取200名学生，将他们的综合指标评分数据分成5组：，，画出了如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)估计这所大学新生体质健康综合指标评分的众数和平均数． 【答案】(1) (2)众数为75，平均数为72 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，所有矩形的面积之和为1即可求出. （2）众数：频率分布直方图中，最高矩形对应的区间中点即为众数；平均数：用每个区间的中点值乘以对应频率，再求和. 【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有矩形的面积之和为1，已知组距为10， 所以， 即，解得. （2）其中最高矩形对应区间[70,80)，该区间的中点为，因此众数为. 平均数：， 所以平均数为. 20．（2026·湖南·合格考）如图，在四棱锥中，，，和都垂直于平面． (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)如图所示； 平面，平面，， 又平面，平面，平面. (2)2 【分析】（1）先证明，然后证明平面. （2）先证明平面，然后证明四边形为直角梯形，用锥体的体积公式计算四棱锥的体积. 【详解】（1）略. （2）如图所示； 平面，平面，， 又，平面,平面. 平面，平面，， 四边形为直角梯形， ， . 21．（2025·山东·学业水平考试）已知函数． (1)若是偶函数，求实数的值； (2)若函数，，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义结合的解析式列出等式，即可求出的值； （2）分别求出在上的值域，在上的值域，根据两者值域的关系列出不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）因为是偶函数，所以． 已知，则． 由，可得，化简得． 因为上式对于任意都成立，所以． （2）已知，，则． 根据正弦函数的性质，可得， 故． 函数的图象开口向下，对称轴为． ①当，即时，在上单调递减， 则，， 所以的值域为； ②当，即时，在上单调递增，则，， 所以的值域为； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则，，． 比较和的大小：． 当时，，， 所以的值域为； 当时，，， 所以的值域为 ． 因为，，使得， 所以的值域是的值域的子集． （1）当时，，解得； （2）当时，，此时无解； （3）当时，，此时无解； （4）当时，，此时无解． 综上，实数的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $