考点培优练02 利用二级结论秒杀圆锥曲线选填题6大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦圆锥曲线选填题6大高频考点，以二级结论为核心构建“性质-公式-秒杀”方法体系，逻辑链清晰，适配一轮复习高效突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01通径公式|1典例+5跟踪|通径端点坐标及长度公式|从曲线方程推导通径几何特征，建立坐标与长度关系| |考点02距离及最值|1典例+7跟踪|双曲线上点到焦点距离公式及最值结论|基于双曲线定义推导距离关系，明确最值位置| |考点03中点弦问题|1典例+7跟踪|点差法斜率关系秒杀公式|通过点差法推导中点与弦斜率关系，区分焦点位置| |考点04焦点三角形面积|1典例+6跟踪|椭圆/双曲线焦点三角形面积公式|结合余弦定理与定义推导面积公式，关联张角参数| |考点05离心率公式|1典例+7跟踪|焦点三角形、焦点弦离心率秒杀公式|从定义和几何关系推导离心率表达式，适配不同条件| |考点06抛物线焦点弦|1典例+7跟踪|焦半径、焦点弦长及面积公式|基于抛物线定义推导焦点弦坐标关系及几何量公式|

考点培优练02 利用二级结论秒杀圆锥曲线选填题6大考点 考点预览 目录 考点01 通径公式的应用 1 考点02 双曲线中点到焦点的距离及最值问题 3 考点03 中点弦问题（点差法）秒杀公式 5 考点04 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 7 考点05 椭圆离心率秒杀公式 8 考点06 抛物线中的焦点弦、焦半径公式 10 考点通关 考点01 通径公式的应用 1、通径的性质 【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为. 【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为. 【典例1】（2025·广西南宁·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过点的直线l交椭圆C于，两点，当的面积最大时，求直线l的方程. 【跟踪训练】1．（25-26高三上·河北承德·阶段检测）已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026届高三上学期12月期中考试数学试卷）通常把过椭圆的焦点且与过焦点的长轴垂直的弦称为椭圆的通径.已知椭圆的通径长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026-2027学年高三8月适应性考试数学试题）(多选)已知双曲线：的离心率，则（    ） A．双曲线渐近线夹角大于 B． C．通径长范围为 D．焦点到渐近线距离大于 4．（2026·甘肃张掖·一模）(多选)已知双曲线的左，右焦点分别是，下列说法正确的有（   ） A．若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 B．若双曲线的通径长为2，则 C．若是双曲线与以为直径的圆的交点，则的面积为2 D．若点在双曲线上，则 5．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）(多选)我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线（，且为常数）的左､右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（    ） A．的离心率 B．线段长度的最小值是 C．一定是线段的中点 D．面积的最小值是 考点02 双曲线中点到焦点的距离及最值问题 1.若P是双曲线上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则||PF1|－|PF2||＝2a; 2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3.双曲线焦点到渐近线的距离为 【典例2】（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知椭圆的短轴长为2，椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为0． （i）求点的坐标； （ii）求的面积的最大值． 【跟踪训练】1．（25-26高三·全国·一轮复习）两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北保定·二模）(多选)若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西·模拟预测）(多选)已知椭圆：的离心率为．若点在上，，分别是的左、右焦点，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．椭圆内接矩形周长的最大值为 D．满足是直角三角形的点有4个 4．（25-26高三上·广西南宁·期中）(多选)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为4 C．点P可能在以，为直径的圆上 D．若，则的面积为 5．（24-25高三上·四川成都·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的标准方程为 C． D．的最大值为 6．（2026·上海虹口·三模）已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 7．（2026高三·全国·专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________． 考点03 中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，. 【典例3】（25-26高三上·河北衡水·期末）已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·三模）(多选)已知椭圆C：()的左、右焦点分别为，，离心率，P是C上一动点，且的周长为6，直线l与C交于A，B两点(异于点P)，则下列说法正确的有(   ) A．若点P到直线的距离为3，则 B．若的中点M的坐标为，则直线l的方程为 C．若A，B关于原点对称，直线，的斜率分别为，，则 D．记的中点为N，则点N的轨迹方程为 3．（2026·陕西咸阳·三模）(多选)已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．当时，则 C．若，则的取值范围为 D．线段的中点坐标可能为 4．（26-27高三上·全国·课后作业）(多选)过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 5．（2026高三·全国·专题练习）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 6．（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 7．（2026·陕西渭南·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)动直线：与椭圆交于，两点，求线段中点的轨迹方程． 考点04 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 1、椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 ． 2、双曲线中焦点三角形的面积为(为焦距对应的张角) 【典例4】（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【跟踪训练】1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 2．（2026·浙江·二模）已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 4．（2025·江西·二模）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 5．（26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 6．（2025·四川成都·三模）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是_______. 考点05 椭圆离心率秒杀公式 （1）已知椭圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 （2）以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外) 为顶点 , 则 （3）点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或 【典例5】（2026高三·全国·专题练习）设为椭圆上任一点，椭圆的左右焦点分别为、，，. (1)求证：离心率； (2)求的最值． 【跟踪训练】1．（26-27高三上·云南·开学考试）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·陕西咸阳·二模）已知、分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·重庆·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点06 抛物线中的焦点弦、焦半径公式 1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式 已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 ①. ②. ③,. 2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点. ②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . ③若恒过定点. 【典例6】（25-26高三下·安徽·阶段检测）(多选)已知抛物线的焦点为，准线为．点在抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．准线的方程为 B．若，则 C．过点总能作出两条直线与抛物线仅有1个交点 D．若，延长与抛物线交于点，则 【跟踪训练】1．（26-27高三上·甘肃酒泉·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·三模）已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 3．（2026·海南·模拟预测）设椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且为抛物线（）的焦点．设抛物线与在第二象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点P在C上．若O是坐标原点，，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（24-25高三上·陕西西安·阶段检测）已知为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的弦，其中点在第一象限，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·甘肃武威·期中）(多选)已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，则（    ） A． B．的方程为 C．原点到直线的距离为 D． 7．（26-27高三上·河北·开学考试）已知抛物线：的焦点为，点在上，且位于第一象限，，则点的坐标为______． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练02 利用二级结论秒杀圆锥曲线选填题6大考点 考点预览 目录 考点01 通径公式的应用 1 考点02 双曲线中点到焦点的距离及最值问题 7 考点03 中点弦问题（点差法）秒杀公式 13 考点04 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 23 考点05 椭圆离心率秒杀公式 28 考点06 抛物线中的焦点弦、焦半径公式 33 考点通关 考点01 通径公式的应用 1、通径的性质 【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为. 【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为. 【典例1】（2025·广西南宁·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过点的直线l交椭圆C于，两点，当的面积最大时，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆离心率的意义及对称性列式求出即可. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出三角形面积的函数关系，再利用基本不等式求解最值，即可求得直线方程. 【详解】（1）设椭圆C的半焦距为，由过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1，得点在椭圆上， 于是，由离心率为，得，而，因此，， 所以椭圆C的方程为. （2）由题意，，直线不垂直于轴，设其方程为， 由，得，设， 则，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以直线的方程为或． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·河北承德·阶段检测）已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据通径长求出，可得，设，直线的方程为，与抛物线方程联立，得到，根据抛物线的定义可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为抛物线的通径长为8， 所以，解得， 所以抛物线，焦点. 设，直线的方程为, 联立方程组，可得， , 则,， 所以 ， 当且仅当时等号成立, 所以的最小值为. 故选:D. 2．（2026届高三上学期12月期中考试数学试卷）通常把过椭圆的焦点且与过焦点的长轴垂直的弦称为椭圆的通径.已知椭圆的通径长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得出椭圆的焦点在轴上，根据椭圆通径的长为以及椭圆离心率的公式即可求解. 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上， 所以，，， 因为椭圆的通径长为6，所以，即，解得， 故椭圆的离心率. 故选：C 3．（2026-2027学年高三8月适应性考试数学试题）(多选)已知双曲线：的离心率，则（    ） A．双曲线渐近线夹角大于 B． C．通径长范围为 D．焦点到渐近线距离大于 【答案】BC 【分析】本题利用双曲线离心率公式得到的取值范围，再结合两直线夹角定义、通径公式、焦点到渐近线距离的二级结论，逐一对四个选项进行推理判断，完成多选． 【详解】对于A，根据两条相交直线夹角的范围为， 得双曲线渐近线夹角大于就是错误的，A错误； 对于B，， 由题意得，，， 解得，，B正确； 对于C，双曲线的通径长为， 由，得， 所以，C正确； 对于D，焦点到渐近线的距离， 由，得，D错误． 4．（2026·甘肃张掖·一模）(多选)已知双曲线的左，右焦点分别是，下列说法正确的有（   ） A．若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 B．若双曲线的通径长为2，则 C．若是双曲线与以为直径的圆的交点，则的面积为2 D．若点在双曲线上，则 【答案】ABC 【详解】在双曲线中，. 若离心率，则，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，A正确． 将代入，得， 又，所以，解得． 由题意得，解得，B正确．由题意，得． 不妨设点在第一象限，，则， 所以，解得，所以的面积，C正确． 因为点在双曲线上，所以，解得． 因为点在第一象限，所以，D错误． 故选：ABC. 5．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）(多选)我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线（，且为常数）的左､右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（    ） A．的离心率 B．线段长度的最小值是 C．一定是线段的中点 D．面积的最小值是 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求得，进而求出离心率判断A；再设出切点坐标并写出切线方程，联立切线与双曲线方程，借助判别式求出切线方程，然后逐一判断BCD. 【详解】设双曲线的半焦距为，当时，，解得， 由双曲线的通径为，得，解得，双曲线， 对于A，，因此的离心率，A正确； 设点，直线不垂直于轴，设直线方程为， 由消去得， ， 化简可得, 又，故， 切线的方程为，即，渐近线方程为， 对于C，由，得，设， 则，一定是线段的中点，C正确； 对于B，，则 ，当且仅当时取等号，B错误； 对于D，直线交轴于点，的面积， 因此面积的最小值是，D正确. 故选：ACD 考点02 双曲线中点到焦点的距离及最值问题 1.若P是双曲线上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则||PF1|－|PF2||＝2a; 2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3.双曲线焦点到渐近线的距离为 【典例2】（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知椭圆的短轴长为2，椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为0． （i）求点的坐标； （ii）求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】(1)由短轴长和椭圆上点到焦点的最大距离，结合椭圆基本关系求出，从而得到椭圆方程. (2)（i）设直线方程并联立椭圆，用韦达定理结合斜率和为的条件，求出轴上点的坐标. （ii）用点到直线距离和弦长公式写出面积表达式，换元后用基本不等式求最大值. 【详解】（1）短轴长，椭圆上点到一焦点最大距离， 又， 解得， 椭圆方程为 （2）（i）设过的直线方程为，设、，    代入椭圆方程得， 由可得，即; 依据韦达定理可得，； 设，由可得， 将和代入，化简后得， 将和代入，解得，故． （ii）到直线的距离为， 弦长，其中； 则， 令，则，， 代入面积公式， 由基本不等式，得， 当且仅当(即符合题意)时取等号，所以三角形面积的最大值为. 【跟踪训练】1．（25-26高三·全国·一轮复习）两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆定义可求，由焦点坐标可求，根据关系可得方程. 【详解】因为两个焦点的坐标分别是，，所以椭圆的焦点在横轴上，并且， 所以由椭圆的定义可得：，即，所以由，，的关系解得， 所以椭圆方程是． 故选：B． 2．（2026·河北保定·二模）(多选)若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 3．（2025·陕西·模拟预测）(多选)已知椭圆：的离心率为．若点在上，，分别是的左、右焦点，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．椭圆内接矩形周长的最大值为 D．满足是直角三角形的点有4个 【答案】AC 【分析】根据条件，先求出，对A，利用椭圆的定义，即可求解；对B，根据条件求出，再由余弦定理，即可求解；对C，令，，从而得，即可求解；对于D，利用，得以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有4个交点，再结合椭圆的对称性，即可求解. 【详解】因为，则，又，，则 解得，， 对于A，由椭圆的定义可得，故A正确； 对于B，因为①，又②，由①②可得，， 在中，由余弦定理可得，故B错误； 对于C，因为椭圆方程为，令，， 则内接矩形周长，其中， 因为，取，则， 故当时，内接矩形周长的最大，最大值为，故C正确； 对于D，因为，，则，所以以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有4个交点， 所以椭圆上有个点，使，如图所示， 又当或时，满足条件的点各有2个， 所以满足是直角三角形的点有8个，所以D错误． 故选：AC. 4．（25-26高三上·广西南宁·期中）(多选)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为4 C．点P可能在以，为直径的圆上 D．若，则的面积为 【答案】AD 【分析】由题意，，计算可判断A；根据椭圆的定义计算周长可判断B；由余弦定理及基本不等式可得的最大值为60°，可判断C；根据余弦定理结合椭圆的定义计算可判断D. 【详解】如图： 对于A，由题意，，故，， 所以椭圆C的离心率为，故A正确； 对于B，的周长为，故B错误； 对于C， ， 当且仅当时，等号成立， 因为在上递减，所以此时最大， 此时，，所以的最大值为60°， 若点P在以，为直径的圆上，则，不成立，故C错误； 对于D，由余弦定理， 即，解得， 故，故D正确. 故选：AD 5．（24-25高三上·四川成都·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的标准方程为 C． D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】由题意得出的值，得到椭圆方程，由此判断出ABC选项，D选项需要对线段转化为，变成求最大值，从而得出结果. 【详解】由题意可知：，解得， ∴，A选项正确； ∴ ∴椭圆：，B选项正确； ∵，∴，C选项错误； ， 当且仅当在之间且它们三点共线时等号成立，D选项正确； 故选：ABD 6．（2026·上海虹口·三模）已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 【答案】4 【详解】由题意可知椭圆的长轴长， 由于点到该椭圆的一个焦点的距离为2， 根据椭圆的定义得点到该椭圆的另一个焦点的距离为4. 7．（2026高三·全国·专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________． 【答案】 【详解】设到两个焦点的距离分别为，，根据椭圆定义可知：， 又结合椭圆的性质可知．根据三角形三边关系有，即，，即．又因为， 所以． 考点03 中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，. 【典例3】（25-26高三上·河北衡水·期末）已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的方程为，即可求出、； （2）设，，利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】（1）依题意设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为，所以点在椭圆内，直线与椭圆相交， 设，，则， 所以，即， 又点为的中点，所以， 所以，则， 即，所以直线的方程为，即. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先假设中点弦存在，推导弦的斜率与中点坐标的关系，再联立直线与双曲线方程，通过判别式判断方程是否有两个不同实根（即弦是否存在），最终反向推导弦不存在时的取值范围. 【详解】设双曲线上存在以为中点的弦，其中，（）； 由中点坐标性质，得： 因为点在双曲线上，满足双曲线方程：， 用两式作差： 利用平方差公式展开： 两边同时除以（因，分母不为0），并代入，： 设弦的斜率为，化简得： 由点斜式，弦的直线方程为： 整理为斜截式： 将直线方程代入双曲线方程，消去： 展开并通分（两边同乘）： 展开括号并整理： 合并同类项，得到关于的一元二次方程： 双曲线存在以为中点的弦的充要条件是：上述一元二次方程有两个不同的实根（对应弦的两个端点），且两个实根对应的点在双曲线上，反之，弦不存在时，方程无两个不同实根，分两种情况讨论： 情况1：方程不是一元二次方程（二次项系数为0） 令二次项系数，解得或， 因题目要求，故取， 此时方程退化为一次方程： 显然无实根，即不存在对应的弦，符合题意。 情况2：方程是一元二次方程（二次项系数不为0） 此时（即且），需方程无两个不同实根，即判别式， 对于一元二次方程，判别式， 对比方程，记： 计算判别式： 展开并化简： 提取公因式 ： 化简括号内的表达式： 展开并合并同类项： 因此，判别式最终化简为： 要求，结合（题目限定正实数），，，故不等式等价于： 令（），则不等式变为： 解此一元二次不等式，得： 即，结合，开方得：； 情况1（）和情况2（）合并，得正实数的取值范围为：. 故选：A 2．（2026·陕西咸阳·三模）(多选)已知椭圆C：()的左、右焦点分别为，，离心率，P是C上一动点，且的周长为6，直线l与C交于A，B两点(异于点P)，则下列说法正确的有(   ) A．若点P到直线的距离为3，则 B．若的中点M的坐标为，则直线l的方程为 C．若A，B关于原点对称，直线，的斜率分别为，，则 D．记的中点为N，则点N的轨迹方程为 【答案】AB 【分析】先根据已知条件求出椭圆方程，再分别利用椭圆的第二定义、点差法(对称点)、中点坐标代入法逐一验证选项. 【详解】由离心率及的周长为6，得，， 解得，，，椭圆方程为. 对于选项A，椭圆右准线为，由点到直线的距离为3，得的横坐标为1. 将代入椭圆方程，得，即. 所以，故A正确. 对于选项B，设，，代入椭圆方程得，， 两式相减得. 由中点，得，，代入得直线斜率， 故直线方程为，即，故B正确. 对于选项C，设，，则，斜率， ，故.由椭圆方程得，， 代入化简得，故C错误. 对于选项D，设，而，则， 代入椭圆方程得，整理得，故D错误. 3．（2026·陕西咸阳·三模）(多选)已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．当时，则 C．若，则的取值范围为 D．线段的中点坐标可能为 【答案】AC 【分析】根据双曲线的方程求出渐近线方程即可判断A；根据求出点的坐标，进而可求出，即可判断B；可设，，根据是双曲线上的两点求出，再根据化简整理即可判断C；假设是线段的中点，利用点差法求出直线的斜率，进而可求出其方程，再判断直线与双曲线是否相交即可判断D. 【详解】对于A，由双曲线，得，， 所以双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于B，，， 当时，， 则，解得， 所以， 所以，所以，故B错误； 对于C，因为，所以， 不妨设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 可设，即， 由是双曲线上的两点， 得，即， 所以， 得，即， 所以， 由，可得， ， 令， 则， 由，得，所以， 即，所以的取值范围为，故C正确； 对于D，假设是线段的中点， 设， 则有，所以， 因为是双曲线上的两点， 所以，两式相减得， 所以， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，消得， 则，方程无解， 所以线段的中点坐标不可能为，故D错误. 4．（26-27高三上·全国·课后作业）(多选)过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】利用“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可． 【详解】设，，则，， 两式相减得, 因为为的中点，所以，, 所以，即所求直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即． 5．（2026高三·全国·专题练习）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 【答案】 【分析】由题意，设直线方程为，，中点，应用点差法得到，结合在椭圆内部求自变量范围即可得. 【详解】倾斜角为，故直线斜率，   设直线方程为，，中点，则， 由在椭圆上，故，则， 由，，，可得， 联立椭圆方程，得，而中点在椭圆内部，故， 所以点M的轨迹方程为. 6．（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据离心率求出，得到双曲线方程； （2）由点差法得到直线的斜率，进而得到直线的方程，检验后可得答案 【详解】（1）因为，，所以，则， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，，由题知， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，整理，得， 则，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意， 则直线的方程为． 7．（2026·陕西渭南·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)动直线：与椭圆交于，两点，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)根据离心率得到之间的关系，短轴长可得到，根据椭圆中的关系计算出的值，从而得到椭圆的标准方程； (2)设点的坐标，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得到中点坐标，通过消参的方法得到轨迹方程，需考虑判别式大于0的条件下参数范围． 【详解】（1）由题意知，，；故，； 由可得：，解得，故； 故椭圆的标准方程． （2）设，线段的中点坐标为； 联立直线与椭圆方程： 可得：； 则，解得：； 故，； 则，； 则，，即，整理可得：； 故的中点轨迹为：； 因为，故，故； 综上，轨迹方程为． 考点04 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 1、椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 ． 2、双曲线中焦点三角形的面积为(为焦距对应的张角) 【典例4】（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 【跟踪训练】1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 2．（2026·浙江·二模）已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则，    于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即. 3．（25-26高三上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】法1，由双曲线焦点三角形的面积公式求解；法2，在焦点三角形中利用定义和余弦定理求解. 【详解】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. 4．（2025·江西·二模）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故选：D 5．（26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【答案】 【详解】由椭圆，得，可得， 即，则， 设，则有，， ， ， 6．（2025·四川成都·三模）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是_______. 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求出，进而求出三角形面积. 【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得， 由，，解得或， 当时，点为双曲线离焦点较近的顶点，与共线，不符合要求， 因此，，为直角三角形， 所以的面积是. 故答案为：6 考点05 椭圆离心率秒杀公式 （1）已知椭圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 （2）以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外) 为顶点 , 则 （3）点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或 【典例5】（2026高三·全国·专题练习）设为椭圆上任一点，椭圆的左右焦点分别为、，，. (1)求证：离心率； (2)求的最值． 【答案】(1)设，，， 根据椭圆的定义可得， 由正弦定理得， 所以， 所以离心率. (2)最小值为， 最大值为. 【分析】（1）先利用正弦定理得，再根据证明； （2）利用立方和公式得=，再根据的取值范围求的最值. 【详解】（1）略 （2） =， 由椭圆性质可得，， ， 所以当时，取得最大值为， 当或时，取得最小值为， 所以的最小值为，最大值为. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·云南·开学考试）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，在和中，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 2．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理建立方程，化简求解离心率即可. 【详解】设，因为，所以， 因为为椭圆上一点，所以，即， 因为，所以， 由勾股定理得，即， 而，故，代入得， 化简得，化简得，解得，故A正确. 故选：A 3．（2022·陕西咸阳·二模）已知、分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用椭圆的定义，结合勾股定理、椭圆离心率的公式进行求解即可. 【详解】设，所以，因为， 所以， 因为，所以，即， 所以由， 故选：C 4．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，结合椭圆定义求离心率即可. 【详解】因为，，则， 则，， 所以椭圆的离心率为. 5．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 6．（24-25高三上·重庆·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得、，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得与的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】 由题意，， ， ， 由正弦定理得，又， 所以，，又， 可得，所以椭圆的离心率. 故选：B. 7．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 考点06 抛物线中的焦点弦、焦半径公式 1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式 已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 ①. ②. ③,. 2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点. ②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . ③若恒过定点. 【典例6】（25-26高三下·安徽·阶段检测）(多选)已知抛物线的焦点为，准线为．点在抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．准线的方程为 B．若，则 C．过点总能作出两条直线与抛物线仅有1个交点 D．若，延长与抛物线交于点，则 【答案】BC 【分析】根据抛物线的标准方程及性质，结合直线与抛物线的位置关系逐项分析判断即可. 【详解】选项A：抛物线方程可化为标准形式为：，则焦点为，准线方程为，A错误. 选项B：抛物线的焦半径公式为，则，B正确. 选项C：点在抛物线上，则过点能作出1条切线与抛物线仅有1个交点； 当过点的直线与轴平行时，仅有1个交点，满足题意， 故过点总能作出两条直线与抛物线仅有1个交点，C正确. 选项D：已知，则，即. 又，则直线方程为，代入中可得，. 所以，D错误. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·甘肃酒泉·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线定义求出点的坐标，再计算直线的斜率，进而得到倾斜角 【详解】对于抛物线，得，即，因此焦点的坐标为，准线方程为， 设点，由在第一象限得， 由抛物线的定义可知， 因为，所以，解得， 将代入抛物线方程得，结合得，即， 设直线的斜率为满足， 设直线的倾斜角为，，则，解得 所以直线的倾斜角为. 2．（2026·云南·三模）已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合三点共线即可求解. 【详解】设抛物线的焦点为，设 由抛物线定义知，， 因，则, 由图知，， 解得，即当过点时，的最小值为. 3．（2026·海南·模拟预测）设椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且为抛物线（）的焦点．设抛物线与在第二象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图象，利用抛物线性质以及椭圆的性质结合已知条件建立等式得出的关系，根据椭圆离心率公式求解即可. 【详解】椭圆，，， 抛物线的焦点为 ， 因为为抛物线（）的焦点，所以， 解得，则抛物线的方程为， 抛物线的准线方程为， 因为，又， 则， 因为为抛物线上的点，所以点到准线的距离， 即， 解得， 代入得到， 又在抛物线上，则，代入， 得到， 又在椭圆上，且， 两边平方得到， 把和代入， 得到， 展开化简得到，即， 解得，故选项A正确. 4．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点P在C上．若O是坐标原点，，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据焦半径公式求出点坐标，利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为抛物线， 所以，准线方程为， 因为，所以， 代入抛物线方程可得, 所以，或， . 5．（24-25高三上·陕西西安·阶段检测）已知为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的弦，其中点在第一象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由焦点坐标求出抛物线方程，再联立直线与抛物线方程得到交点坐标，最后利用向量点积、抛物线定义和弦长公式逐一验证选项，得出正确结论. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为，所以，解得，抛物线方程为， 又直线，由可得， 解得或，由得；由得，所以， 对于A：因为，所以，A错误； 对于B：，因为, 所以，B错误； 对于C：， 或由抛物线焦点弦公式，C错误； 对于D：由抛物线定义可得，所以，D正确. 【点睛】本题的核心是抛物线定义与焦点弦性质. 6．（25-26高三下·甘肃武威·期中）(多选)已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，则（    ） A． B．的方程为 C．原点到直线的距离为 D． 【答案】AC 【分析】根据抛物线的标准方程特点与几何性质求解. 【详解】将的坐标代入的方程，得，， 所以的方程为，，：， 由抛物线的定义，得，故A正确，BD错误； 直线的方程为， 故原点到直线的距离为，故C正确. 7．（26-27高三上·河北·开学考试）已知抛物线：的焦点为，点在上，且位于第一象限，，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】∵ 抛物线的标准形式为， ∴ ，解得，故抛物线的准线方程为. ∵ 点在抛物线上，由抛物线的定义可知， 又，代入得，解得. ∵ 点位于第一象限，将代入抛物线方程，得，即，解得， ∴ 点的坐标为. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $