专题3.3 一元一次不等式组（7大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

专题3.3 一元一次不等式组 教学目标 1. 理解一元一次不等式组、解集及解不等式组的概念，会判断一元一次不等式组，明确其组成结构。 2. 掌握解一元一次不等式组的步骤，能分别求出每个不等式的解集，利用数轴确定不等式组的解集。 3. 体会数形结合与转化思想，能规范书写解题过程，培养逻辑推理与规范运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握一元一次不等式组的解法，熟练求解每个一元一次不等式，准确求出公共解集。 （2）借助数轴直观表示各个不等式的解集，正确找出公共部分，规范写出不等式组的解集。 2.难点 （1）准确判断不等式组有无解，理解“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的规律。 （2）系数为负数时不等号方向易出错，再叠加找公共解集，容易出现方向、端点、范围判断错误。 知识点01 一元一次不等式组的定义 一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 【即学即练1】1．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 2．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 知识点02 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【即学即练2】4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ）． A． B． C． D． 5．不等式组的解集为________． 6．解不等式组：． 题型01 一元一次不等式组的定义 【典例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（22-23七年级下·甘肃庆阳·阶段检测）下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组中，是一元一次不等式组的有________．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 题型02 求一元一次不等式组的解集 【典例1】（25-26七年级下·云南曲靖·期末）不等式组的解集为______.   【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【变式2】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）解不等式组： 【变式3】（25-26七年级下·江西南昌·期末）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 题型03 求一元一次不等式组的整数解 【典例1】（25-26七年级下·河南周口·期末）不等式组的整数解的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）不等式组的整数解是_______． 【变式2】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）一元一次不等式组的整数解的个数为________． 【变式3】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）解不等式组，并写出满足条件的整数解． 题型04 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若不等式组的解集为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江西宜春·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是____________． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于的二元一次方程组的解满足且是非负数． (1)求的取值范围； (2)当为整数时，不等式的解集为，求满足所有条件 的的值． 题型05 一元一次不等式组和方程组结合的问题 【典例1】（25-26七年级下·四川眉山·期中）关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围是______． 【变式2】19．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是______． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期末）已知关于x、y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足，，求实数k的取值范围； (2)在（1）所求k的取值范围内，化简代数式． 题型06 解|x|≥a型的不等式 【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖南怀化·阶段检测）若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若的值小于，则的取值范围是________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）写出不等式的两个不同的解． 题型07 列一元一次不等式组 【典例1】（25-26七年级下·山东·期末）小明一家在自驾游时，发现某高速路对行驶汽车的速度在正常情况下有如图规定．设小客车的速度为千米／小时，则在行车道②行驶速度应满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）某校组织学生参加STEM教育教学竞赛的机器人编程挑战环节，需要将若干任务指令卡分配给参赛小组．若每个小组分配6张指令卡，还剩余15张；若每个小组分配7张指令卡，则最后一个小组有指令卡但不足3张，设参赛小组有x个，则下列列式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）实验中学为参加社会实践活动的同学安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，可列不等式组_________________． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）地理研究小组了解到：某种珍稀植物生长的海拔高度不低于1000米，且不高于1700米，设这种珍稀植物生长的海拔高度为米，则的取值范围为________． 1．（24-25九年级下·湖北十堰·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·山西太原·开学考试）一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·假期作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）不等式组 的解集是_____． 7．（25-26八年级上·山东聊城·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 8．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 9．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 10．（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）不等式组的所有整数解的和为______． 三、解答题 11．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 12．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 13．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组回答下列问题： (1)若方程组的解满足，求a的取值范围． (2)若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________． 14．（25-26八年级上·山西晋中·期末）解方程组和不等式组： (1)解方程组； (2)解不等式组． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读材料，再完成下列问题： （i）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于-2而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为．    （ii）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于-2的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或．      请完成： (1)的解集为_____，的解集为_____． (2)试着写出不等式的解集：______． (3)解不等式的实质是求不等式_______的解集，即求不等式组_______的解集，其解集为______； (4)求不等式的解集应先求出不等式_____与不等式______的解集，请直接写出该绝对值不等式的解集：______． (5)解不等式：． 一、单选题 1．（25-26七年级下·广西崇左·期末）2026年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最低气温是，最高气温是，则该地气温的变化范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）关于的不等式组的解集如图所示，则该解集可以表示为（     ） A． B． C． D．无解 3．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期末）关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 7．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）不等式组的解集为________． 8．（25-26七年级下·吉林·期末）不等式组的整数解是 __________. 9．（25-26七年级下·广东汕头·期末）若不等式组的解集是，则_________________． 10．（25-26七年级下·天津北辰·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）若时，程序进行了___________次操作就停止了； （2）若程序操作进行了两次才停止，则输入的的取值范围是___________． 三、解答题 11．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）解不等式及不等式组： (1)； (2)． 12．（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）解不等式组将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 13．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且，求k的取值范围． 14．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）新定义：我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“正缘解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘解”． (1)组合是“________”（填“正缘解”或“无缘解”） (2)若关于的组合是“正缘解”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘解”，求的取值范围． 15．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）请阅读求绝对值不等式和的解集的过程． 对于绝对值不等式，从图的数轴上看，大于而小于的数的绝对值小于，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于，所以的解集为或． (1)绝对值不等式的解集为____． (2)求绝对值不等式的解集． (3)已知绝对值不等式的解集为，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 一元一次不等式组 教学目标 1. 理解一元一次不等式组、解集及解不等式组的概念，会判断一元一次不等式组，明确其组成结构。 2. 掌握解一元一次不等式组的步骤，能分别求出每个不等式的解集，利用数轴确定不等式组的解集。 3. 体会数形结合与转化思想，能规范书写解题过程，培养逻辑推理与规范运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握一元一次不等式组的解法，熟练求解每个一元一次不等式，准确求出公共解集。 （2）借助数轴直观表示各个不等式的解集，正确找出公共部分，规范写出不等式组的解集。 2.难点 （1）准确判断不等式组有无解，理解“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的规律。 （2）系数为负数时不等号方向易出错，再叠加找公共解集，容易出现方向、端点、范围判断错误。 知识点01 一元一次不等式组的定义 一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 【即学即练1】1．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式． 【详解】解：A选项不等式含两个未知数，不符合要求； C选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求； D选项第二个不等式中是分式，不是整式，不符合要求； B选项两个不等式都只含一个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义． 2．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； ④，第二个不等式中分母含有未知数，不是一元一次不等式组； ⑤，含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ⑥是一元一次不等式组； ⑦，整理得，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； 综上，是一元一次不等式组的有3个． 3．下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 知识点02 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【即学即练2】4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集，对照选择支得出答案． 【详解】解： 解：由得：， 由得：， 原不等式组的解集为：． 在数轴上表示对应着． 5．不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】先分别求解两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 6．解不等式组：． 【答案】 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 题型01 一元一次不等式组的定义 【典例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到结果． 【详解】解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意； B、，是一元一次不等式组，故不符合题意； C、，是一元一次不等式组，故不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意； 故选：D． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可． 【详解】解：只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ②只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 【变式2】（22-23七年级下·甘肃庆阳·阶段检测）下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组中，是一元一次不等式组的有________．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有两个未知数， ⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2， 所以③⑤都不是一元一次不等式组． 故答案为：①②④． 题型02 求一元一次不等式组的解集 【典例1】（25-26七年级下·云南曲靖·期末）不等式组的解集为______.   【答案】 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 ； 【分析】先分别求出两个不等式的解集. 再求出两个解集的公共部分得到不等式组的解集. 最后将解集在数轴上表示出来． 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为； 解集在数轴上表示略． 【变式2】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）解不等式组： 【答案】 【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，再取解集的公共部分，得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解可得， 解可得， 所以不等式组的解集为． 【变式3】（25-26七年级下·江西南昌·期末）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】； 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 数轴略 题型03 求一元一次不等式组的整数解 【典例1】（25-26七年级下·河南周口·期末）不等式组的整数解的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集内的整数，统计整数解的个数即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵为整数， ∴的整数解为0，1，2，共3个． 【变式1】（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）不等式组的整数解是_______． 【答案】3 【分析】求出不等式组的解集，确定整数解即可． 【详解】解：解不等式得； 解不等式得； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解是3． 【变式2】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）一元一次不等式组的整数解的个数为________． 【答案】 【分析】分别解两个一元一次不等式，得到不等式组的公共解集，找出范围内的整数后统计个数即可． 【详解】解： 由①得 由②得 ∴原不等式组的解集为， 整数解为个． 【变式3】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）解不等式组，并写出满足条件的整数解． 【答案】不等式组的解集为，满足条件的整数解为，，． 【分析】先求出不等式组的解集，再写出满足条件的整数解即可． 【详解】解： 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 满足条件的整数解为，，． 题型04 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若不等式组的解集为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定方法，利用“同小取小”的规则列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵该不等式组中两个不等式均为小于型，根据一元一次不等式组解集“同小取小”的法则，已知解集为， ∴ 移项得 ． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式组无解，则两个不等式的解集没有公共部分，由此求解． 【详解】解：解不等式，得. ∵不等式组无解， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·江西宜春·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∵不等式组无解 ∴，解得． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于的二元一次方程组的解满足且是非负数． (1)求的取值范围； (2)当为整数时，不等式的解集为，求满足所有条件 的的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）首先利用加减消元法解方程组，即用a分别表示x和y，接着根据，得到不等式组，然后解不等式组得出a的范围； （2）先利用解集为，通过解不等式得到，接着求出a的取值范围，然后写出此范围内的整数即可． 【详解】（1）解：①＋②，得 ②－①，得 且， 解得． （2）解：， ． ， ． ． 由（1）可知， 且为整数． ． 题型05 一元一次不等式组和方程组结合的问题 【典例1】（25-26七年级下·四川眉山·期中）关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式．首先利用方程组得到关于的表达式，再根据题意列出关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： ①－②，得 整理，得． ∵的值不小于7 ∴，即， 解得． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过加减消元得到关于的表达式，代入不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解： ， 得， 由条件得 解得． 【变式2】19．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先通过消元法用含的代数式表示和，得到，，再代入不等式，得到，再解一元一次不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， 由①得， 把③代入②，得， 整理，得， 解得， 把代入③，得， 将，代入，得， 即， 解得． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期末）已知关于x、y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足，，求实数k的取值范围； (2)在（1）所求k的取值范围内，化简代数式． 【答案】(1) (2)当时，原式；当时，原式 【分析】（1）先求出二元一次方程组的解集，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出临界点，再分情况作答即可． 【详解】（1）解：， ：， ：，得， 把代入②：， 可得：， 即， 由题意得：， 即， 解得：， ∴； （2）解：当时，；当时，； 当时，原式； 当时，原式． 题型06 解|x|≥a型的不等式 【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，利用“一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数”这一性质列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 移项得 两边同时除以3，得． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·湖南怀化·阶段检测）若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和绝对值不等式，由对值的几何意义得表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，即可求解；理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为， 无解， ， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若的值小于，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据题意列出绝对值不等式，再利用绝对值的性质将绝对值不等式转化为连写形式的一元一次不等式，根据不等式的基本性质求解得到的取值范围． 【详解】解：根据题意得 则， 解得， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）写出不等式的两个不同的解． 【答案】和（答案不唯一） 【分析】先求出解集，再写出满足解集的任意两个不同的解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 则两个不同的解为和（答案不唯一）． 题型07 列一元一次不等式组 【典例1】（25-26七年级下·山东·期末）小明一家在自驾游时，发现某高速路对行驶汽车的速度在正常情况下有如图规定．设小客车的速度为千米／小时，则在行车道②行驶速度应满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意白底圈内数字是该车道最高限速，深色标识的数字是该车道最低限速，据此可得答案； 【详解】解：由题意得． 【变式1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）某校组织学生参加STEM教育教学竞赛的机器人编程挑战环节，需要将若干任务指令卡分配给参赛小组．若每个小组分配6张指令卡，还剩余15张；若每个小组分配7张指令卡，则最后一个小组有指令卡但不足3张，设参赛小组有x个，则下列列式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出指令卡总数量，再根据最后一个小组的卡片数量范围列出不等式组即可． 【详解】∵参赛小组共有个，每个小组分张剩余张， ∴指令卡总数量为张， 若每个小组分配张，仅最后一个小组不足张， 则前个小组共分配张， 最后一个小组分得的指令卡数量为张， ∵题目要求最后一个小组有指令卡但不足张， ∴可得不等式组． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）实验中学为参加社会实践活动的同学安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，可列不等式组_________________． 【答案】 【分析】每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，列出不等式组即可． 【详解】解：设宿舍有x间，寄宿学生的人数为人， 由题意可得． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）地理研究小组了解到：某种珍稀植物生长的海拔高度不低于1000米，且不高于1700米，设这种珍稀植物生长的海拔高度为米，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据题意，将文字描述的不等关系转化为数学不等式，即可得到的取值范围． 【详解】解：“海拔高度不低于1000米”，即． “海拔高度不高于1700米”，即． ∴可得的取值范围为． 1．（24-25九年级下·湖北十堰·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据不等式组的情况求参数，先求出不等式组的解集，再根据恰有3个整数解确定具体整数解，最后结合解集边界确定的取值范围，需注意边界值的取舍． 【详解】解：∵不等式组， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴这3个整数解为1、0、， ∴． 故选B． 2．（25-26九年级下·山西太原·开学考试）一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 该不等式组的解集为， 在同一数轴上表示以上不等式解集为： ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26七年级上·全国·假期作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先解不等式组得到其解集，再根据整数解的个数确定具体整数解，进而推导m的取值范围即可． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解共有3个， ∴整数解为1、0、， ∴； 故选C 二、填空题 6．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）不等式组 的解集是_____． 【答案】 【分析】根据不等式的性质分别求解每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 则不等式组的解集为． 7．（25-26八年级上·山东聊城·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求得不等式组中每个不等式的解集，再根据题意得到不等式，即可得出答案．正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组解集为， ∴， 解得：， ∴． 10．（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）不等式组的所有整数解的和为______． 【答案】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，找出不等式组的所有整数解，再计算所有整数解的和即可． 【详解】解：， 解不等式①，去括号得 ， 移项合并同类项得 ， 系数化为得， 解不等式②，去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 因此不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解为， 所有整数解的和为． 三、解答题 11．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，它的所有整数解的和为 【分析】本题考查了求不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解，然后求得它的所有整数解，再求和即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解为， 它的所有整数解为，，0，1， 它的所有整数解的和为． 12．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键． （1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 13．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组回答下列问题： (1)若方程组的解满足，求a的取值范围． (2)若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与不等式（组）的应用，掌握整体代入求、解方程组后根据解的正负列不等式组是解题的关键． （1）将两个方程相加，整体求出的表达式，代入不等式求解的范围； （2）先解方程组得到的表达式，再根据解为正数列不等式组求解的范围． 【详解】（1）解： ，得，③ ，得． ∵， ∴， 解不等式，得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）可知，．④ ，得． 将代入④中， 解得， ∴方程组的解是 ∵方程组的解均为正数， ∴ 解不等式组，得， ∴的取值范围为． 14．（25-26八年级上·山西晋中·期末）解方程组和不等式组： (1)解方程组； (2)解不等式组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式组， （1）利用代入消元法求解即可； （2）分别解两个一元一次不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定答案即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②中，得， 解得， 将代入①中，得， ∴原方程组的解为． （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读材料，再完成下列问题： （i）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于-2而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为．    （ii）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于-2的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或．      请完成： (1)的解集为_____，的解集为_____． (2)试着写出不等式的解集：______． (3)解不等式的实质是求不等式_______的解集，即求不等式组_______的解集，其解集为______； (4)求不等式的解集应先求出不等式_____与不等式______的解集，请直接写出该绝对值不等式的解集：______． (5)解不等式：． 【答案】(1)；或 (2) (3)；； (4)；；或 (5) 【分析】此题主要考查了一元一次不等式，理解绝对值的意义，掌握解一元一次不等式的方法解决问题是解题的关键． （1）根据阅读材料可知，：大于而小于的数的绝对值小于；：小于或大于的数的绝对值大于，即可得解； （2）根据题意可得出大于而小于的数的绝对值小于，列出不等式计算即可； （3）根据大于而小于的数的绝对值小于，可得不等式，分开写即为不等式组，然后解不等式组即可； （4）根据小于或大于的数的绝对值大于，得到不等式组求解即可； （5）根据大于或等于而小于或等于的数的绝对值小于或等于，得到不等式组求解即可． 【详解】（1）根据阅读材料可知，：大于而小于的数的绝对值小于， 的解集为：； 根据阅读材料可知，：小于或大于的数的绝对值大于， 的解集为：或． 故答案是：，或． （2）根据题意可得：大于而小于的数的绝对值小于， ， 解得：． 故答案是：． （3）根据题意可得，：大于而小于的数的绝对值小于， ， 化为不等式组为， 解得， 不等式的解集为． 故答案是：；；． （4）根据题意可得，：小于或大于的数的绝对值大于， 或， 解得：或． 故答案是：；；或． （5）由题意可得，：大于或等于而小于或等于的数的绝对值小于或等于， ， 可得不等式组， 解得， 不等式组的解集为：． 一、单选题 1．（25-26七年级下·广西崇左·期末）2026年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最低气温是，最高气温是，则该地气温的变化范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵该地当天最低气温是，最高气温是， ∴气温满足最低气温最高气温即． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）关于的不等式组的解集如图所示，则该解集可以表示为（     ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【详解】根据数轴可知：不等式组的解集是． 3．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出不等式组的解集，把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： 4．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，根据原不等式组无解列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵原不等式组无解， ∴， 解得． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期末）关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解两个不等式，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，得到关于m的不等式，解出m的范围即可选出正确选项． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得， 由图可知，不等式组的解集为， ∴根据“同大取大”的规则，可得， 解得． 二、填空题 6．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】已知两个一元一次不等式的解集，根据不等式组解集确定规则“同小取小”，结合给定解集判断的取值范围． 【详解】解：关于x的不等式组的解集是， 根据“同小取小”的原则，可得． 7．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再取公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：，即， ∴不等式组的解集为． 8．（25-26七年级下·吉林·期末）不等式组的整数解是 __________. 【答案】2 【分析】先解此不等式组，再根据不等式组的解集找出符合条件的整数解，即可得出答案． 【详解】分别解不等式组中的两个不等式： 解， 移项，得； 解， 移项，得． 确定不等式组的解集：两个解集的公共部分为． 找出该范围内的整数，只有， 因此不等式组的整数解是． 9．（25-26七年级下·广东汕头·期末）若不等式组的解集是，则_________________． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据解集是求出，即可求出． 【详解】解：解得， 解得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：， ∴． 10．（25-26七年级下·天津北辰·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）若时，程序进行了___________次操作就停止了； （2）若程序操作进行了两次才停止，则输入的的取值范围是___________． 【答案】 2 【分析】（1）根据流程图计算即可得解； （2）由题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 【详解】解：（1）第一次操作：， ∵， ∴需要进行下一次操作， 第二次操作：， ∵， ∴输出的数为，即程序进行次操作就停止了； （2）由题意可得：， 解得：， 故若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是． 三、解答题 11．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）解不等式及不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 12．（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）解不等式组将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为；在数轴上表示为：，它的所有整数解为1，2，3． 【分析】在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 故不等式组的解集为； 在数轴上表示：略， 它的所有整数解为1，2，3． 13．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且，求k的取值范围． 【答案】 【分析】根据加减消元法得到，，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】解：， ：， 即， ：， 由题意：， 解得：． 14．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）新定义：我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“正缘解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘解”． (1)组合是“________”（填“正缘解”或“无缘解”） (2)若关于的组合是“正缘解”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘解”，求的取值范围． 【答案】(1)正缘解 (2) (3) 【分析】（1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“正缘解”和“无缘解”的定义判断即可； （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解，得出关于m的不等式，解不等式即可； （3）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据一元一次方程的解不是一元一次不等式的解，得出关于n的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由一元一次方程得：， 由一元一次不等式得：， ∵一元一次方程的解是一元一次不等式的解， ∴组合是“正缘解”； （2）解：， 解一元一次方程得， 解一元一次不等式得， ∵关于的组合是“正缘解”， ∴， 解得：； （3）解：， 解一元一次方程得：， 解一元一次不等式得：， ∵关于的组合是“无缘解”， ∴， 解得：． 15．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）请阅读求绝对值不等式和的解集的过程． 对于绝对值不等式，从图的数轴上看，大于而小于的数的绝对值小于，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于，所以的解集为或． (1)绝对值不等式的解集为____． (2)求绝对值不等式的解集． (3)已知绝对值不等式的解集为，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）仿照材料中的解法，把转化为或． （2）把看作一个整体，由得或，分别求解即可． （3）由的解集形式可知，去绝对值后得到关于的不等式组，再与已知解集对比，求出、的值． 【详解】（1）解：表示数轴上到原点距离大于或等于的数， 或． （2）解：， 或， 当时，， 当时，， 不等式的解集为或． （3）解：的解集为， ， ， ， ． 又已知解集为， ， 解得：， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $