专题01 相似三角形的判定（题型专练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以“判定定理+特殊图形”为双主线，构建“基础方法-题型技巧-综合应用”三阶训练体系，强化推理意识与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |AA判定|1典例+3变式|“扫免费等角→找第二组等角”路径，强调对应顶点顺序|从定理条件（两角相等）到图形特征（公共角/平行线等角）| |SAS判定|1典例+3变式|“标边比→验夹角”两步法，区分夹角与对角|结合比例线段性质，深化边角关系理解| |SSS判定|1典例+3变式|网格题“排序-算比-判定”三步法，突出比例顺序|衔接勾股定理，强化代数计算与几何判定融合| |特殊三角形判定|1典例+3变式|“反例验证法”快速判断，总结Rt△/等边△判定结论|从一般到特殊，提炼特殊图形的隐含条件| |综合判定|1典例+3变式|“已知条件→选判定路径”策略，优化条件添加逻辑|整合前三判定方法，培养综合推理与模型意识|

专题01 相似三角形的判定 （题型突破·举一反三） 题型01 利用AA判定两三角形相似 题型02 利用SAS判定两三角形相似 题型03 利用SSS判定两三角形相似 题型04 特殊三角形相似的快速判定 题型05 特殊三角形相似的判定综合 ▌题型01 利用AA判定两三角形相似 基础知识：AA判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）；平行线↔同位角/内错角相等；公共角、对顶角为“免费送的等角”。 思维路径：见题图先扫“免费等角”（公共角、对顶角、平行线带来的等角、直角标记）→再找第二组等角（常需通过“三角形内角和”“同角的余角相等”“平行线内错角”推导）→凑齐两组即写AA。 易错提醒：“两组角分别相等”必须是“对应”关系，写相似时顶点顺序要对（△ABC∽△ADE不能乱序写成△ABC∽△AED，除非真的对应）。 【典例1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 【变式1-1】（2026·河南洛阳·三模）下列说法：①所有的等边三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似；④都有一个角的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（    ） A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：①所有等边三角形的内角都为，任意两个等边三角形的三个内角都对应相等，因此所有等边三角形都相似，①正确； ②等腰三角形两底角相等，若两个等腰三角形有一个底角相等，则两个三角形的底角都对应相等，顶角也相等，三个内角对应相等，因此两个三角形相似，②正确； ③若相等的角一个是等腰三角形的顶角，另一个是等腰三角形的底角，则两个三角形的内角不对应相等，不一定相似，③错误； ④两个直角三角形都有一个直角，且都有一个角，因此两个三角形有两个角对应相等，两个三角形相似，④正确． 【变式1-2】（2026·广东中山·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 【变式1-3】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析能否判定和相似即可． 【详解】解：A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C． ▌题型02 利用SAS判定两三角形相似 基础知识：两边成比例且夹角相等→相似；“夹角”指成比例的那组两边的公共角，不是随便一组对角。 思维路径：题给两组边成比例→检查这两组边的公共角是否相等；若给的是“一边对角相等”＋两边成比例→不能直接判（反例存在，需补第二角转AA）。 关键步骤： 1. 标两组对应边的比值（） 2. 验夹角：∠A是否是AB与AC的夹角、∠A'是否是A'B'与A'C'的夹角 3. 夹角相等→SAS成立；否则换AA路径 【典例2】（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 【变式2-1】（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 【变式2-2】（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式2-3】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． ▌题型03 利用SSS判定两三角形相似 基础知识：三边成比例→相似；比的顺序：（同三角形三边放同侧）。 思维路径（网格题标准三步）： 1. 排：把两个三角形的边长各自按从小到大（或从大到小）排序列出 2. 算：最长/最长、最短/最短、中间/中间三组比值 3. 判：三组比值全相等→相似；有一组不等→不相似 关键技巧：网格中边长用勾股算（类），先化简再比；若出现等无理数，先平方去根号再比更稳。 易错提醒：比的顺序乱写是网格题最大丢分点，必须“大对大、小对小、中对中”。 【典例3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性质得到，根据角的和差即可得到结论； （2）由已知条件得到，结合，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ． ． ． ． （2）证明：， ． 由（1）可知：， ． 【变式3-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定得到，进而利用相似三角形的对应角相等可得答案． 【详解】证明：， ． ， ． 平分． 【变式3-2】（2026·山东烟台·中考真题）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： (1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，交于，以为圆心为半径画弧，两弧相交于，作射线，以为圆心，长为半径画弧交于，则即为所求；有作图可知，所以，且旋转角为； （2）可证，利用对应边成比例可求，则可求． 【详解】（1）解：略； （2）解：∵在矩形 中， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】（25-26八年级下·吉林长春·期末）【知识背景】如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)90； 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌题型04 特殊三角形相似的快速判定 基础知识（教材推论）： 1. 有一个锐角相等的两个Rt△→相似（AA：直角已等＋一锐角等） 2. 直角边成比例或斜边与一直角边成比例的两个Rt△→相似（SAS特例） 3. 所有等边三角形→相似（AAA，内角都60°） 4. 所有等腰Rt△→相似（锐角都45°） 5. 有一个角相等的等腰三角形→不一定相似（需明确是顶角＝顶角或底角＝底角才相似；顶角＝底角则60°vs30°反例） 思维路径：见到“特殊三角形＋相似”选择题，先想“有没有反例”——能画出反例就选“不一定”，不能才选“一定”。 关键记忆：Rt△给“一锐角等”＝必相似；等腰△给“一角相等”＝需警惕（顶角/底角未说明就不一定）。 【典例4】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，；∵，对应边成比例的是①和③． 故选：A． 【变式4-1】（25-26九年级上·福建漳州·期中）若和满足下列条件，其中能使的是（   ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定——三组对应边成比例，则两个三角形相似． 分别计算对应边的比例，判断是否相等，即可得出两个三角形是否相似． 【详解】解：A、∵，，，∴，∴．故此选项符合题意； B、∵，，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式4-2】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在等边中，点D，E、F分别是边，，上的点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解． 【详解】解：已知是等边三角形， ∴， A、，根据比例的性质可得，，且， ∴根据两边对应成比例，且两边夹角相等，两三角形相似可得， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； B、，这个比例式中的两边与、与，其夹角分别是和，而和并不是这两组边的夹角， ∴原选项不能判定两三角形相似，符合题意； C、，， ∴根据两角分别相等，两三角形相似可得， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； D、， ∴， 在中，， ∴， ∴，且， ∴， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； 故选：B． 【变式4-3】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． ▌题型05 特殊三角形相似的判定综合 基础知识：三种判定路径可逆用 1. 缺两角→补一组角相等（加平行线、加等角标记）； 2. 缺两边夹角→补一组边比+夹角，或补两组边比； 3. 缺三边→补两组边比（第三组自动由比例传递）。 思维路径（添加条件型）： 1. 看已给：有几组角等？有几组边比？ 2. 选路径：已有一组角相等→优先补AA（再加一组角，最容易）；已有两组边比＋夹角等→直接SAS；已有三组边比→SSS 3. 写条件：用题图里能表示的量 思维路径（先判后推型）： 1. 按题型选路径证出相似 2. 由相似得对应边成比例→代入已知求未知；或把等积式转成比例式反推相似 易错提醒：“添加条件”题要写最省的条件（通常补一组角比补两组边比简单，阅卷优先认角类答案）；等积式转比例式时，同一三角形内的边放同侧。 【典例5】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． 【变式5-1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 【变式5-2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应角相等的要求，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等， ∴两个直角三角形不一定相似，故A错误； B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等， ∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误； C、所有等腰直角三角形的三个角都为，，，对应角都相等， ∴两个等腰直角三角形相似，故C正确； D、有一个角是的等腰三角形，可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等， ∴不一定相似，故D错误． 【变式5-3】（2026·河南驻马店·三模）如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转得到对应的，交于点P．若，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作交于，由旋转可知，，，，解直角三角形得到，设，则，再证，再利用相似的性质求线段长即可． 【详解】解：过作交于， 由旋转可知，，，， 等腰中，，，， ，，则， ，， 设，则， 又， ， ， ，， ， 解得，即． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01相似三角形的判定 《题型突破举一反三) 目录 题型01利用AA判定两三角形相似 题型02利用SAS判定两三角形相似 题型03利用SSS判定两三角形相似 题型04特殊三角形相似的快速判定 题型05特殊三角形相似的判定综合 题型01利用AA判定两三角形相似 解题必备 基础知识：AA判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）；平行线回同位角内错角相等；公共角、对 顶角为“免费送的等角”。 思维路径：见题图先扫“免费等角”（公共角、对顶角、平行线带来的等角、直角标记）一→再找第二组等角 (常需通过“三角形内角和”“同角的余角相等”“平行线内错角”推导)→凑齐两组即写AA。 易错提醒：“两组角分别相等”必须是“对应”关系，写相似时顶点顺序要对（△ABC∽△ADE不能乱序 写成△ABC∽△AED,除非真的对应)。 典例精析 【典例1】(25-26八年级下吉林长春期末)下列条件中，不能判定△ABCAA'B'C'的是() AB BC AC A.∠A=LA'LB=LB B.4B B'Ci A'C C.份8，且BB AB AC D AB=ArC,且∠C=∠C 举一反三 【变式1-1】(2026河南洛阳·三模)下列说法：①所有的等边三角形都相似；②有一个底角相等的两 个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似；④都有一个15°角的两个直角三角形 119 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 相似，其中正确的说法是() A.②④ B.①③ C.①②④ D.②③④ 【变式12(2026广东中山：一模)如图，己知△ABC与△DEF,下列条件一定能推得它们相似的是 () B A,∠A=<D,AB=BC DE EF B.∠C=∠R,MB=AC DE DE C.∠A=∠D,∠B=∠E D.∠A=∠B,∠D=∠E 【变式13】(25-26九年级下·河北廊坊开学考试)如图，已知∠ACB=∠D=90°，请添加一个条件使 △ABC和△BCD相似，则不成立的是() B A.∠A=∠BCD B.∠ABC=∠CBD BC BD BC BD C.AC-BC D.AC"CD 题型02利用SAS判定两三角形相似 解题必备 基础知识：两边成比例且夹角相等→相似：“夹角”指成比例的那组两边的公共角，不是随便一组对角。 思维路径：题给两组边成比例→检查这两组边的公共角是否相等：若给的是“一边对角相等”十两边成比例 →不能直接判（反例存在，需补第二角转AA)。 关键步骤： AB AC 1.标两组对应边的比值（ABA'C） 2.验夹角：∠A是否是AB与AC的夹角、∠A'是否是AB与AC'的夹角 219 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3. 夹角相等→SAS成立；否则换AA路径 三 典例精析 【典例2】(25-26八年级下江苏准安期末)如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4,BC=6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是() 78o 三举-反目 【变式21】(2026四川乐山一模)如图所示，有△ABC和△ADE,小嘉同学欲添加两个条件使得 AD AE △ABC∽△ADE,现有三个条件可供他选择：①A=∠2：②∠B=∠D:③ABAC,I 则正确的组合可 以是 (填序号) D B 【变式2-2】(2026浙江金华二模)如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC2=CD·AC=6. (I)求证：△CBDn△CAB (2)若BD=AC=3,求AB的长. 【变式23】(25-26九年级下·黑龙江大庆期中)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC、AB上， 且AEAB=ADAC,连接DE,求证：△ADEP△ABC. 3/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 题型03利用SSS判定两三角形相似 解题必备 AB BC CA 基础知识：三边成比例一相似：比的顺序：A”B=BCC'A (同三角形三边放同侧)。 思维路径（网格题标准三步）： 1.排：把两个三角形的边长各自按从小到大（或从大到小）排序列出 2.算：最长最长、最短/最短、中间仲间三组比值 3.判：三组比值全相等→相似：有一组不等一不相似 关键技巧：网格中边长用勾股算(？+22=V5类)，先化简再比：若出现V2,N5,0等无理数，先平方去 根号再比更稳。 易错提醒：比的顺序乱写是网格题最大丢分点，必须“大对大、小对小、中对中”。 三典例精析 【典例3】(24-25九年级上江苏南京·期末)如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点F,点E AB BC AC 在BD上，且AEED=AD·求证： (1)∠1=∠2： (2)△ABE∽△ACD 举一反三 【变式3-1】(2425八年级下全国课后作业)如图所示，在四边形ABCD中，AB=2,BC=3, CD=6,AC=4,DA=8.求证：AC平分∠BAD. 419 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 【变式32】(2026山东烟台中考真题)如图，矩形ABCD中，AC是对角线，请解决下列问题： D B (I)将△ABC绕点A旋转后，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F,且点E在线段AC上，请 用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）： (2)在(1)的条件下，若AB=2,BC=4,EF与AD交于点G,求FG的长. 【变式3-3】(25-26八年级下·吉林长春·期末)【知识背景】如图，点E、点D分别在△ABC的边BA、 CA的延长线上，连接ED,若∠E=∠C,则△ADE与△ABC相似吗？ B E (1)请解答上述习题. 【问题探究】 (②)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接BD、CE,求∠CBD与 ∠CED的数量关系 ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由(1I)中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出△ABD与△ACE相似，从而得到 ∠ADB=∠AEC,再通过角度之间的关系，可将问题解决. 请按照小明的思路完成对△ABD与△ACE相似的证明，具体做法如下： 证明：由(I)得：△ABC∽a 5/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证明过程缺失 ∴.△ABD~△ACE .∠ADB=∠AEC(相似三角形的对应角相等)， 请补全上述证明过程. ②根据(1)和(2)①中的结论，直接写出∠CBD与∠CED的数量关系为 (③)【拓展提升】如图，在△ABD和△ACE中，∠DAB=∠EAC,EA=CA,DA=BA,延长EC交BD AE 4 BF 于点F,连接DE、AF·当∠AED=90且AD5时， ∠AFD= -EC 题型04特殊三角形相似的快速判定 三解题必备 基础知识（教材推论）： 1.有一个锐角相等的两个Rt△→相似(AA:直角已等+一锐角等) 2.直角边成比例或斜边与一直角边成比例的两个Rt△→相似(SAS特例) 3.所有等边三角形→相似(AAA,内角都60) 4.所有等腰Rt△→相似（锐角都45） 5.有一个角相等的等腰三角形→不一定相似（需明确是顶角=顶角或底角=底角才相似顶角=底角则 60vs30°反例) 思维路径：见到“特殊三角形十相似”选择题，先想“有没有反例”一一能画出反例就选“不一定”，不能 才选“一定”。 关键记忆：R△给“一锐角等”=必相似；等腰△给“一角相等”=需警惕（顶角底角未说明就不一定）。 典例精析 【典例4】(25-26九年级上·安徽合肥阶段检测)如图，在大小为4×4的正方形网格中，三角形的顶 点都在网格点上，下列是相似三角形的是() 6/9 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ① ② ③ ④ A.①和③ B.②和③ C.②和④ D.①和④ 举一反三 【变式41】(25-26九年级上·福建漳州期中)若△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使 △ABCADEF的是() A4B=3’BC=8'AC=9'DE=2,FE、16 Γ3，DF=6 B.AB=3'BC=8'4C=9,DE=16 3,FE=2'DF=6 C.AB=1,BC=2,AC=1.5,DE=2,FE=212,DF=4 D.AB=1,BC=3,AC=2,DE=33,FE=2,DF=6 【变式42】(25-26九年级上陕西咸阳期末)如图，在等边△ABC中，点D,E、F分别是边BC, AC,AB上的点，添加下列一个条件，仍不能判定△BDF∽aCED的是() B D BD CE BD DF A.BFCD B. CE DE C.∠BDF=∠CEDD.∠EDF=60° 【变式43】(25-26八年级下山东淄博期末)如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD,下列条 件中，能使△ABCADBA的是() A.AC BC=AD BD B.AB2=CD·BC C.AB2=BD·BC D.AC BC=AB AD 719 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05特殊三角形相似的判定综合 解题必备 基础知识：三种判定路径可逆用 1. 缺两角→补一组角相等（加平行线、加等角标记)； 2.缺两边夹角→补一组边比+夹角，或补两组边比： 3.缺三边→补两组边比（第三组自动由比例传递）。 思维路径（添加条件型）： 1.看已给：有几组角等？有几组边比？ 2. 选路径：己有一组角相等一优先补AA(再加一组角，最容易)；己有两组边比十夹角等一直接SA$； 己有三组边比→SSS 3.写条件：用题图里能表示的量 思维路径（先判后推型）： 1. 按题型选路径证出相似 2.由相似得对应边成比例→代入己知求未知：或把等积式转成比例式反推相似 易错提醒：“添加条件”题要写最省的条件（通常补一组角比补两组边比简单，阅卷优先认角类答案）：等 积式转比例式时，同一三角形内的边放同侧。 典例精析 【典例5】(25-26八年级下·吉林长春期末)如图，在口ABCD中，E为边BC上一点，下列给出的条件 不能判定△ABE△DEA的是(). E C BEAE C.AE AD BEAB A.∠B=∠AEDB.∠BAE=∠DEC D. AE DE 举一反三 【变式51】(25-26八年级下山东泰安·期末)如图，在△ABC与△ADE中，∠B=∠D,添加下列一个 条件不能使△ABC∽△ADE的是() 8/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B AB AD A.∠BAD=∠CAE B.BCDE C.∠C=LE n股始 【变式52】(25-26八年级下·山东泰安·期末)下列说法正确的是() A.两个直角三角形相似 B.两个等腰三角形相似 C.两个等腰直角三角形相似 D.有一个角是30°的两个等腰三角形相似 【变式53】(2026河南驻马店三模)如图，等腰Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，将△ABC绕 点B顺时针旋转30°得到对应的△DBE,AB交DE于点P.若BC=2,则PD长为() E A.23-2 B.3 C.22-1 D.√2 9/9函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01相似三角形的判定 (题型突破举一反三) 目录 题型01利用AA判定两三角形相似 题型02利用SAS判定两三角形相似 题型03利用SSS判定两三角形相似 题型04特殊三角形相似的快速判定 题型05特殊三角形相似的判定综合 题型01利用AA判定两三角形相似 典例精析 【典例1】【答案】D 举一反三 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】C 题型02利用SAS判定两三角形相似 典例精析 【典例2】【答案】B 举一反王 【变式2-1】【答案】①②或①③ 【变式2-2】 【答案】(I)证明：，BC2=CD·AC=6, 115 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC CD AC-CB' ∠C=LC, .△CBD∽△CAB (2)解：：BC2=CD·AC=6,BD=AC=3, .CD=2,BC=6, '△CBD△CAB, BD CD 2 ·.ABCB6, AB=36 2 【变式2-3】 【答案】证明：，AEAB=ADAC, AE AC .AD AB 又∠DAE=∠CAB ∴.△ADE∽△ABC」 题型03 利用SSS判定两三角形相似 三 典例精析 【典例3】 AB BC AC 【答案】(1)证明：“AEEDAD, ,:△ABC∽AAED ∴.∠CAB=∠DAE .∠CAB-∠EAF=∠DAE-∠EAF, .∠1=∠2 (2)证明：4C AE AD' 、ABAE AC AD 由(1)可知：1=∠2， 215 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴△ABEP△ACD 举一反三 【变式3-1】 【答案】证明：：AB=2,BC=3,CD=6,AC=4,DA=8 AB BC AC1 AC CD AD2· △ABCP△ACD, ∴.∠BAC=∠CAD ·.AC平分∠BAD. 【变式3-2】 M 【答案】(1)A D E B (2)解：在矩形ABCD中， .∠ABC=∠D=90°， 由(I)知△AEF≌△ABC, .AE=AB=2,EF=CB=4,∠AEF=∠B=90° ∠CAD=∠EAG,∠AEG=∠D ∴.△AEG∽△ADC, AE EG :.AD CD' 2 EG …42’ .EG=1, .FG=4-1=3」 315 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B 【变式3-3】 【答案】(I)△ADE与△ABC相似，理由如下： LE=∠C,∠EAD=∠CAB, .△ADE-△ABC: (2).△ADE一△ABC AD AEAD AB ∠AED=∠ACB'ABAC,即AE=AC, ∠DAB=∠EAC, ∴△ABD~△ACE, ∴.∠ADB=∠AEC: ②：∠AED=∠ACB,∠ADB=∠AEC, ∴.LCED=∠AEC+∠AEID=∠ADB+∠ACB=I8O°-∠CBD, ∠CBD+∠CED=180°： J (3)90: 8 题型04特殊三角形相似的快速判定 典例精析 【典例4】【答案】A 3 举一反三 【变式4-1】【答案】A 【变式4-2】【答案】B 【变式43】【答案】C 4/5 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05特殊三角形相似的判定综合 典例精析 【典例5】【答案】D 举一反三 【变式5-1】【答案】D 【变式5-2】【答案】C 【变式5-3】【答案】A 5/5