专题01 比例的性质、平行线分线段成比例、黄金分割（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01比例的性质、平行线分线段成比例、 黄金分割 内容概览 目常考题型精准突破 题型1判断线段是否成比例线段（重） 题型2利用比例的性质进行求解（重） 题型3利用比例中的等比性质进行求解（重） 题型4由平行判断成比例的线段（高频） 题型5由平行截线求相关线段的长（难） 题型6由平行截线求相关线段的比值（难） 题型7黄金分割（重） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ●考点一物质的分类● ◆题型1判断线段是否成比例线段 1.A 2.A 3.B ◆题型2利用比例的性质进行求解 4号 5.2 6. 【答案】)5 (2)24 【分析】(1)，利用比例的性质进行求解即可： 1/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设比例系数为k,用k表示a、b、C,结合三线段长度和求解k,进而得C的值 a b 【详解】(1)解：“45， a+b4+59 b=5-5 (群设号号后(02，州g秋6-政6= a+b+c=60. .4k+5k+6k=60,解得k=4, .c=6k=24 ◆题型3利用比例中的等比性质进行求解 8.-1或8 9. 【答案】(1)4：(2)2或-1 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键. (1)先根据比例的性质可得2b=30,4d=6c,6f=9e,再得出2b+4d+6f=12,代入化简即可得： (2)先根据比例的性质可得2(x+y+z=k(x+y+z,再分两种情况：①当x+y+z≠0时，则k=2;② 当x+y+2=0时，则x+y=-2,代入=即可得. a c e 2 【详解】解：(1)“bdf3, .2b=3a,2d=3c.2f=3e. ∴.4d=6c,6f=9e. …b+2d+3f=6」 .2(b+2d+3f)=2b+4d+6f=12, .3a+6c+9e=12, .3(a+2c+3e)=12. 2/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.a+2c+3e=4】 (2) .x+y=x+2=y+2=k z y x x+y=kz x+z=y,且 y+z=kxx≠0，y≠0，z≠0 .2(x+y+z)=k(x+y+z). ①当x+y+2≠0时，则k=2: ②当x+y+z=0时，则x+y=-2, k=+少=子=-1 综上，k的值为2或-1. ◆题型4由平行判断成比例的线段 10.B 11.C 12.C ◆题型5由平行截线求相关线段的长 13. 45 【答案】()4： 0g AB DE 【分析】)根据平行线分线段成比例定理得C所，求出F=芍 4,然后通过DF=DE+EF进行解答 即可； (2)根据平行线分线段成比例定理得C器，求出4B-头， AB DE 4,然后通过AC=AB+BC进行解答即可。 【详解】(1)解：∥☑∥4， AB DE ·BCEF' .AB=8,BC=10,DE=5, 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .85 .10EF, EF=25 4 ·DF=DE+EF=5+25=45 45 4=4,即DF的长为4： (2)解：：∥1∥4， 碟 DE:EF=3:4, DE 3 …EF4' AB 3 .9-4’ :B=27 4 .AC=AB+BC= 3 =4,即AC的长为4 14. 【答案】(1)EF=18 (2)BC=16 【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果； (2)根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果， 【详解】(1)解：，42， AB DE BC EF ·AB=6,BC=9,DE=12 .612 9EF' .EF=18 (2)解：：4%， AB DE BC EF .DE:EF=3:4,AC=28, 4118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB3 28-AB4 .AB=12, .BC=28-12=16 15. 0 【答案】()3 (2)15 【分析】(1)(2)根据平行线分线段成比例定理进行求解即可. 【详解】(1)解：a∥b∥c, ABDE BC EF' 34 即5EF, EF=20 Γ3； (2)解：a∥b∥c, .AB DE AC DF' AB 2 BC 3' AB_2 AC 5' 62 DF 5 DF=15. ◆题型6由平行截线求相关线段的比值 16.3 17.3:2 18. 【答案】 2k 【详解】解：①过点D作DG∥CF交AB于点G, 5/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E G B D BG BD AF AE 则GFDC'FG ED :AD是△ABC的中线， .BD=CD. BG =1,即BG=FG ..FG E为AD的中点， .AE=DE, AF =1,即AF=FG' .FG .AF =BG. AF 1 :F2 1 故答案为：2； AE 1AF AE .DE k'FG ED AF 1 .FG, 即FG=k4F, ·BG=FG .BG=FG=kAF, AF AF AF 1 BFAF+KMF2kAF2k’ 故答案为：2k° ◆题型7黄金分割 6118 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19. 【答案】()105-10)米 (2(205-40) 35-24 AC 5-1 【分析】（山）由黄金分别的定义得到82，据此求解即可： (2)同理可得BD=(105-10)米，求出AD的长，再根据线段的和差关系可得答案： (3)同(2)求解即可. AC 5-1 【详解】（山解：由题意得，B2, .AB=20米， 4C=514B=5,×20=00w5-10)米： 2 2 (2)解：同理可得BD=(10W5-10)米， .AD=AB-BD=20-(105-10)=(30-105)米 :CD=AC-AD=(105-10)-(30-105)=(20W5-40)米： (3)解：设舞台EF的长为L,点G为靠近F点的黄金分割点，点H为靠近E点的黄金分割点， .EG5-1FH5-1 “EF2F2, G=5-1r-5-L,FH=5-lr=5-L 2 2 2 2 :.EH-EF-FH-1-15-1L-3-15L 2 2 :Gh=BG-BH-5-L-35L=(5-2. 2 2 20. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正五边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及黄金分割点的证明；解题 7118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的关键是利用正五边形的弧与角的关系，通过等腰三角形性质和相似三角形（正确的是△CDF∽△ADC) 推导黄金分割关系。 (I)利用正五边形内角和与等腰三角形性质，求出∠AEF和∠AFE的度数，证明两角相等，从而得到 AE=AF: (2)通过证明△CDF∽△ADC,得到比例式，结合AE=CD=AF,推导出AF2=DF·AD,证明F为 AD的黄金分割点， 【详解】(1)证明：，五边形ABCDE是正五边形， E D (5-2)×180° .每个内角为 =108° 5 .∠CDE=108°. 又，CD=DE」 ∠CED=180°-108 =36°， .∠AEF=∠AED-∠CED=108°-36°=72°， :D元的度数-360 =72° 5 ·D4-x72=36. 在△AEF中，∠AFE=180°-∠DAE-∠AEF=180-36°-72°=72°， .∠AEF=∠AFE, .AE=AF」 (2)证明：，五边形ABCDE是正五边形， ∴.CD=DE,CD=DE, .∠CAD=∠DCE=36°，即∠CAD=∠DCF, ,AC的度数为AB度数与BC度数之和，为72°+72°=144°， :aDc=l4=2, 2 8/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理，∠ACD=72° ∴.∠ACD=∠ADC,即∠ACD=∠FDC, 又∠CAD=∠DCF. ∴.△ADCACDF. CD DF AD-CD,即CD=DF,AD' .CD=AE=AF, AF2=DF·AD, .F点为AD的黄金分割点. 21. 【答案】 (1)解：设AB=1,AC=x,则CB=1-x. CB AC AC AB' 1-x_x x1 解得：x=2二，=二5 2 (舍)， AC 5-1 :.AB 2， 5-1 黄金比为2· (2)证明：，四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形， .∠EAB=∠BCD=9O°，AC=CD=AE=DE=BF,BC=DF, ,点C为线段AB的黄金分割点， AC BC ABAC' CD BC ABAE' :∠EAB=∠BCD=90°， .△EAB∽△BCD: (3)证明：：五边形ABCDE是正五边形， 9118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠BAE=∠AED=(5-2)x180 =108° 5 AB=AE=DE, MBE=∠ABM=∠DME=∠1DE=XI80-108)=36。 .∠DME=∠AEM+∠DAE=36°+36°=72°， .∠DEM=∠AED-∠AEM=108°-36°=72°， ∴.∠DME=∠DEM, ∴.DM=DE=AE, .∠DAE=∠DAE,∠ADE=∠AEM=36° ∴.△AMEr△AED, AE AM ·ADAE’ DM AM ADDM’ ∴点M是AD的黄金分割点. AC BC 【分析】(1)AC=x,则BC=1-x·根据黄金分割点，得ABAC,代入数值计算，即可作答： (2)由正方形和矩形的性质得出∠EAB=∠BCD=90°，AC=CD=AE=DE=BF,BC=DF,由点C为 线段AB的黄金分割点，根据相似三角形的判定即可得出结论： (3)根据正五边形的性质得到∠DAE=∠DAE,∠ADE=∠AEM=36°，推出△AME∽aAED,根据相似三 角形的性质得到AE:AD=AM:AE,得到AE2=AD·AM,等量代换即可得到结论 【详解】略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.D 2.C 3.B 4.A 10/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.D 二、填空题 6.1 7 7.5 8.105-10 10.25或2W4+2√2 三、解答题 11. 【答案】()5 (2)26」 详解】山解：设-？三k,则。=3X,b=2 a-b_3k-2k1 a+b3k+2k5: (2)解：由(1)得a=3k,b=2k, .a+b=10. 3k+2k=10. .k=2,a=6,b=4, 线段x是线段a,b的比例中项， x2=ab=24, x=2W6(负值已舍去). 12. 【答案】(1)3：5 (2)AF=2 【详解】(1)解：因为DE=3,EF=2, 所以DE:EF=3:2, 又因为FH∥AB, 。 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以DB:BH=DE:EF=3:2, 所以DBDH=35; (2)解：因为BD=BC,DB:BH=3:2 所以BCBH=32 因为FH∥AB, 所以ACAF=BCBH=32, 又因为AC=3 所以AF=2. 13. 【答案】(I)△ABC的面积为6： (2)k的值为1或-2. 【保16)解：设告生2-生 =m ∴a+4=3m,b+3=2m,c+8=4m, ∴.a=3m-4,b=2m-3,c=4m-8, ,a+b+c=12, .3m-4+2m-3+4m-8=12, .m=3 .a=5,b=3,c=4, .b+c2=a2, .△ABC是直角三角形， ·△ABC的面积为2×3×4=6： (2)解： a+b-c_a-b+c=-a+b+c=k b .a+b-c=ck①，a-b+c=bk②，-a+b+c=ak③. ①+②+③得(a+b+c)k=a+b+c, 当a+b+c≠0时，k=1, 当a+b+c=0时，a+b=-C, :k=c-=-2 12/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上可得：k的值为1或-2. 14 AM 1 【答案】()AB3 (2)证明：过点D作DE∥PM交AB于E, A M D AM AP .AE AD' 又.PM∥AC, .DEI‖AC, AE CD AB BC' AM AM AE AP CD AB AE AB AD BC AN AP BD 同理可得：AC AD BC' AM,AN AP CD BD AP ∴.AB AC AD（BC BC AD AM AN AP 即ABAC AD 【详解】(I)解：过点D作DE∥PM交AB于E, M B D AM AP AEAD' 13/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP:PD=2:1, AM AP 2 ·AE=AD3 .PM∥AC」 :DE ll AC, AE CD ·BEBD' ,点D为BC中点， ∴点E是AB中点， .AM_AM_12_1 AB2AE233 (2)略 15. 【答案】(1,2 (2)3 (3)60 【详解】(1)解：，DF//BE,BD=DC, CF CD FE BD =1, ..CF=FE, .'EC=2FE, -60, .EC=2AE」 .AE=FE. AGAE=1, ·GDEF ∴.AG=GD, AGAG 1 AD-AG+GD2 14/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：，D是BC的中点，F是EC的中点， ∴.DF是△BEC的中位线， :DF-IBE 又G是AD的中点，E是AF的中点， ∴.GE是△ADF的中位线， GE-1DF-1BE 2 4 .BE=BG+GE, 3 ..BG=BE--BE=BE, 4 4 3BE BG_4=3」 因此GB1BE 4 (3)解：延长AD交BF延长线于H, H ,平行四边形ABCD中，AD‖BC, ∠CBF=∠H, .∠BFC=∠HFD,CF=DF, .△BCF≌aHDF(AAS), :BC=DH, AD=BC, .AD DH, 取HM的中点N,连接DN, 15/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则AM=2DN,DNII AM. .∠NDF=∠MCF, .CF=DF,∠CFM=∠DFN, .△CFM≌aDFN(ASA), ..CM=DN, .AM =2CM, 延长AC到点P,使MP=AM, 则MP=2CM. ∴.CP=CM, 在BF上取点T,Q,使GT=BG,M0=GM,连接CT,Pg, .∠AMG=∠PMQ .△AGM≌aPOM(SAS), :.AG=PO,∠GAM=∠P」 .AG∥Pg E是BC中点， .BE CE. .CT=2EG.CT EG CT∥Pg, MT MC ∴TgCP .MT=TO. .PO=2CT=4EG ,AG=4EG」 .AE=AG+EG=5EG」 ,△ABE的边AE上的高和△BEG的边EG上的高相同， S.ABE=5S.EG, S.BEG=3, SABCD=2S.48C=4SAE=20S.BEG=60 16. 16/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】①5-1 2 (2)设MW的长为2， 如图1：由折叠的性质可得：BC=NC=WB=MN=2, 如图2：由折叠的性质可得：AC=号NC=1, 如图3：由勾股定理可得：AB=√AC+BC2=√ 由折叠的性质可得：AD=AB=√5， :.CD=AD-AC=5-1, CD 5-1 如图4：8C=2 所以矩形BCDE为黄金矩形. (3)四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长的比值总是定值，这个定值是2，理由如下： 如图，连接GE,设正方形的边长为l,设EB=n,则AE=1-n, B 设DG=x,则AG=1-x, 根据折叠，可得GH=GD=x,CH=CD=1, 在RtaBEC中，EC=VEB2+BC2=Vn2+1, .EH=V1+n2-1, 在Rt△AEG,RtAGHE中，AG2+AE2=GE2,GH2+EH2=GE2, ∴.AG2+AE2=GH2+EH2」 :-x+-m-(+m-+,整理得：x=+- ∴.四边形AGHE的周长为1-x+x+V1+n2-1+1-n=V1+n2-n+1=x+1 矩形GDCK的周长为2(GD+DC)=2(x+I), 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值2. 22m+1-1 V221+1-1V5-1 【详解】（1)解：将n=代入 可得： 2" 2 2 (2)解：略 (3)解：四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长的比值总是定值，这个定值是2，理由略. 18/18 专题01 比例的性质、平行线分线段成比例、黄金分割 常考题型·精准突破 题型1 判断线段是否成比例线段（重） 题型2 利用比例的性质进行求解（重） 题型3 利用比例中的等比性质进行求解（重） 题型4 由平行判断成比例的线段（高频） 题型5 由平行截线求相关线段的长（难） 题型6 由平行截线求相关线段的比值（难） 题型7 黄金分割（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 物质的分类 ◆题型1判断线段是否成比例线段 1．（26-27九年级上·上海·阶段检测）下列各组长度的线段，成比例线段的是（     ） A．2 cm，4 cm，4 cm，8 cm B．2 cm，4 cm，6 cm，8 cm C．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm D．2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm 【答案】A 【分析】判断四条线段是否成比例线段，可验证最大数与最小数的乘积是否等于中间两数的乘积，相等则为成比例线段，据此选出正确选项． 【详解】解：A选项，，，乘积相等，是成比例线段． B选项，，不是成比例线段． C选项，，不是成比例线段． D选项，，不是成比例线段． 故选：A． 2．（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）下列四组数作为长度的线段中，是比例线段的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【详解】解：A、由于，则四条线段成比例线段，故A选项符合题意； B、由于，则四条线段不成比例线段，故B选项不符合题意； C、由于，则四条线段不成比例线段，故C选项不符合题意； D、由于，则四条线段不成比例线段，故D选项不符合题意． 3．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）下列四组线段中，是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】判断四条线段是否成比例，先把四条线段从小到大排序，再验证最大数最小数是否等于中间两数的乘积，相等则为成比例线段． 【详解】解：，，，，排序：，，， ，， ，故A项错误． ，，，，排序：，，，， ，， ，故B项正确． ，，，，排序：，，，， ，， ，故C项错误． ，，，，排序：6，，，， ， ，故D项错误． ◆题型2利用比例的性质进行求解 4．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知，那么______． 【答案】 【分析】将所求分式拆分变形，代入已知比例即可计算． 【详解】解：． 5．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）如果，则___________． 【答案】 【分析】根据已知等式分别求出，，的值，再代入所求式子计算即可. 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， 将，，代入得． 6．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）已知线段a、b、c，且． (1)求的值为 ； (2)若线段a、b、c满足，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用比例的性质进行求解即可； （2）设比例系数为，用表示、、，结合三线段长度和求解，进而得的值. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设（），则，，， ∵， ∴，解得， ∴. ◆题型3 利用比例中的等比性质进行求解 7．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知的值为_____． 【答案】 【详解】解：，且， ． 8．（26-27九年级上·广东深圳·自主招生）已知，则_________． 【答案】或 【分析】设，再整理，分和两种情况进行作答． 【详解】解：设， 则①， ②， ③， 得，， 当时，原式， 当时，，则， 原式． 故答案为：或． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）（1）已知，则_____． （2）已知，求的值． 【答案】（1）4；（2）2或 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． （1）先根据比例的性质可得，，，再得出，代入化简即可得； （2）先根据比例的性质可得，再分两种情况：①当时，则；②当时，则，代入即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴，且， ∴， ①当时，则； ②当时，则， ∴； 综上，的值为2或． ◆题型4 由平行判断成比例的线段 10．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理及其推论，结合相似三角形的性质，逐项判断比例式是否成立； 【详解】解：对于A，， ， ，故A不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，故B符合题意； 对于C，， ， 又， ，故C不符合题意； 对于D，， ，故D不符合题意． 11．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，，与相交于点，则下列结论中正确的个数是（     ） ①；②；③；④；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】已知，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴正确的结论有①、②、③、⑤，共4个． 12．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，直线，直线分别交于点，，，直线分别交于点，，，与相交于点．若直线之间的距离相等，，则下列比例式中，不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，结合已知条件直线之间的距离相等，逐一分析每个选项是否成立． 【详解】解：，且之间的距离相等， ． ， ，故选项正确； ，， ， ，故选项正确； ， 选项错误； ， ， , ， ，故选项正确． ◆题型5 由平行截线求相关线段的长 13．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，，直线，分别交直线，，于点，，和点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得，求出，然后通过进行解答即可； 根据平行线分线段成比例定理得，求出，然后通过进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的长为． 14．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知直线、、，分别交直线于点、、，交直线，于点，且． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ， ． ◆题型6 由平行截线求相关线段的比值 16．（2026·河北保定·二模）如图，在中，是边上的中线，F是的中点，连接并延长交于点E，则的值为______． 【答案】 【分析】过点D作的平行线，得到中点G，再用平行线分线段成比例定理得到，然后求出的值． 【详解】解：如图，过点D作交于点G， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26八年级下·上海·期中）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点，过点作于点，则为___________． 【答案】 【分析】由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 18．（25-26九年级上·河北·单元复习）如图，是的中线． ①若为的中点，射线交于点，则的值为____________： ②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为____________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线性质、平行线分线段成比例定理，解题的关键是通过作平行线构造比例关系，利用中线和线段比例求出的值． ①通过作，利用平行线分线段成比例定理和中线性质，结合是中点的条件，推出与的比例关系． ②依据平行线分线段成比例定理和已知的，推导出与的比例关系． 【详解】解：①过点作交于点， 则， 是的中线， ， ，即， 为的中点， ， ，即， ， ， ， 故答案为：； ， ，即， ， ， ， 故答案为：。 ◆题型7 黄金分割 19．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）阅读材料： 黄金分割定义：点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，比值称为黄金比．一条线段上存在两个黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点位置，视觉效果最好．舞台总长20米． (1)主持人站在距离点较远处的黄金分割点，求； (2)舞台上还有另外一个黄金分割点，则的长为______米； (3)若舞台长为，求两个黄金分割点之间距离．（用含的代数式表示） 【答案】(1)米 (2) (3) 【分析】（1）由黄金分割的定义得到，据此求解即可； （2）同理可得米，求出的长，再根据线段的和差关系可得答案； （3）同（2）求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵米， ∴米； （2）解：同理可得米， ∴米， ∴米； （3）解：设舞台的长为L，点G为靠近F点的黄金分割点，点H为靠近E点的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）图中正五边形内接于中，连接，，，交于点F． (1)求证：； (2)求证：F点为的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正五边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及黄金分割点的证明；解题的关键是利用正五边形的弧与角的关系，通过等腰三角形性质和相似三角形（正确的是）推导黄金分割关系． （1）利用正五边形内角和与等腰三角形性质，求出和的度数，证明两角相等，从而得到； （2）通过证明，得到比例式，结合，推导出，证明为的黄金分割点． 【详解】（1）证明：∵ 五边形是正五边形， ∴ 每个内角为， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵的度数 ， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ． （2）证明：∵ 五边形是正五边形， ∴ ，， ∴ ，即， ∵的度数为度数与度数之和，为， ∴， 同理，， ∴ ，即， 又， ∴ ， ∴ ，即， ∵ ， ∴ ， ∴ 点为的黄金分割点． 21．（25-26九年级上·广东惠州·期末）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 （1）如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； 【知识迁移】 （2）如图2，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连接、．求证：； 【延伸拓展】 （3）如图3，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【答案】 （1）解：设，则． ∵， ∴， 解得：（舍）， ∴， ∴黄金比为． （2）证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵， ； （3）证明：∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的黄金分割点． 【分析】（1），则．根据黄金分割点，得，代入数值计算，即可作答； （2）由正方形和矩形的性质得出，，，由点为线段的黄金分割点，根据相似三角形的判定即可得出结论； （3）根据正五边形的性质得到，，推出，根据相似三角形的性质得到，得到，等量代换即可得到结论 【详解】略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项的比例式转化为等积式，与已知推导的对比，判断等式是否成立； 【详解】解：∵， ∴，且均不为0. ∵， ∴ ，与已知一致， ∴ A成立； 设，则，， 当时， ∴， ∴ B成立； ∵，，， ∴， ∴C成立； ∵， ∴，与不一定相等， ∴ D不成立； 2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，中若，，则下列比例式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的理解及运用，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【详解】解：A.∵， ∴，， 该选项错误，不符合题意； B.∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即， 该选项错误，不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项正确，符合题意； D.∵， ∴， 该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知，若，，则（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【详解】本题考查了比例的性质，由题意得即可求解． 【分析】解：∵， ∴，，， ∴， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 4．（2026·广东清远·二模）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得出，，根据平行线分线段成比例定理，可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ， ∴． ． 5．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意得到，再把代入所求式子中约分，即可得到答案． 【详解】解：， ， ． 7．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）若，则的值为______． 【答案】 【分析】设，则，，，据此代入所求式子求值即可． 【详解】解：设，则，，． 将，，代入中，得： ∵， ∴分子分母可约去，结果为． 又∵， ∴． 8．（25-26八年级下·广东东莞·期中）我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图是意大利著名画家达•芬奇（，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内（），图中四边形为正方形，矩形为黄金矩形．若．则_____． 【答案】 【分析】、是矩形，是正方形，设的边长为，矩形为黄金矩形，根据宽与长之比为，列出分式方程，解方程即可求解答案． 【详解】解：设正方形的边长为， ∴， ∵四边形，是矩形， ∴， 而， ∴， ∵矩形为黄金矩形， ∴， 即， 解得， 检验，当时，，有意义， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴． 9．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 【答案】 【分析】取的中点F，连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵D为边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）在矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以D，M，N，为顶点的三角形是直角三角形时，则对角线的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理与分类讨论思想，需分两种情况讨论直角顶点的位置，分别求出的长度，再利用勾股定理计算对角线的长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图，当时，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 由平行线分线段成比例得， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：； ②如图，当时，则， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：； 为对角线与边的夹角，不可能为直角，故此种情况不存在。 综上所述，的长为或. 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知，满足， (1)求的值； (2)若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）设 ，则，，然后代入即可求解； （）由（）得，，则，所以，，，又线段是线段，的比例中项，所以， 然后求出的值即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵， ∴， ∴，，， ∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∴（负值已舍去）． 12．（26-27九年级·浙江·暑假作业）如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【详解】（1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 13．（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）计算： (1)已知，，为的三边，，且，求的面积． (2)如果，求的值． 【答案】(1)的面积为； (2)的值为或． 【分析】本题主要考查了比例的性质，勾股定理逆定理，直角三角形面积的计算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，可得，，，又，代入求得，则有，，，然后通过勾股定理逆定理可得是直角三角形，最后由直角三角形面积公式即可求解； （）由，则，，，所以得，然后分当时和当时两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积为； （2）解：∵， ∴，，， 得， 当时，， 当时，， ∴， 综上可得：的值为或． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 即． 【分析】（1）先过点作交于，从而可得出，于是可列出比例式，再根据点是中点，结合得出结论； （2）先过点作交于，从而可得出，再得出，从而可得，这样就可得到，然后同理可得：，于是可得出结论． 【详解】（1）解：过点作交于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴点是中点， ∴； （2）略 15．（25-26八年级下·吉林长春·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 【答案】(1)1； (2)3 (3)60 【分析】（1）因为，，所以用平行线分线段成比例定理可得是中点，得到与的比值；再结合与的比例关系，用平行线分线段成比例定理可求与的比值； （2）可利用（1）中得到的线段比例关系，结合，推导与的比值； （3）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合是中点、的条件，用全等三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理得到线段与，与的比例，再根据同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导各部分面积与面积的关系，最终求出平行四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，是的中点， 是的中位线， ∴． 又是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ， ， 因此． （3）解：延长交延长线于， ∵平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 取的中点N，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点P，使， 则， ∴， 在上取点T，Q，使，，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴    ， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴， ∵， ∴． 16．（2026·贵州安顺·二模）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． (1)概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽与长的比值是________． (2)操作验证：黄金矩形可通过下面的折纸方法得到． ①在一张矩形纸片的一端，按图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处．            ④展平纸片，按照所得到的点折出． 请说明为什么矩形为黄金矩形．（提示：设的长为2） (3)探究发现： 小明在操作时发现：如图5，点为正方形边上任意一点（点不与端点重合），连接，先折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；再过点折叠纸片，使得点，分别落在边，上，展开，折痕为，则四边形的周长与矩形的周长的比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)设的长为2， 如图1：由折叠的性质可得：． 如图2：由折叠的性质可得：； 如图3：由勾股定理可得： 由折叠的性质可得：， ∴， 如图4：， 所以矩形为黄金矩形． (3)四边形的周长与矩形的周长的比值总是定值，这个定值是，理由如下： 如图，连接，设正方形的边长为1，设，则， 设，则， 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴． ∴，整理得：， ∴四边形的周长为 矩形的周长为， ∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值． 【分析】（1）将代入计算、化简即可； （2）利用折叠的性质可得、、，勾股定理可得，再利用线段的和差以及黄金矩形的定义即可解答； （3）如图，连接，设正方形的边长为1，设，则，设，则，利用折叠的性质、勾股定理可得，进而得到四边形的周长为，矩形的周长为，最后求比例即可． 【详解】（1）解：将代入可得：． （2）解：略 （3）解：四边形的周长与矩形的周长的比值总是定值，这个定值是，理由略． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01比例的性质、平行线分线段成比例、黄金分割 内容概览 目常考题型精准突破 题型1判断线段是否成比例线段（重） 题型2利用比例的性质进行求解（重） 题型3利用比例中的等比性质进行求解（重） 题型4由平行判断成比例的线段（高频） 题型5由平行截线求相关线段的长（难） 题型6由平行截线求相关线段的比值（难） 题型7黄金分割（重） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 一●考点一物质的分类● ◆题型1判断线段是否成比例线段 1.(26-27九年级上·上海阶段检测)下列各组长度的线段，成比例线段的是() A.2 cm.4 cm,4 cm.8 cm B.2 cm,4 cm,6cm,8 cm C.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm D.2.1cm,3.1cm,4.3cm,5.2cm 2.(26-27九年级上湖南湘潭阶段检测)下列四组数作为长度的线段中，是比例线段的一组为() A.a=l,b=√2，c=5,d=V6 B.a=1,b=2,c=3,d=4 C.a=5,b=6,c=7,d=8 D.a=4,b=6,c=6,d=8 3.(26-27九年级上四川成都·阶段检测)下列四组线段中，是成比例线段的是() A.a=10,b=20,c=30.d=40 B.a=5,b=50,c=500,d=5000 C.a=1,b=V2,c=3,d=5 D.a=6,b=8,c=10,d=12 ◆题型2利用比例的性质进行求解 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x.5 x-y 4.(26-27九年级上上海闵行阶段检测)己知y3,那么y 20_=9-2,则18 5.(26-27九年级上河南南阳阶段检测)如果567 2a+b+c」 abc 6.(26-27九年级上广东佛山阶段检测)已知线段ab、c,且456 @求炉的位为 (2)若线段ab、c满足a+b+c=60,求c的值. ◆题型3利用比例中的等比性质进行求解 b=c=e=20 亿2627九年级上陕西西安阶段检测)已知。7a+1+/≠0,6十6叶 ”a+d+f的值为 8.(26-27九年级上广东深圳自主招生)已知a一 b+c-a_c+a-b_a+b-c m(a+b)(b+c)(a+c)_ b c一，则 abc a-c-e-2,b+2d+3f=6,则a+2c+3e= 9.(25-26九年级上安徽合肥阶段检测)(1)已知6df3’ x+y+2-y+2=k,求的值 (2)己知zyx ◆题型4由平行判断成比例的线段 10.(26-27九年级上·上海闵行·阶段检测)如图，已知△ABC,直线与边AB、AC分别相交于点D、E, 直线马与边AB、AC分别相交于点R、G,∥L∥BC,那么下列比例式一定正确的是() D AD DE A. 80然 DF GC BFGC c,0 D.BF-EG 11,(26-27九年级下全国课后作业)如图，AB‖CD‖EF,AF与BE相交于点O,则下列结论中正确 的个数是() 2/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B AD BC CE DF 、BCAD CE AD AF BE ①DF=CE:②BE=AF:③BE=AF:④EF=AB:⑤FO=EO A.2 B.3 C.4 D.5 12.(26-27九年级下全国单元复习)如图，直线，直线AB分别交4，h,4于点A,F,B,直线 CD分别交，2，于点C,E,D,AB与CD相交于点O.若直线l,2,之间的距离相等，E0=OC,则 下列比例式中，不成立的是() B AC 1 A. DB 3 B. 0C_1 0C_1 EF 1 DC4 C. DO-OC 3 D.AC+DB4 ◆题型5由平行截线求相关线段的长 13.(26-27九年级上河北石家庄阶段检测)如图，4∥1∥，直线α，b分别交直线，，于点A, B,C和点D,E,F. D A E 12 B Cl3 6 Q (1)若AB=8,BC=10,DE=5,求DF的长： (2)若DE:EF=3:4,BC=9,求AC的长。 14.(26-27九年级上全国单元测试)如图，已知直线4、h、,分别交直线4于点A、B、C,交直 线马，于点DE、F,且☑4. 3/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15 D A 2 CAF -13 (I)若AB=6,BC=9,DE=12,求EF的长： (2)若DE:EF=3:4,AC=28,求BC的长. 15.(26-27九年级上全国课后作业)如图，直线ab‖c,分别交直线m于点A,B,C,交直线n于点 D,E,F. m n A D B 6 C -c (I)若AB=3,BC=5,DE=4,求EF的长： AB 2 ②若BC3,DE=6,求DF的长， ◆题型6由平行截线求相关线段的比值 I6.(2026河北保定·二模)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD的中点，连接BF并延长 AE 交AC于点E,则EC的值为一 17.(25-26八年级下·上海期中)如图，△ABC中，∠A=90°，AB=6,BC=10,∠ABC的平分线交AC于点 D,与BC的垂线CE相交于点E,过点D作DF⊥BC于点F,则BD:DE为 B 18.(25-26九年级上：河北单元复习)如图，AD是△ABC的中线. 4111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D AF ①若E为AD的中点，射线CE交AB于点F,则BF的值为 4E-1 AF ②若E为4D上的一点，且DE,射线CE交4B于点F,则BF的值为 ◆题型7黄金分割 19.(26-27九年级上·湖北十堰阶段检测)阅读材料： AC_BC 黄金分割定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC(4C>BC),如果AB=AC,那么称线段AB被点 C黄金分制，点c叫做线段B的黄金分割点，比值 2称为黄金比.一条线段上存在两个黄金分割点。 主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点位置，视觉效果最好.舞台AB总长20米. (I)主持人站在距离A点较远处的黄金分割点C(4C>BC),求AC: (2)舞台上还有另外一个黄金分割点D(4D<DB),则CD的长为一米： (3)若舞台长为L,求两个黄金分割点之间距离.（用含L的代数式表示） 20.(24-25九年级下·湖南湘潭自主招生)图中正五边形ABCDE内接于⊙0中，连接AC,AD,CE, CE交AD于点F, B E (I)求证：AE=AF: (2)求证：F点为AD的黄金分割点. 21.(25-26九年级上广东惠州期末)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割 5/11 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CB AC 成长、短两条线段4C~CB,若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即4CAB,则这 种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点， D B C B B 图1 图2 图3 【问题初探】 (I)如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC),求黄金比. 解：设AB=l,AC=x,则CB=1-x. 爱指 请补全以上解题过程； 【知识迁移】 (2)如图2，点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC),分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形 ACDE和矩形CBFD,连接BD、BE.求证：△EAB∽△BCD: 【延伸拓展】 (3)如图3，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M.求证：点M是AD的黄金分割点. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 a c 1.(26-27九年级上全国课后作业)若6ac≠0)成立，则下列等式不成立的是() b d a+c a A. B.b+db C.atb_c+d a b a c D.dc 2.(25-26九年级上甘肃兰州期中)如图所示，△ABC中若DE∥BC,EFI‖AB,则下列比例式正确的 是() 6111 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D AD_DE A.BD BC B. BFEF BC AD c EF DE D.ADBC 3. (25-26九年级上宁夏银川期中)己知6d子3，若 +c+e=20'b+d+f≠0，则b+d+f= () A.12 B.15 C.16 D.18 4.(2026广东清远二模)如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线，14，，4上.若直线 AG 4∥∥，∥1，且间距相等，AD交直线，于点G'AB=4'BC=3则CD的值为() D G C 夕 A.8 B.4 c. D. 15 15 5-1 5.(25-26八年级下辽宁大连期末)宽与长的比是2 的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视 觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形ABCD截掉正方形AEFB后，剩余的矩形 CDEF仍是黄金矩形，AD是30.86m,求CD的长度，设CD的长度是xm,根据题意，下列的方程中正确 的是() A D F C ①，x=5-1 0.86-xV5-1 30.86√5+1 30.862:② 2:®30=30.86-x 30.86 2 7111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.① B.①③ C.①②④ D.①②③④ 二、填空题 6(25-26九年级上安徽安庆期末)若，5’则+a的值为 口2526九年级上湖南棉州阶段检)若。，，5则十b+2d-3/0的值为 V5-1 8.(25-26八年级下广东东莞期中)我们将宽与长之比为2的矩形称为黄金矩形.如图是意大利著 名画家达，芬奇(davinci,1452~1519年)的名画《蒙娜丽莎》，画面中脸部被围在矩形ABCD内( AB>AD),图中四边形BCEF为正方形，矩形ADEF为黄金矩形.若AB=2Ocm.则CE=cm. D E 9.(25-26九年级上·上海青浦期中)如图，在△ABC中，D为BC边上的中点，点E为AC边上一点， BE交D于点Q,当号时，则8一 AG 10.(2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习)在矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上， 且AW=AB=2.当以D,M,N,为顶点的三角形是直角三角形时，则对角线BD的长为 三、解答题 a b 11.(25-26九年级上浙江温州期末)已知a'b满足32， a-b (①)求a+b的值： (②)若a+b=10且线段x是长为a,b的线段的比例中项，求线段x的长 12.(26-27九年级浙江·暑假作业)如图，在△ABC中，延长CB至点D,使BD=BC,在AC上取一点 F,连接DF交AB于点E,过F点作FH∥AB交CD于点H,己知AC=DE=3,EF=2. 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B H (1)DB:DH= (2)求AF的长， 13.(25-26九年级上·四川达州阶段检测)计算： 02知26：6为1Bc的E边.2号咎-片 =4,且a+b+c=12:求AABC的面积. ②如果+h-C--+C-at+C-长，求的值 c b a 14.(26-27九年级上全国课后作业)如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作 PM∥AC交AB于点M,作PNI‖AB交AC于点N B (I)若点D是BC的中点，且AP:PD=2:L,求AM:AB的值： AM⊥AN_AP (②)若点D是BC上任意一点，试证明：AB+AC=AD 15.(25-26八年级下·吉林长春·期末)综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用. 图1 图2 ①【阿步探】在A1BC中DE分别为BCAC的动点，若BD=DC,AE-C,连接4D:BE 21 交于点G.如图1，若过D作DF∥BE,交AC于F,则CF与FE的比值为 _；AG与AD的比 值为 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在(1)的条件下，求出BG与GE的比值： (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE、AC 分别交于点G、M,若CF=DF,△BEG的面积为3，则ABCD的面积为_ 16.(2026贵州安顺·二模)综合与实践 定义：将宽与长的比位为2+1-1（为正整数)的矩形称为.阶奇妙矩形。 2 H G 图5 (I)概念理解：当=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽与长的比值是 (2)操作验证：黄金矩形可通过下面的折纸方法得到. M ①在一张矩形纸片的一端，按图1的方法折出一 C 个正方形，然后把纸片展平 图1 M B ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形， NAC 再把纸片展平. 图2 M B ③折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图3 AC D 中所示的AD处. 图3 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B E ④展平纸片，按照所得到的点D折出DE. N CD 图4 请说明为什么矩形BCDE为黄金矩形.（提示：设MN的长为2） (3)探究发现： 小明在操作时发现：如图5，点E为正方形ABCD边AB上任意一点（点E不与端点重合），连接CE,先 折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H,展开，折痕为CG;再过点G折叠纸片，使得点A,B 分别落在边AD,BC上，展开，折痕为GK,则四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长的比值总是定 值.请写出这个定值，并说明理由。 11/11