专题05 比例的性质、黄金分割、平行线分线段成比例（六大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例的三阶突破体系，强化代数变形与几何构造的逻辑关联，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|2大原则|比例变形底线+平行线对应规则|从代数性质到几何应用的递进| |题型归纳|6题型18典例|比例三性质（基本/合比/等比）、黄金分割公式、平行线构造策略|难度梯度：纯计算→证明→辅助线构造| |压轴挑战|14题|多比例联立+动态模型|整合核心知识解决综合问题|

专题05 比例的性质、黄金分割、平行线分线段成比例 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用比例的性质求解 题型二、利用黄金分割求解线段长度 题型三、证明黄金分割点 题型四、由平行判断成比例的线段 题型五、由平行截线求相关线段的长或比值 题型六、构造平行截线求相关线段的长或比值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 成比例线段是初中数学的重难点，所有题型均围绕比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是比例变形注意线段长度为正数，比例式交叉相乘时保证分母不为 0；二是看清图形中平行线位置，区分对应线段，必要时作辅助线构造平行线，求出结果后核对线段之间的对应关系。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用比例的性质求解 题型模版 1.特征：题目给出比例式，或连比形式，求线段、代数式的值或者参数，无平行线几何条件，纯代数比例计算。 2.方法：灵活使用比例的基本性质、合比性质、等比性质；常设比值，将所有线段统一用含的式子代换求解；解题需保证分母不为0，线段长度结果只取正数。 【例1】已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【例2】已知，则的值是____________． 【变式1-1】若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，则__________． 【变式1-3】已知，则k的值为_________． 题型二、利用黄金分割求解线段长度 题型模版 1.特征：已知线段存在黄金分割点，给出整条线段长或其中一段线段长，求解剩余线段长度，核心区分较长线段、较短线段，是固定比值计算题型。 2.方法：牢记黄金比值，较长线段全线段，较短线段全长较长段；计算后核对线段大小逻辑，严格舍去负数解。 【例3】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【例4】2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【变式2-1】已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【变式2-2】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 【变式2-3】一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 题型三、证明黄金分割点 题型模版 1.特征：已知一条线段及线段上一个分点，无直接比值条件，需要通过线段长度推导，证明该点为线段的黄金分割点。 2.方法：求出整条线段、分点分割后的长短两段线段长度，验证核心公式（较长段平方=全长×较短段），等式成立即可判定该点为黄金分割点。 【例5】宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 【例6】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由． 【变式3-1】如图，已知中，，且，请在图中按如下要求进行操作和证明： (1)用圆规在上截取，保留痕迹，标注点；再以点为圆心，为半径画弧交于点，保留痕迹，标注点； (2)证明点是线段的黄金分割点． 【变式3-2】宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接．然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形． 【变式3-3】如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 题型四、由平行判断成比例的线段 题型模版 1.特征：几何图形中存在现成平行线，包含三角形内底边平行线、多条平行截线，要求准确找出图中所有成比例的对应线段。 2.方法：依据平行线分线段成比例定理，精准定位被平行线截取的对应线段，遵循“上比下、上比全、下比全”的对应规则，杜绝分子分母颠倒，完整写出所有比例线段。 【例7】如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例8】如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 【变式4-1】如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】在中，已知是的角平分线，求证：． 【变式4-3】如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型五、由平行截线求相关线段的长或比值 题型模版 1.特征：图形自带完整平行线结构，包含平行线截直线、三角形平行底边A型、X型模型，题干给出部分已知线段长度，无需辅助线，直接求解未知线段长度或线段比值，是中考基础必考题型。 2.方法：直接根据平行线分线段成比例定理，找准一一对应的线段列比例方程，通过交叉相乘转化为整式方程求解；解题核心底线为严格对应线段位置，区分同侧、对应线段，杜绝比例错位，最终舍去负数、不合理的线段长度，检验结果符合图形大小关系。 【例9】如图，在中，平分，过A点作，垂足为F并延长交于点G，D为中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例10】如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【变式5-1】如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【变式5-2】如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 题型六、构造平行截线求相关线段的长或比值 题型模版 1.特征：原图无现成平行线，无法直接使用比例定理，多为三角形内线段分割、不规则线段求值、线段比值问题，图形结构简单但缺少比例条件，必须借助辅助线解题。 2.方法：核心思路为构造平行线模型，优先过线段分点、三角形顶点或垂足作已知边的平行线，搭建A型、X型比例基本图形；通过构造的平行关系得到多组比例式，联立方程转化求解线段长或比值；解题需注意辅助线作法规范，精准匹配对应线段，整合多组比例关系，避免漏解、错比，最后验证答案合理性。 【例11】如图，在中，，，点D，点E分别是边上两点（D在E的右侧），，连接，F为中点，若，则的长为（     ） A．12 B．6 C．12 D．15 【例12】如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象分别与轴和轴交于点和，与反比例函数（）在第一象限内的图象交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （    ） A．5 B．5.5 C．6 D．8 【变式6-3】如图，在中，，，，点D是直角边上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．在点D运动过程中，线段的最小值为________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，由顶点A射出两条射线，过点E作线段，作的平行线，作的平行线．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 3．如图，在中，，，对角线相交于点，是内一点，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在等腰中，直角边，D为的中点，E为边上的动点，交于点F，M为的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 7．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 8．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______ ． 9．等腰中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点，若，则的值为________． 10．如图，在中，是边上中线，F是线段上一点，且，连接并延长交于E，则______． 12．如图，在中，，，，O为的中点，D为边上的动点，连接，将沿翻折得到，当时，线段的长为_________． 13．如图，点E是的边的中点，连结并延长，交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 14．如图，在中，，是中点，点在线段上，以点为中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，． (1)比较与大小，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5比例的性质、黄金分割、平行线分线段成比例 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法， 夯实解题根基 题型一、利用比例的性质求解 题型二、利用黄金分割求解线段长度 题型三、证明黄金分割点 题型四、由平行判断成比例的线段 题型五、由平行截线求相关线段的长或比值 题型六、构造平行截线求相关线段的长或比值 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 成比例线段是初中数学的重难点，所有题型均围绕比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例三大核 心展开，解题贯穿两条底线原则：一是比例变形注意线段长度为正数，比例式交叉相乘时保证分母不为 Q:二是看清图形中平行线位置，区分对应线段，必要时作辅助线构造平行线，求出结果后核对线段之间 的对应关系。 ◆ 夙题型归纳精讲典型道法，奇尖解题根基 题型一、利用比例的性质求解 题型棋版 1特征：题目给出比例武号分 _c 或连比形式9=￡=e bā-f 求线段、代数式的值或者参数，无平行线几何条 件，纯代数比例计算。 1/44 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：灵活使用比例的基本性质、合比性质、等比性质；常设比值k,将所有线段统一用含k的式子代换 求解：解题需保证分母不为0，线段长度结果只取正数。 【例1】已知2a=3b,则下列各式成立的是() -2 a+b 5 a+1_4 a+33 A.b3 B.b3 C.b+13 D.b+22 【答案】D 【详解】解：：2a=3b,b≠0， 2：b2 0=32 选项A:623,A错误： a+b-+1=3+l=55 3 选项B:bb1=2+1=23,B错误： 3 3 选项C:代入a=b得左边=2一 2=62,仪当h2时等式成立，不是恒成立，C错误影 a+33 选项D:将等式b+22交叉相乘得2(a+3)=3(b+2), 展开得2a+6=3b+6, 化简得2a=3b,与已知条件一致，等式恒成立，D正确。 a-b 4 b 【例2】已知2a+b13,则a的值是 5 【答案】 a-b 4 【详解】解：“2a+b13, .13(a-b)=4(2a+b) 13a-13b=8a+4b 5a=17b. b5 ∴.a17 2/44 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】若y3,则下列各式中一定成立的是（) A. x-l=1 x+y-5 v 3 B.3y=2x C.+13 y+14 D. 【答案】D =2」 【详解】解：由y3可设x=2k'y=3k（k≠0)， x-12k-1 对选项A,y=3站，仅当k=1时结果为3，不是对任意k成立，故选项A错误： 对选项B,由y3交又相乘得3x=2y,与3y=2x不符，故选项B错误： x+12k+1 3 对选项C,y+13k+1,仅当k=1时结果为4，不是对任意k成立，故选项C错误： +y_2k+3k_5k_5 对选项D,y 333,等式一定成立，故选项D正确，符合题意. 2x-y=3 【变式1-2】已知x+y5,则 8 【答案】7 2x-y_3 【详解】解：由已知x+y5, (2x-y)=3(x+y) 交叉相乘得 展开得10x-5y=3x+3y。 移项得10x-3x=3y+5y, 即7x=8y x.8 所以)7， 故答案为：7 【变式13】已知k=m+1-卫=m-n+p-n+p-m n m ，则k的值为 【答案】1或-2 3/44 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：k=m+n-卫=-m-n+2-n+p-m p m, ∴.m,,p都不为0， .pk =m+n-p,nk =m-n+p,mk =n+p-m 三个式子相加得pk+k+mk=m+n-p+m-n+p+n+p-m, 则k(p+n+m)=m+n+p, 当m+n+p≠0时， 解得k=1, 当m+n+p=0时，则p=-(m+n), k-m+”-卫=D-卫=22-2 之 p 综上所述，k的值为1或-2 题型二、利用黄金分割求解线段长度 题型模版 1.特征：已知线段存在黄金分割点，给出整条线段长或其中一段线段长，求解剩余线段长度，核心区分较 长线段、较短线段，是固定比值计算题型。 2方法：车记黄金比位5,10.618，较长线段=5,1全线段，较短线段=全长-较长段：计算后枝对 2 2 线段大小逻辑，严格舍去负数解。 【例3】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比.如图，点B为 AC的黄金分割点(AB>BC),若AC=50,则BC长为() B 75-25V5 B.50W5-50 c.255-25 D 25V5+25 【答案】A 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点B为AC的黄金分割点(AB>BC)时， 4/44 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB 5-1 ..AC 2, :AC=50, AB V5-1 502, :4B=25(5- AB+BC=AC, .BC=AC-AB, :BC=50-25(5- .BC=75-25√5 【例4】2026年国际数学日的主题为“数学与希望”，某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄 5-1 金矩形（宽与长的比为黄金比2）海报.若该海报的长为4W5cm’则它的宽为 cm' 【答案】 10-25) 【详解】解：设海报的宽为m,已知长为 4v5 cm “，由黄金矩形的定义可得 x=5-1 45=2, 解得x=10-2V5 即宽为10-25)em 【变式2-1】己知C是线段AB的黄金分割点 AC>BC) ,则BC:AC=() 5-1 V5+1 3-5 3+V5 A.2 B.2 C.2 D.2 【答案】A 5/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】：点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC, BC_AC 5-1 根据黄金分割的定义可得ACAB2, ·BC:AC=5-1 2· 【变式2-2】黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄 稳重、舒展美观.己知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MW,PO上，且AB∥NP,“远”字的 BC 5-1 笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且AB2.若NP=2,则AC的长为() ○ A.1 B.2 c.3-v5 D.v5 【答案】C 【详解】解：四边形NPOM为正方形，AB∥NP, ∴.∠N=∠P=90°， .∠NAB=180°-∠N=90°， .四边形ABPN为矩形， .AB=NP=2. ,BC5-1 “远”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点c处，且AB 2， Bc=5-4B=5-x2=5-l, 2 ..AC=AB-BC=2-(5-1)=3-5 【变式2-3】一般地，我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰 6/44 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的t为藏金比 如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36°， (I)请仅用圆规在BC边上作出点D,E,使△ABD,△ACE均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作 法： DE (②)在(1)的基础上，求4B的值. 【答案】(1) B E D 3-5 (2)2 【分析】 【详解】(1)解：略： (2)解：如图，连接AD,AE. E D 由(I)知，△ABD,△ACE为黄金三角形， AD5-1 ·∠BDA=∠CEA=72:AB=2 :D=5' 2 ,AE=AD,∠DAE=180°-72°-72°=36°， DE5-1 ·。4DE为黄金三角形，可得D2, 7/44 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE 5-1 即5-1AB 2, 2 DE5-1_3-5 2 2 题型三、证明黄金分割点 题型模版 1特征：已知一条线段及线段上一个分点，无直接比值条件，需要通过线段长度推导，证明该点为线段的 黄金分割点。 2方法：求出整条线段、分点分割后的长短两段线段长度，验证核心公式AP=AB·PB(较长段平方=全 长×较短段)，等式成立即可判定该点为黄金分割点。 5-1 1 【例5】宽与长之比为 2的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么 留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论， D B E 【答案】 是，证明如下： 四边形ABEF是正方形， .AB=AF, :四边形 ABCD是矩形， .AB=CD. .AF CD, AB 5-1 又：D2 8/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF5-1 :.AD 2 即点F是AD的黄金分割点， 4=5AD. 2 片DF=AD-Ar35AD. 2 DF 5-1 AF 2 DF5-1 即 DC 2 ∴，矩形CDEF是黄金矩形 【详解】略 【例6】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出 线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F,因而EF=EB.类似的，在AB上折 出点M使AM=AF.则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由. D E F B M 【答案】 M是AB的黄金分割点，理由如下： :正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， ∴.BE=1 ∴AE=VAB+BE2=V5 ..EF-BE=1, AF-AE-E5-1 9/44 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AM-AF-5-1 5- .AM:AB=(°1)：2， ∴.点M是线段AB的黄金分割点 【详解】略 【点评】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成两部分， 5-1 使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值( 2 )叫做黄金比. 【变式3-1】如图，己知RIAABC中，∠B=90°，且AB=2BC,请在图中按如下要求进行操作和证明： (I)用圆规在CA上截取CD=CB,保留痕迹，标注点D;再以点A为圆心，AD为半径画弧交AB于点P, 保留痕迹，标注点P； (2)证明点P是线段AB的黄金分割点， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】(1)根据题意画图如下： D B (2)解：设BC=x,则AB=2x,AC=V5x 10/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意得，CD=x, 则P=D=(5-小x】 AP 5-1 AB 2 则点P是线段AB的黄金分割点 【点睛】本题考查了尺规作图和黄金分割的定义，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事 项是本题的解题关键 5-1 【变式3-2】宽与长的比是2 (约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，如图，现有一张黄金矩形纸片 ABCD AD=5+1 ,长 ,折叠纸片MBCD,点B落在4D上的点E处，折痕为1F,连接EF. 然后将纸片 展开 O B (I)求AB的长： (2)求证：四边形CDEF是黄金矩形. 【答案】(1)2 (2) 证明：根据折叠的性质，得四边形ABFE是正方形， ∴.AB=AE=EF=BF=2, :DE=D-AE=5+1-2=5-1 DE 5-1 :.EF 2 ∴四边形CDEF是黄金矩形. 【分析】 11/44 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCD AD=5+1 【详解】(1)解：黄金矩形纸片 :51 AD2 AB 5-1 ∴.√5+12， 解得AB= 5-105+-2 (2)略 【变式3-3】如图，正方形纸片ABCD.现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边AD与BC重合， 得到折痕EF；第二步，将△BCF折叠，得到折痕BF；第三步，将△ABP折叠，使顶点A落在折痕BF上 点处 D A D ③ ① E ② B B (I)求证：点P恰为线段AD的黄金分割点： (②)现有矩形纸片ABCD,其中AB<BC,如图所示.请你借助这张纸片，设法折出一个30°的角.要求写 出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明30°角的位置，不需要证明. 【答案】() 证明：如图，连接PF, A P D ③ ① Q ② B 12/44 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设正方形ABCD的边长为1，则DP= 2 在RIABCF中，BF=VBC2+CF- 2 则Qr=Br-B0=5-L. 2 设AP=PO=x,则PD=1-x, 在Rt△OPF和RtADGF中， 有0mr,m,停-周0-9 V5-1 解得x= 2 即点P是AD的黄金分割点(AG>GD): (2) 方法如图所示： 第一步：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平： 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，落点为点N,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时， 得到线段BN.则∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°. ① 309 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 题型四、由平行判断成比例的线段 题型模版 1.特征：几何图形中存在现成平行线，包含三角形内底边平行线、多条平行截线，要求准确找出图中所有 成比例的对应线段。 13/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：依据平行线分线段成比例定理，精准定位被平行线截取的对应线段，遵循“上比下、上比全、下 比全”的对应规则，杜绝分子分母颠倒，完整写出所有比例线段。 【例T)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,BC上的点，连接AE,CD交于点F,己知F是CD的中点 BD 且BE=5CE,则AD的值为() C A D B A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【详解】解：如图，过点D作DG∥AE交BC于点G, G F 是 的中点， A D B.·FCD CF CE DF EG =1,则CE=EG BE =5CE :BG=4EG. :DG‖AE, BD_BG=4 AD EG 【例8】如图，在正方形ABCD中，AC和BD相交于点O,点P为线段OD的中点，连接AP并延长交CD 于点E.若BC=6,则CE的长为一· 14/44 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E O B 【答案】 【详解】解：过点O作OF‖AE交CD于点F, ,正方形ABCD中，CO=AO, CO CF AO EF =1 ..CF=EF, 点P为线段OD的中点，PEOF, DP DE ·OPEF =1 ..DE=EF, ∴DE=EF=CF, :正方形ABCD中，CD=BC=6, .CE-2CD=4 3 P ○ B 【变式4-1】如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC,点F为BC边上一点，连接 AF交DE于点G,则下列结论中一定正确的是() 15/44 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E AD AE A.AB AGAE BD CE AG AC EC B GF BD C.AD AE D AF EC 【答案】C AD AE 【详解】解：A.“DE∥BC,∴ABAC,该选项错误，不符合题意； AG AE B.:DE∥BC,∴.GFEC,该选项错误，不符合题意； BD CE C.DE∥BC,ADAE, 该选项正确，符合题意： AG AE D.:DE∥BC,∴AF=AC,该选项错误，不符合题意： 故选：C AB AC 【变式4-2】在△ABC中，已知AD是。ABC的角平分线，求证：BDCD· A B D 【答案】证明：如下图所示，过点C作CE‖AD,交BA的延长线于点E, ADI‖EC, ∴.∠1=∠4，∠2=∠3. AD平分∠BAC, ∠1=∠2， ∠3=∠4， .:AE=AC, 16/44 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ADI川EC, AB DB AE DC AB BD AC CD, AB AC BDCD· E w 4 3 B D 【详解】略 【变式4-3】如图，在ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中点，EF‖AC交BD于点F, 若AC=8,则EF的长为() 8 A.1 B.2 c. D.4 【答案】B 【详解】解：AC是口ABCD的对角线， :0A=0C=)AC=4. 2 :E为AB的中点， .AE BE, .EF Il AC, 17/44 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE OF BE BF ..OF=BF, 即F为OB的中点， .EF是△OAB的中位线， .EF= 0A=2 题型五、由平行截线求相关线段的长或比值 题型模版 1.特征：图形自带完整平行线结构，包含平行线截直线、三角形平行底边A型、X型模型，题干给出部分 已知线段长度，无需辅助线，直接求解未知线段长度或线段比值，是中考基础必考题型。 2方法：直接根据平行线分线段成比例定理，找准一一对应的线段列比例方程，通过交叉相乘转化为整式 方程求解；解题核心底线为严格对应线段位置，区分同侧、对应线段，杜绝比例错位，最终舍去负数、不 合理的线段长度，检验结果符合图形大小关系。 【例9】如图，在△ABC中，BF平分∠ABC,过A点作AF⊥BF,垂足为F并延长交BC于点G,D为 AB中点，连接DF延长交AC于点E.若AB=12,BC=20,则线段EF的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【详解】解：，BF平分∠ABC, .∠ABF=∠GBF, ,AF⊥BF, ∴.∠BFA=∠BFG 在△BFA和△BFG中， 18/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABF=∠GBF BE BE ∠BFA=∠BFG' △BFA≌ABFG(ASA) ∴BG=AB=12,AF=FG, ..GC BC -BG =8. AD=DB,AF=FG DE∥BC, AD_AE=1 ·DBEC ..AE =EC, AE=EC,AF=FG :F-=4 2 【例l0】如图，直线alb‖C,分别交直线m于点A,B,C,交直线n于点D,E,F. m n A D a 6 -c (1)若AB=3,BC=5,DE=4,求EF的长； AB2 (2)若BC=3,DE=6,求DF的长。 0 【答案】（四）3 (2)15 【详解】(1)解：a∥b∥c, 19/44 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB DE BC EF 34 即5EF, ·EF=20 3: (2)解：a∥b∥c, AB DE AC DF, AB2 BC 3 :B2 AC 5 62 ∴.DF=15 a∥b∥c 【变式5-1】如图，直线 ,直线L、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若 AB=3,BC=5 DF=12 12,则DE的值为() 9 A.4 B.4 c.2 D.2 【答案】C 【详解】解：如图， 20/44 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DF=12, ∴.EF=DF-DE=12-DE, alble AB DE BC EF' 3 DE .512-DE 解得：DE=9 9 经检验，DE=2是此方程的解， 9 ·DE的值为2： I42I4 【变式5-2】如图，直线 直线、5、对应刻度上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm,若 AB=4cm,则AC的长为() A B C 13 A.8cm B.12cm C.18cm D.24cm 【答案】B 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为D、E、F, 21/44 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B E 12 公 -13 ,直线、、 对应刻度尺上的刻度读数分别是Scm、8cm、14cm, .DE=8-5=3cm,DF=14-5=9cm, %4 AB DE 3 1 ·ACDF93 AB 4cm, ∴.AC=12cm. 【变式5-3】如图，在△ABC中，延长CB至点D,使BD=BC,在AC上取一点F,连接DF交AB于点 E,过F点作FH∥AB交CD于点H,已知AC=DE=3,EF=2. E D B (1)DB:DH= (2)求AF的长. 【答案】(1)3：5 (2)AF=2 【分析】 【详解】(1)解：因为DE=3,EF=2, 所以DE:EF=3:2, 22/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又因为FH∥AB, 所以DB:BH=DE:EF=3:2. 所以DBDH=35: (2)解：因为BD=BC,DB:BH=3:2 所以BCBH=32 因为FH∥AB, 所以ACAF=BCBH=32, 又因为AC=3 所以AF=2, 题型六、构造平行截线求相关线段的长或比值 题型模版 1特征：原图无现成平行线，无法直接使用比例定理，多为三角形内线段分割、不规则线段求值、线段比 值问题，图形结构简单但缺少比例条件，必须借助辅助线解题。 2方法：核心思路为构造平行线模型，优先过线段分点、三角形顶点或垂足作已知边的平行线，搭建A型、 X型比例基本图形：通过构造的平行关系得到多组比例式，联立方程转化求解线段长或比值：解题需注意 辅助线作法规范，精准匹配对应线段，整合多组比例关系，避免漏解、错比，最后验证答案合理性。 【例11】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,点D,点E分别是AC边上两点(D在E的右侧) AD=10,AE=2,连接BE,F为BE中点，若∠EDF=45°，则AB的长为() B A.12 B.6V5 C.122 D.15 【答案】B 【详解】解：作FK⊥AC于K, 23/44 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E :∠C=90°，即BC⊥AC, .FK∥BC, EK EF CK BF' F为BE中点， .K为CE中点， .FK是△BCE的中位线， K=号8c=x6=3,CE-2BK 1 又：∠EDF=45°， ∴，△FKD是等腰直角三角形， .DK =FK=3. ,AD=10,AE=2, ∴.DE=AD-AE=10-2=8, EK=DE-DK=8-3=5, ∴.CE=2EK=10, .AC=CE+AE=10+2=12. :4B=V4C2+BC=V12+6=6N5 【例12】如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M,作 PN I AB、AC 交 于点N 24/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()若点D是BC的中点，且AP:PD=2:1,求AM:AB的值： AM AN AP (2若点D是BC上任意一点，试证明：AB+ACAD 【答案】(I)3 (②)证明：过点D作DF∥PM交AB于F,过点D作DG‖PN交AC于G, M .DF PM.DGIPN. AM AP AN AP AF AD AG AD 又PM∥AC,PNIAB .DF∥AC,DG‖AB AF_CD AG BD AB BC AC BC AM AM AF AP CD ANAN AG AP BD AB AF AB AD BC AC AG AC AD BC :AM AN AP CD BD AP AB AC AD BC BC AD 【分析】 【详解】(I)解：过点D作DE∥PM交AB于E, D :PM∥AC .DE∥AC, .AE_CD BE BD, 25/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点D为BC中点， AE CD 1 AB BC 2 ∴点E是AB中点， 'AP:PD=2:l,且DE∥PM, AM AP ‘MEPD :4M-AP=2 AE AD 3 :点E是AB中点， :M-21 AB63: (2)略 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=a-1(k≠0)的图象分别与x轴和y轴交于 点A和B,与反比例函数y PA 3 x(m≠0)在第一象限内的图象交于点p,若OP=OB,AB5,则m= () B B c号 25 D.12 【答案】C 【详解】对于一次函数y=-1,当x=0时，y=1, .B(0,-1) .0B=1, 26/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OP=OB, .OP=1, 过点P作PDLy轴于D, A B .OA‖PD OD PA OD 3 OBAB,即1=5， 0D=3 5 .PD=√Op2-OD2 P》 4312 ∴.m= 5525· 【变式6-2】如图，在△ABC中，D在AC边上，AD:DC=1:2,O是BD的中点，连接AO并延长交BC于 点E,若BE=2,则EC的长为() B E A.5 B.5.5 C.6 D.8 【答案】C 【详解】解：如图，作DF∥AE交BC于F, 27/44 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,0是 的中点， DF∥OE BD BE BO EF OD =1, ∴BE=EF, ,DF∥AE, EF AD1 FC DC 2 .FC=2EF, ∴.EC=3EF=3BE, BE=2, ∴.EC=6」 【变式6-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8,点D是直角边AC上一点，连接 BD,将BD绕点B顺时针旋转6O°得到BE,连接CE.在点D运动过程中，线段CE的最小值为 E C D 【答案】2 【详解】解：如图所示，取AB的中点F,连接DF, E D F B 1 .BF= 28/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACB=90°，∠A=30°， BC=I ,∠ABC=600, BC= -AB=4 .'BF=BC, ∠ABC=∠DBE=60°， ∴.∠ABC-LCBD=∠DBE-∠CBD 即∠FBD=∠CBE, 又：BD=BE, △FBD≌ACBE(SAS) ..CE DF, 当DF⊥AC时，DF的值最小，即CE的值最小， ∴.DF∥BC DF AF 1 ·BCAB2, DF-3BC-1x4-2 2 2 ∴线段CE的最小值为2. 同压轴挑战一成克高障压轴，炎破思换上保 1.如图，由顶点A射出两条射线AB、AC,过点E作线段DE、EF,作DE的平行线GC,作EF的平行 线BC.己知AE:EC=2:3,则DF:GB=() G A.2:3 B.2:5 C.45 D.3:4 【答案】B 29/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，DE∥CG, AD AE 2 ∴DGEC3' 设AD=2x,DG=3x, :EF∥BC, AF AE 2 BF EC 3' 设DF=2t,则AF=AD+DF=2x+2t, F片3AP3x+32 ..FG=DG-DF =3x-2t. BG=BF-FG=3x+3t-(3x-21)=5t .DF:GB=2t:5t=2:5, 故选：B 5-1 2.宽与长的比是 2 的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近 似黄金矩形，如图，矩形ABCD截掉正方形AEFB后，剩余的矩形CDEF仍是黄金矩形，AD是30.86m, 求CD的长度，设CD的长度是m,根据题意，下列的方程中正确的是() E D V5-1 30.86-xV5-1 x30.86-x 30.865+1 ①30.862；② 2；③30.86 x;④x 2. A.① B.①③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】D 【详解】解：设CD的长度是m, ~矩形ABCD是黄金矩形，AD是30.86m, 30/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD 5-1 x5-1 .AD2,即30.862，故①正确： AD 2 30.862V5+1 CD√5-1，即xV5-12,故④正确： ,四边形AEFB是正方形， ∴.AE=EF=CD=m, :.DE=AD-AE=(30.86-x)m 矩形CDEF是黄金矩形， DE 5-1 30.86-x=V5-1 .CD2,即x2,故②正确： xV5-1 30.862, x30.86-x .30.86 故③正确： 故选：D 3.如图，在ABCD中，AB=3,AD=8,对角线AC,BD相交于点O,E是oABCD内一点，且 OE∥BC,∠AEB=90°，则OE的长为() A.1 C.2 【答案】D 【详解】解：如图，延长OE交AB于点F, 31/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD=8,OA=OC. 又OE∥BC, ∴AF=BF, ∴.OF是△ABC的中位线， :or-8c4, 在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AF=BF, EF-148-3 2 2 :OE=OF-EF=4-3_5 22· 4.如图，在等腰Rt△ABC中，直角边AB=AC=1,D为BC的中点，E为AB边上的动点，DF⊥DE交 AC于点F,M为EF的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为() M C D A 2 B 2 2 c D.2 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接AD,AM,MD G H D ,在等腰Rt△ABC中，直角边AB=AC=1, :∠BAC=90°，BC=VAB2+AC2=V2 :DF⊥DE交AC于点F,M为EF的中点， 32/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM-TEF,DM=1EF 2 ∴.AM=DM ∴点M在线段AD的垂直平分线上，交AB于点G,交AC于点H,即AD⊥GH交于点O, ∴GH为点M所经过的路线长 ∴.OA=D0 :D为BC的中点 .AD⊥BC ·.GH∥BC AG AOAH=1 .GB OD CH ∴GH为△ABC的中位线 on-uc 2 √2 点M所经过的路线长为2· 故选：B 【点睛】此题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质 等知识，解题的关键是掌握以上知识点. 5.如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，延长CB至点E,使BE=3BC,连接AE,若 ∠BAB=∠BDC=45.MB=6N5,则BC的长为() 5V2 A.2V5 B.3 C.2 D.13 【答案】D 33/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，延长CD交AE于点G,过点B作BF⊥AE于点F, G D B 则∠AFB=90°， ,∠EAB=∠BDC=45°， .∠ADG=∠BDC=45°=∠EAB,∠ABF=90°-∠EAB=45°， ∴∠AGD=90°，AG=DG,AF=BF, .BF∥CG, :CD是△ABC的中线，AB=6N2, .DAF-BF-4B-sin45-6x =6, 2 4G=DG=AD-sin45=3x 2 =3, .FG=AF-AG=6-3=3, BF∥CG, EF BE ∴.FGBC, BE=3BC, EF 3 .31 EF=9, :在RtEFB中， BE=VEF2+BF2=V92+62=3V13 BC-IBE-3 3 故选：D 6.已知三条线段的长分别是4cm,5cm和l0cm,如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条 线段的长是」 cm 34/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25 【答案】2或8或2 【详解】解：设所求的线段是x,根据题意得到， 410 ①5=x, 25 解得x= 45 ②x10, 解得x=8cm. x 5 ③4-10： 解得x=2cm 7.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观. 己知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PO上，且AB∥P,“晋”字的笔画“、”的位置 BC 5-1 在AB的黄金分割点C处，且AB2,若NP=2Cm,则BC的长为 cm(结果保留根号). M B 5-1 【答案】 【详解】解：四边形MNP是正方形， ∴.∠N=∠P=90°， 又：AB∥NP, .∠BAN+∠N=180° .∠BAN=90° 35/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.四边形ABPN是矩形， .'AB=NP=2cm 又 BC5-1 2 :.BC=V5-1 则8C的长为(5-em 8.如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E,若BF:FD=3:l, BC=16,则CE的长为一· E 32 【答案】5 【分析】 【详解】解：设FD=m,作CH‖AE,交BD的延长线于点H, ∴.∠H=∠AFD, .BF:FD=3:1, .BF =3FD=3m. :D是AC的中点， :.CD=AD, 在△CDH和△ADF中， ∠CDH=∠ADF ∠H=∠AFD CD=AD 36/44 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △CDH≌△ADF(AAS) ∴.HD=FD=m, .'BH BF +FD+HD=5m, CHI‖AE BE BF 3m 3 BC BH 5m 5 .BE-3BC 5 CE-BC-3BC-2BC-2x16-32 5 5 5 5, 32 故答案为：5 9.等腰△ABC中，AB=AC,E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF,连接CE、BF交于点P,若 CP 3 AE PE4,则AF的值为 B 1 【答案】2 【详解】解：如图，过点E作ED∥AC,交BF于点D, 4 ED EP 4 则FC=PC3: 设ED=4x,则FC=3x, 37/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC,BE=AF, .AE=FC=3x 设AF=BE=y: DE∥AF, BE DE BA AF' y 4x 即y+3xy 解得y=6x或y=-2x(舍去)， AE 3x 1 .AF6x 2 1 故答案为：2. 10.如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是线段AD上一点，且AF:FD=2:3,连接CF并延长交 AB于E,则AE:EB= 【答案】1：3 【详解】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点过点D作DH∥CE,交AB于H,,先根据平行 线分线段成比例定理得到BH=HE,再根据平行线分线段成比例定理得到AE:EH=AF:FD=2:3,进一 步即可得到答案. 【分析】 【详解】(1)解：在RtABAD中，∠BAD=90°，AB=3,AD=4, .BD=√AB2+AD2=V9+16=5 :D为BC中点 ∴.BC=2BD=10: 38/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：连接EC, 设S△E=S, ..AE =1,AD=4 ..ED=AD-AE=3. .AEED=1:3,且△ABE与△DBE同高， ∴.SDBE=3S :D为BC中点，△DBE与△DCE同高， S.DCE =S.DBE=3S ∴.SBcE=6S :△ABF与△CBF同高，△AEF与△CEF同高， AF_SBE=S4臣 FC SCBF S.CEF 由等比性质： AFS.ABE-S.AEE=S.ABE=S=1 FC S.CBF -S.CEF S.CBE 6S 6' ∴.AF:FC=1:6 D B 12.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6,AC=8,O为CB的中点，D为边AC上的动点，连接OD, 将△CDO沿DO翻折得到△C'DO,当C'D∥AB时，线段CD的长为 【答案】1或7 39/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=VAC+AB=V8+6=10」 ,O为CB的中点， ∴.OC=OB=5. 当CD∥AB时有如下两种情况： ①如图1，过O作ONI‖AB交AC于点E,过C'作CN⊥ON垂足为点N, 图1 则CD∥AB∥ON, CE OC ·A=∠2：AE0B =1 .CE=AE, ∴OE为△ABC的中位线， :0E=)AB=3 2 由折叠性质可知：C0=C0=5,∠C=∠1， .∠C=∠2， C'N OE 3 sin∠2=sin∠C,即C'oCo5,得c'W=3 NO-JCO-CN-4 NE=1 故CD=l: ②如图2，过O作OE∥AB交AC于点E,与①同，有E是AC的中点， ,OE=3CE=4∠CDC=90° ∴.∠1=∠2=45° 40/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EOD=∠2=45° .∠E0D=∠1=45°. ∴.ED=EO=3 故CD=CE+DE=4+3=7. O D B 图2 答案：1或7 【点睛】本题考查了勾股定理、平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，折叠的性质，等腰三角形 的判定，三角函数等知识，灵活运用这些知识是解题的关键；注意分类讨论、构造适当的辅助线。 I3.如图，点E是口ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F. C (I)求证：BC=CF」 回老∠BF=90,4D=2,E=5求4B的长 【答案】() 证明：，点E是口ABCD的边CD的中点， AB∥CD,AD∥BC,AD=BC,CE=DE, .∠D=∠DCF,∠DAE=∠F, ,△ADE≌aFCE, ∴.AE=EF, .AB∥CD, 41/44 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 80作1， FC FE .BC=CF (2)AB=2 【分析】 【详解】(1)略 (2)由(1)得：AE=EF,AD=BC=CF, .'AE=EF=3,AD=BC=CF=2. :4F=25B那=4 :∠BAF=90°， :AB=VBF2-AF2=42-(23=2 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线分线段成 比例，熟练的利用平行四边形的性质解题是关键 14.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=C,M是BC中点，点D在线段CM上，以点A为中心，将线段 AD逆时针旋转180°-2a得线段AE,连接BE,DE. A D M (I)比较∠ABC与∠ABE大小，用等式表示线段BE,BM,DM之间的数量关系，并证明； (2)过点M作AB的垂线，交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明. 【答案】(1) ∠ABC=∠ABE=a:BM=BE+DM, 证明：∠ABC=∠ACB=a, ∴.AB=AC 由旋转的性质得AD=AE、∠DAE=∠BAC=180°-2a, .∠CAD+∠DAB=∠EAB+∠DAB ∴∠CAD=∠BAE, 42/44 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△CAD和△BAE中， AC=AB ∠CAD=∠BAE, AD=AE ∴.△CAD≌ABAE(SAS) .∠ACD=∠ABE、CD=BE, .∠ABE=∠ABC, :M点是BC中点， :BM CM=CD+DM .BM=BE+DM (2) NE=ND. 证明：过点E作EH⊥AB,交BC于点H, E B D M 由(I)可知∠ABE=∠ABC, :EH⊥AB, .∠BEH=∠BHE, :BE=BH, :CD=BH, ∴MD=MH, MN⊥AB、EH⊥AB, .MNI‖EH DN DM-1, NE MH 43/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .NE =ND 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 44/44