第三十一章 相似（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材人教版九年级下册

2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第三十一章 相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项错误． 2．在与中，有下列条件：；；；．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有（     ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【详解】解：从个条件中任取个组合，逐一判断： ①，②， ，可判定； ①③、①④、②③组合均满足两边成比例，但相等的角不是成比例两边的夹角， 不能判定相似； ②，④，且是与的夹角， 可判定； ③，④， 可判定； 综上，能判定相似的共有组． 3．如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形中线段的对应关系进行判断． 【详解】解：在本题的图形中，若，则有． A选项，由图可得，即，符合题意； B选项，由图可得，即，不符合题意； C选项，由图可得，即，不符合题意； D选项，由图可得，即不符合题意． 4．天天同学计划测量一个细口瓶的内径，如图所示，他找来一个铁钳放进细口瓶内，张到最大的角度．若，且测量得的长为，则该细口瓶内径的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明，再利用相似三角形的性质，列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 5．一个底与腰的长度比为黄金分割比（黄金分割比为）的等腰三角形称为黄金三角形．若一个黄金三角形的底边长度为，则其腰的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该黄金三角形的腰长为，再结合黄金三角形的定义计算即可得出结果． 【详解】解：设该黄金三角形的腰长为， ∵底与腰的长度比为，底边长为， ∴， ∴， ∴， ∴。 ∴． 6．如图，与是位似图形，且周长比为，则下列结论错误的是（     ） A．点为位似中心，相似比为 B． C． D．与的面积比为 【答案】D 【分析】根据位似图形的周长之比等于位似比，位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，且周长比为， ∴由图形位似的性质可得： ，且相似比为， 如图与交于点， ∴点为位似中心， 由相似三角形面积比等于相似比的平方可得： 与的面积比为 故选： ． 【点睛】 7．如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线判定三角形相似，利用周长比得出相似比，进而判断对应边比例及面积比． 【详解】 解：， ， ，故B正确； ，即周长比等于 相似比为， ，即，故A正确； ，即， ， ，故C正确； 相似三角形面积比等于相似比的平方， ，故D错误． 8．如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由位似图形的性质知、、三点共线，且；再由两个三角形分居位似中心的两侧，确定点在点的左侧，用点的横坐标表示点的横坐标． 【详解】解：∵以点为位似中心作的位似图形，且把的边长放大到原来的倍， ∴、、三点共线，且， ∵点、都在轴的上方，在轴的下方，点在轴上， ∴点与点分居位似中心的两侧， ∴点在点的左侧，且点与点的水平距离是点与点的水平距离的倍， ∵点的横坐标为（），点的横坐标为， ∴点与点的水平距离为， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标是． 9．如图，已知平行四边形中，E，F分别是边上的点，与对角线交于P，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作辅助线，构建相似三角形，根据已知的比得出和，根据同高三角形面积比的关系得出面积都与的面积有关，并得出相应等式，代入所求面积的比进行计算即可． 【详解】解：过E作，交于H，交于G，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：，其中正确的是（     ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，三角形相似的判定，解答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴,， ∴,， ∴,， ， 故正确； ∴, ∵， ∴不成立， 故②错误； ∵, ∴， 故③正确； ∵,， ∴， ∴， ∴； 故④正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知线段，，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义可得，代入、的数值计算即可，线段长度为正，直接得结果． 【详解】解：∵ 是、的比例中项， ∴ ， 代入，得：， 计算得， 解得． 12．如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 【答案】 【分析】根据两角分别相等得到，然后列出对应边成比例的关系式，再把已知线段长度代入比例式，最后求解得到的长． 【详解】解：，， ， 把，，代入： ． 13．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长之比是____________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即；结合图形可知、、共线且在上，利用求出的值，根据相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形 ，且相似比等于 与的周长之比等于 设，（） 与的周长之比是． 14．如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．其中点，，，处的读数分别为，，，，已知直尺的宽为，则中边上的高为________． 【答案】6 【分析】设中边上的高为h，则中边上的高为，求出的长，证明得到，据此求解即可． 【详解】解：设中边上的高为h， ∵直尺的宽为， ∴中边上的高为， 由题意得，，且， ∴， ∴， ∴， 解得（已检验是原方程的解）， ∴中边上的高为6． 15．如图，四边形，四边形，四边形都是相同的正方形，则的度数为__________． 【答案】/45度 【分析】设正方形的边长为a，由勾股定理求出，由相似三角形的判定和性质得出，由三角形外角的定义和性质求出． 【详解】解：设正方形的边长为a， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 16．如图，在平行四边形中，，，，已知点P是射线上一动点，，连接，，，当为等腰三角形时，_______． 【答案】 或或 【分析】 首先根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，进而得出；结合已知条件证明，利用相似比和角度关系推导出，进而得到当为等腰三角形时，为等腰三角形，进行讨论求解即可. 【详解】解：， ， 是直角三角形，且， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，即， ，， ∴， ， ∴当为等腰三角形时，为等腰三角形， ①当点在边上时： 当时，则； 当时，过点作于点， 在中， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴，解得； ②当点在延长线上，， 故只有一种情况， ∴， 综上所述，的长为或或. 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知a，b，c是的三边长，且 (1)求的值； (2)若的周长为91，求各边的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）设，表示出a，b，c，然后代入求解； （2）根据的周长求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴，，， ∴； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴，，． 18．如图，与交于点，且． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)16 (2)证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由得到，根据相似三角形的性质求出，即可求出； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （2）略 19．如图，为的直径，点A，D在上，并在的两侧，连接，，，．若，，垂足为E． (1)求的度数； (2)若，求线段的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度得出，证明是等腰直角三角形，即可得出，由同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． （2）连接，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理得出，证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是的直径， ． ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵， ． （2）连接，如答图． 是等腰直角三角形， ， 是的直径， ． ， ， ． ， ， ． ， ． 20．小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． (1)求旗杆的高度． (2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由、都垂直得到两直线平行，证出，算出米，代入，利用相似三角形的比例式求出旗杆高度米． （2）利用镜面反射角相等，结合直角证明，设，，代入列比例方程，解得米． 【详解】（1）解：已知，， 因此， ∵为公共角，且 ∴． ∴ ∵ 代入已知数值，，： 则， ， ， ． （2）解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得； 又∵， ∴． 设米，则米， ∴ 代入已知数值，： 解方程： 即米． 21．如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 【答案】(1)或秒 (2)或秒 【分析】（1）设移动秒，表示出，，再列方程即可解答； （2）设移动秒，分和两种情况，分别列方程即可解答． 【详解】（1）解：（秒），（秒）， 设移动秒，且，则，， ， 的面积为， 解得，， 所以当移动或秒时，的面积为； （2）解：设移动秒，且，则，， 当时，， 则可得， 解得； 当时，， 则可得， 解得； 所以当移动或秒时，与相似． 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点为位似中心，画出的一个位似，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标_________； (2)若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（1）的变化后点的对应点的坐标（用含，的代数式表示），的坐标是_________； (3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 【答案】(1)解：如图所示，点的坐标为， (2) (3)解：点如图所示， 【分析】（1）根据位似图形的性质，结合、、，得出，，，在坐标系中描点，顺次连接即可； （2）根据位似图形的性质解答即可； （3）根据相似三角形的性质，取点，，连接，交于，点即为所求． 【详解】（1）解：∵、、，与的相似比为， ∴，，， ∴如图所示，略 （2）解：∵点的坐标为， ∴经过（1）的变化后点的对应点的坐标是． （3）解：取点，，连接，交于，点即为所求． 如图所示：略 证明：∵，， ∴，，， ∴， ∴． 23．阅读下面材料： 小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点． (1)小波发现，，过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为___________． (2)参考小波思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值； ②如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）证明，得到， 再利用，即可得到结论； （2）①过点作，交延长线于点， 证明和，列比例式可得， ； ②过点作交于，证明和，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图3，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图4，过点作交于， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．我们将四个顶点都在三角形边上的正方形，称为该三角形的内接正方形． (1)如1图，正方形是的内接正方形，请在图中找出一对相似三角形，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若三边分别为是边上的高，试求： ①边上的高的长； ②内接正方形的边长； (3)如3图，面积为的正方形内接于，如果的面积分别记为，请用含有的式子表示（不用说明理由）． 【答案】(1) ，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴； (2)①；② (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形相似的判定方法进行判断即可； （2）①根据勾股定理得出，代入数据得出，求出，再根据勾股定理求出即可； ②设正方形的边长为a，则，，根据相似三角形的性质得出，代入得：，求出，即可得出答案； （3）过点A作于点H，交于点I，设正方形的边长为a，得出，，，得出，根据相似三角形性质得出，即，整理得出，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵为边上的高， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②∵，， ∴， ∴为边上的高， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 设正方形的边长为a，则，， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形的边长为． （3）解：过点A作于点H，交于点I，如图所示： 根据解析（2）可知：为边上的高， 设正方形的边长为a， ∴，，， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， 整理得：， ∴，负值舍去． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 25．如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现：①线段与线段之间的数量关系是 ， ②直线与直线之间的位置关系是 ． (2)探究：若已知条件不变，将图1中矩形绕点顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？ (3)应用：在（2）的情况下，，，当矩形绕点旋转到，，在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？ 【答案】(1)； (2) （1）中结论还成立 (3)，或 【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出；②延长交于点，则，由①可得，由相似三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，，则，延长交于点，交于点，再由，计算即可得出结果； （3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于点， ∵， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论还成立，证明如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，延长交于点，交于点， ∵， ∴ ， ∴； （3）解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， 同理可得：，， ∴，； 综上所述，，或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第三十一章相似：能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D 0 D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.27 12.45cm 13.5:2 14.6 15.45°145度 16.5或12.5或45 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17 a+1_b-2=S=k, 【详解】(1)解：设5=46 a=5k-1,b=4k+2,c=6k, 2a+b_10k-2+4k+214k7 .3c 18k 18X9;3分 (2)解：根据题意得，5k-1+4k+2+6k=91, k=6, .a=29,b=26,c=36..6分 18 【详解】(1)解：AB∥CD, .△ABEACDE, AB AE 8 4 CD-CE,即24CE, .CE=12. .AC=AE+CE=12+4=16.3分 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：：AB=8,AE=4,AC=16 AB AE ·ACAB, '∠BAE=∠CAB .△ABE∽△ACB, .∠ABE=∠ACB.6分 19 【详解】(1)解：：BC是⊙0的直径， ∴.∠BAC=90° AB=AC :AB=AC, ,△ABC是等腰直角三角形， .∠ABC=45°， 1c- .∠ADC=∠ABC=45°.3分 (2)连接BD,如答图. 是等腰直角三角形， D .△ABC .BC=AB2+AC2=AB2+AB2 =24B BC是⊙O的直径， ∴.∠BDC=90° BE⊥AD, .∠AEB=90° ∴.∠BDC=∠AEB 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 '∠BCD=∠BAE. ∴.BCDABAE, .CD:AE BC:BA=2:1 AE=2 .CD=2.6分 20. 【详解】(I)解：已知BE⊥AC,DC⊥AC, 因此BE DC, ,∠A为公共角，且∠ABE=∠ACD=90 ∴.△ABE∽△ACD BE AB ..CD AC :4C=AB+CB=3+9=12米 代入已知数值BE=1.5,AB=3,AC=12: 1.53 则CD12, .3.CD=1.5×12 .3CD=18 ∴.CD=6米 3分 (2)解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得∠EFB=∠DFC: 又：∠EBF=∠DCF=90°， ∴.△EBFADCF 设BF=x米，则FC=CB-BF=9-x米， BE BF ·CDFC 代入已知数值BE=1.5,CD=6: 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.5x 69-x 解方程： 1.5(9-x)=6x 13.5-1.5x=6x 13.5=7.5x x=1.8 即BF=1.8米.6分 21. 【详解】(1)解：12÷2=6（秒），24÷4=6（秒）， 设移动t秒，且0≤t≤6，则AP=21cm,BQ=4tcm, ..PB=AB-AP=(12-20)cm 4412-20=20, :△BPQ的面积为2 解得=1专=5 所以当移动1或5秒时，△BP的面积为20cm2:4分 (2)解：设移动“秒，且0≤a≤6，则B0=4acm,PB=AB-AP=(I2-2a)cm PB BO 当ABPOABAC时，ABBC, 12-2a4a 则可得12=24， 解得a=3; BO PB 当△BQP∽△BAC时，ABBC, 4a12-2a 则可得1224· 解餐a-日 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 所以当移动3或5秒时，△BP0与。4BC相似.…8分 2.(@解：M4G如图所示，点8的坐标为82)， 4 2 B 3分 8642 22a-26 5分 (3)解：点D如图所示， 8分 23. 【详解】(1)解：·CF∥AD, ∴.∠F=∠APE,∠FCE=∠EAP, :BE是AC边上的中线， .AE=CE. 片△AEP2ACEF(AMS) .AP=FC, …PDFC ∴.△BPDABFC, 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PD DB 2 ·FCBC3’ PD 2 ·AP3 AP 3 PD2;2分 (2)解：①如图3，过点A作AFBC,交BP延长线于点F, F D C B 图3 ∴.△AFEACBE, AF AE2 .BC EC 3' 设AF=2x,BC=3x, DB 4 BC3' .BD=4x, .AFIBD, ∴.△AFP∽aDBP, AP AF 2x 1 六PDBD4x2;5分 ②如图4，过点C作CF‖AP交PB于F, D C FE 图4 .△BCFr△BDP 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF BC 3 PD BD 4' 设CF=3x,PD=4x, CFll AP .△ECFO△EAP CF_EC_2 ·APAE7’ 4P=7CF=2 2 2, 21 221 8分 PD 4x 8 24. 【详解】(1) △ADG∽△ABC,理由如下： :四边形DEFG为正方形， .DG∥BC, .△ADGn△ABC:3分 (2)解：①：AH为BC边上的高， .AH⊥BC ∴.∠AHB=∠AHC=90°. 根据勾股定理得：AH=AB2-BH=AC2-CH, :132-BH=202-(21-BH} 解得：BH=5, :4H=VAB2-m-i3-子=2，n6分 ②，AH⊥BC,DG∥BC, .AI⊥DG. .AI为△ADG边DG上的高， 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DEH=∠EH=∠EDI=90°， ∴.四边形DEHⅢ为矩形， ∴.IH=DE, 设正方形DEH的边长为a,则H=a,AI=12-a, 根据解析(1)可知：△ADG△ABC, DG AI BC AH' a12-a ∴.2112 84 解得：a= 11 84 正方形DEFG的边长为.9分 (3)解：过点A作AH⊥BC于点H,交R于点I,如图所示： S1 S3 PH S 根据解析(2)可知：AI为△AQR边R吧上的高， 设正方形PSRQ的边长为a, :41=29=2S Rga’Hl=a'S=a2, :4H=A1+Hm=2S+a=2+d_2S+s a 根据解析(1)可知：△AQR∽△ABC」 S S+S2+S3+S, 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 72S a S 2S;+S S+S2+S3+S, S2=4S,S2+4S,S3 整理得： :8=2(S+ 负值舍去.12分 25. 【详解】(I)解：①，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形， .∠BAE=∠DAG=90°， AD=2AB,AG=2AE, AB AE 1 .ADAG 2' ∴.△ABE△ADG. BE AB 1 DGAD 2 .DG=2BE;2分 ②如图，延长BE交DG于点H, D B ∠DAG=90°， .∠ADG+∠AGD=90° 由①可得：△ABE△ADG, ∴.∠ABE=∠ADG .∠ABE+∠AGD=90°， .∠BHG=90°， .DG1BE;4分 (2)解：(1)中结论还成立，证明如下： 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形， .∠BAD=∠EAG=90° ∴.∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD,即∠BAE=∠DAG, AD=2AB,AG=2AE. AB=AE=1 AD-AG2' .△ABEr△ADG BE AB 1 ∴.DGAD2,∠ABE=∠ADG, ..DG=2BE, 如图，延长BE交AD于点M,交DG于点H, D H .∠AMB=∠DMH, ∴.∠DHM=180°-∠ADG-∠DMH =180°-∠ABE-∠AMB =∠BAM =90°， .DG⊥BE;8分 (3)解：如图，当点B、E、F在同一直线上，且点E在线段BF上时， D ,四边形AEFG为矩形， .AE⊥BF,EF=AG ∴.∠AEB=90° .AB=5,AE=3, 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE=VAB2-AE=4 由(2)可得：DG=2BE, .DG=8, :AG=2AE=6, .EF=6, ∴.BF=EF+BE=6+4=10, 如图，当点B、E、F在同一直线上，且点B在线段EF上时， 同理可得：BE=4,EF=AG=2AE=6, .DG=2BE=8,BF=EF-BE=6-4=2: 综上所述，DG=8,BF=10或BF=2.12分 11/11………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第三十一章 相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 2．在与中，有下列条件：；；；．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有（     ） A．组 B．组 C．组 D．组 3．如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 4．天天同学计划测量一个细口瓶的内径，如图所示，他找来一个铁钳放进细口瓶内，张到最大的角度．若，且测量得的长为，则该细口瓶内径的长为（     ） A． B． C． D． 5．一个底与腰的长度比为黄金分割比（黄金分割比为）的等腰三角形称为黄金三角形．若一个黄金三角形的底边长度为，则其腰的长度为（     ） A． B． C． D． 6．如图，与是位似图形，且周长比为，则下列结论错误的是（     ） A．点为位似中心，相似比为 B． C． D．与的面积比为 7．如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知平行四边形中，E，F分别是边上的点，与对角线交于P，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：，其中正确的是（     ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知线段，，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 12．如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 13．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长之比是____________． 14．如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．其中点，，，处的读数分别为，，，，已知直尺的宽为，则中边上的高为________． 15．如图，四边形，四边形，四边形都是相同的正方形，则的度数为__________． 16．如图，在平行四边形中，，，，已知点P是射线上一动点，，连接，，，当为等腰三角形时，_______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知a，b，c是的三边长，且 (1)求的值； (2)若的周长为91，求各边的长． 18．如图，与交于点，且． (1)求的长； (2)求证：． 19．如图，为的直径，点A，D在上，并在的两侧，连接，，，．若，，垂足为E． (1)求的度数； (2)若，求线段的长． 20．小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． (1)求旗杆的高度． (2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 21．如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点为位似中心，画出的一个位似，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标_________； (2)若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（1）的变化后点的对应点的坐标（用含，的代数式表示），的坐标是_________； (3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 23．阅读下面材料： 小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点． (1)小波发现，，过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为___________． (2)参考小波思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值； ②如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值． 24．我们将四个顶点都在三角形边上的正方形，称为该三角形的内接正方形． (1)如1图，正方形是的内接正方形，请在图中找出一对相似三角形，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若三边分别为是边上的高，试求： ①边上的高的长； ②内接正方形的边长； (3)如3图，面积为的正方形内接于，如果的面积分别记为，请用含有的式子表示（不用说明理由）． 25．如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现：①线段与线段之间的数量关系是 ， ②直线与直线之间的位置关系是 ． (2)探究：若已知条件不变，将图1中矩形绕点顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？ (3)应用：在（2）的情况下，，，当矩形绕点旋转到，，在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第三十一章 相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 2．在与中，有下列条件：；；；．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有（     ） A．组 B．组 C．组 D．组 3．如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 4．天天同学计划测量一个细口瓶的内径，如图所示，他找来一个铁钳放进细口瓶内，张到最大的角度．若，且测量得的长为，则该细口瓶内径的长为（     ） A． B． C． D． 5．一个底与腰的长度比为黄金分割比（黄金分割比为）的等腰三角形称为黄金三角形．若一个黄金三角形的底边长度为，则其腰的长度为（     ） A． B． C． D． 6．如图，与是位似图形，且周长比为，则下列结论错误的是（     ） A．点为位似中心，相似比为 B． C． D．与的面积比为 7．如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知平行四边形中，E，F分别是边上的点，与对角线交于P，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：，其中正确的是（     ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知线段，，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 12．如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 13．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长之比是____________． 14．如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．其中点，，，处的读数分别为，，，，已知直尺的宽为，则中边上的高为________． 15．如图，四边形，四边形，四边形都是相同的正方形，则的度数为__________． 16．如图，在平行四边形中，，，，已知点P是射线上一动点，，连接，，，当为等腰三角形时，_______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知a，b，c是的三边长，且 (1)求的值； (2)若的周长为91，求各边的长． 18．如图，与交于点，且． (1)求的长； (2)求证：． 19．如图，为的直径，点A，D在上，并在的两侧，连接，，，．若，，垂足为E． (1)求的度数； (2)若，求线段的长． 20．小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． (1)求旗杆的高度． (2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 21．如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点为位似中心，画出的一个位似，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标_________； (2)若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（1）的变化后点的对应点的坐标（用含，的代数式表示），的坐标是_________； (3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 23．阅读下面材料： 小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点． (1)小波发现，，过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为___________． (2)参考小波思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值； ②如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值． 24．我们将四个顶点都在三角形边上的正方形，称为该三角形的内接正方形． (1)如1图，正方形是的内接正方形，请在图中找出一对相似三角形，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若三边分别为是边上的高，试求： ①边上的高的长； ②内接正方形的边长； (3)如3图，面积为的正方形内接于，如果的面积分别记为，请用含有的式子表示（不用说明理由）． 25．如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现：①线段与线段之间的数量关系是 ， ②直线与直线之间的位置关系是 ． (2)探究：若已知条件不变，将图1中矩形绕点顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？ (3)应用：在（2）的情况下，，，当矩形绕点旋转到，，在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $