第三十一章 相似（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材人教版九年级下册

第三十一章 相似（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组长度的线段，成比例线段的是（     ） A．2 cm，4 cm，4 cm，8 cm B．2 cm，4 cm，6 cm，8 cm C．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm D．2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm 2．如图，已知，长为，长，则长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 5．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A．9 B．3 C．5 D．6 7．如图，已知点D、E、F分别在的三边上，且，则下列等式不成立的是（） A． B． C． D． 8．如图，在中，点D、E分别在边上，四边形是正方形，点F、G在边上，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 9．在平面直角坐标系中，将一个图形以原点为位似中心，经过位似变换，使其扩大为原来的3倍，则该图形上各点坐标可能的变化是（     ） A．横、纵坐标分别加3 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 C．横、纵坐标分别乘3 D．横、纵坐标分别变为原来的 10．如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知，则代数式的值为_________． 12．如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 13．如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 14．如图，若线段为的中位线，则的值为______． 15．如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点是位似中心，且．若，则点的坐标是________． 16．如图，在平行四边形中，，，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．若，则的长为________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 18．（8分）已知a，b，c是的三边长，且 (1)求的值； (2)若的周长为91，求各边的长． 19．（8分）已知：如图，延长圆内接四边形的边、，相交于点E．求证：． 20．（8分）如图，在四边形中，点在上，，． (1)求证：； (2)若面积为的面积为1，求的面积． 21．（8分）学校“数学建模小分队”为了测量校园里水平地面上一棵树的高度，做了如下的探索：根据《物理》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：①把一面很小的镜子放在离树底B距离米的点E处；②沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A；③用皮尺量得米；④观察者目高米，则树（）的高度约为多少米（精确到米）． 22．（10分）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； (2)写出各顶点的坐标． 23．（10分）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为、上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)写出的面积关于移动时间t秒的函数关系式，并写出t的取值范围． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． (1)是的边AB上一点，经平移后点的对应点为，请画出上述平移后的； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2； (3)若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标； (4)请在线段上求作点M，使． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三十一章相似（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.A 2.B 3.D 4.B 5.c 6.D 7.D 8.A 9.c 10.C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11.2 12.4 13.2/3 14025 15.1,3 16. 8/5 5 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.(8分) 【答案】(1) 证明：，DE‖AC,EF‖AB, ∴.∠C=∠DEB,∠B=∠CEF, ∴.△BDE一△EFC: 1/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平 行线所截线段成比例是解题的关键： (1)由题意易得∠C=∠DEB,∠B=∠CEF,然后根据相似三角形的判定定理可进行求证： 瓷瓷行则有B配=BC。然后问慰可求解， BE AF 1 (2)由题意易得 【详解】（1)略 2)解：AS FC2,EF∥AB, .BE=AF-1 EC FC 2 E号Bc. .BC=6, BE-号×6=2 18.(8分) 【容1写 (2)a=29'b=26'c=36 【分析】(1)设0+1=b,2==k,表示出a,6,c,然后代入2g+ 5 46 3c 2求解： (2)根据△ABC的周长求出k=6,然后求解即可. 【详解】(1)解：设a+1-b,2==k, 546 a=5k-1,b=4k+2,c=6k, :2a+b=10k-2+4k+2-14k_7 3c 18k 18k9 (2)解：根据题意得，5k-1+4k+2+6k=91, k=6 ∴.a=29,b=26,c=36 19.(8分) 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 证明：，四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴.∠B+∠ADC=180°，∠A+∠BCD=180°， .∠ADC+∠CDE=180°，∠DCE+∠BCD=180°， ∴.∠CDE=∠B,∠A=∠DCE, ∴.△ABE一△CDE, 20.(8分) 【答案】(1) 证明：，EC‖AB,EB‖DC, .∠AEB=∠EDC,∠BAE=∠CED, ∴.△AEB~△EDC: (2)解：如图，分别过点A,C,E作AF⊥BE,CG⊥BE,EH⊥CD,垂足分别为点F,G, H, B SD ,△ABE面积为3，△BCE的面积为1， ÷2AF×B距=-3,2 CGxBE=1, AF :.CG =3 :EB‖DC, .'EH=CG, =3 ∴EH .△AEB一△EDC, .△AEB与△EDC的相似比为3：1， .S△ABE= 32 SAECD 317 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x3= :.SAEGmFg 21.(8分) 【答案】11.2米 【行1E明△CDE-△AB,%沿能 m1.6_2.4 AB16.8' 求出结果即可. 【详解】解：CD⊥DB,AB⊥DB, .∠CDE=∠AEB=90°， ,∠CED=∠AEB, ∴.△CDE一△ABE 霜器 .CD=1.6米，DE=2.4米，BE=16.8米， 1.6、2.4 AB16.8 AB=1.6×16.8=1.2(米). 2.4 答：树(AB)的高度约为11.2米. 22.(10分) 【答案】(1)如图，△ABC即为所求. M (2)解：由网格图可知A(2,2),B(3,0),C(4,1), △ABC与△ABC位似，点M为位似中心， ∴△ABC△ABC ,位似比为3，M1,0, 没 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(4,6'B(7,0)'C(10,3 23.(10分) 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm, AB=AC+BC-32+4-5cm 由题意得，点P移动速度为1cm/s,移动时间为t秒， ∴.AP=tcm, ∴.BP=AB-AP=5-tcm: (2)解：当∠BQP=∠C=90时，此时△PBQ一△ABC, :B即BQ BA BC .BP=5-t,BA=5,BQ=t,BC=4, :5-t=t 54 45-t=5t 20-4t=5t 9t=20, 州品 当∠BPQ=∠C=90°时，此时△QBP一△ABC, 器熙 .BQ=t,BA=5,BP=5-t,BC=4, :t=5-t 54 4t=55-t 4t=25-5t 9t=25 解得t=25 9 综上所述，当t的值 20或25时，△PBQ与△ABC相似： 91 517 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：过点P作PH⊥BC,垂足为H,如图： B 则∠PHB=90, :∠C=90°， ∴.∠PHB=∠C, ∴.PH‖AC, ∴△BPH一△BAC, PH_BP AC AB .AC=3,BP=5-t,AB=5, ..PH=5-t 3 5 解得PH=35-t 5 ∴，△BPQ的面积S=5BQ·PH 1c.315-4 5 32+3t, 102 由题意得，点Q从B移动到C停止，BC=4cm,速度为1cm/s, ∴.t的取值范围是0≤t≤4. 24.（12分) 【答案】(1)平移后的△AO1B如图： 617 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 0 2)△A,0B,如图： (3)位似中心Q如图，由图可得点Q的坐标-6,2) (4)在线段AB上求作点M,使AM:MB=1:3,位置如图 717 第三十一章 相似（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组长度的线段，成比例线段的是（     ） A．2 cm，4 cm，4 cm，8 cm B．2 cm，4 cm，6 cm，8 cm C．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm D．2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm 【答案】A 【分析】判断四条线段是否成比例线段，可验证最大数与最小数的乘积是否等于中间两数的乘积，相等则为成比例线段，据此选出正确选项． 【详解】解：A选项，，，乘积相等，是成比例线段． B选项，，不是成比例线段． C选项，，不是成比例线段． D选项，，不是成比例线段． 故选：A． 2．如图，已知，长为，长，则长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】解：， ， ，， ， ． 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义和相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ∴， ∴， ∴和的周长之比为． 4．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】首先得到，，然后由位似的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 5．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 6．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A．9 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段的长度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 7．如图，已知点D、E、F分别在的三边上，且，则下列等式不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理可判断A和B；根据可判断C；根据，可判断D． 【详解】解：， ，故选项A成立； ， ，故选项B成立； ， ， ，故选项C成立； ，， ，而选项D中为，故选项D不成立． 8．如图，在中，点D、E分别在边上，四边形是正方形，点F、G在边上，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【答案】A 【分析】利用正方形的性质，三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵不一定相等， 不一定成立，故②错误． 9．在平面直角坐标系中，将一个图形以原点为位似中心，经过位似变换，使其扩大为原来的3倍，则该图形上各点坐标可能的变化是（     ） A．横、纵坐标分别加3 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 C．横、纵坐标分别乘3 D．横、纵坐标分别变为原来的 【答案】C 【分析】以原点为位似中心，将图形扩大为原来的3倍，则图形上各点的横、纵坐标都要乘3；平移是坐标做加减，只改变横坐标或只改变纵坐标不是位似变换，乘是缩小为原来的，据此判断选项即可． 【详解】解：A、横、纵坐标分别加3属于平移变换，不是位似变换，此选项不符合题意； B、纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍，不是原点为位似中心的位似变换，此选项不符合题意； C、横、纵坐标分别乘3，是以原点为位似中心扩大到原来的3倍的坐标变化，此选项符合题意； D、横、纵坐标分别变为原来的，图形会缩小为原来的，此选项不符合题意． 10．如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用轴对称的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，，， ∵锥形瓶轴截面是轴对称图形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知，则代数式的值为_________． 【答案】 【分析】将所求代数式拆分为含的形式，整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：，， 原式． 12．如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 13．如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 14．如图，若线段为的中位线，则的值为______． 【答案】/ 【分析】由中位线的性质定理可得，， 则，根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求解即可． 【详解】解：∵线段为的中位线， ∴，， ∴，， ∴． 15．如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点是位似中心，且．若，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】解： 与位似，原点是位似中心，且， 相似比为， 又 ， 点的坐标是，即． 16．如图，在平行四边形中，，，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．若，则的长为________． 【答案】 【分析】结合平行四边形的性质和相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（8分）已知a，b，c是的三边长，且 (1)求的值； (2)若的周长为91，求各边的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）设，表示出a，b，c，然后代入求解； （2）根据的周长求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴，，， ∴； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴，，． 19．（8分）已知：如图，延长圆内接四边形的边、，相交于点E．求证：． 【分析】根据圆内接四边形可得，，根据两角对应相等即可得证． 【答案】 证明：∵四边形为的内接四边形， ，， ，， ，， ． 20．（8分）如图，在四边形中，点在上，，． (1)求证：； (2)若面积为的面积为1，求的面积． 【分析】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键． （1）根据，，可得，即可求证； （2）分别过点A，C，E作，垂足分别为点F，G，H，根据三角形的面积可得，再结合，可得，从而得到，进而得到与的相似比为，即可求解． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点A，C，E作，垂足分别为点F，G，H， ∵面积为的面积为1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴与的相似比为， ∴， ∴． 21．（8分）学校“数学建模小分队”为了测量校园里水平地面上一棵树的高度，做了如下的探索：根据《物理》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：①把一面很小的镜子放在离树底B距离米的点E处；②沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A；③用皮尺量得米；④观察者目高米，则树（）的高度约为多少米（精确到米）． 【答案】米 【分析】证明，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ， 米，米，米， ， （米）． 答：树的高度约为米． 22．（10分）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； (2)写出各顶点的坐标． 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据位似图形的性质，结合位似比及各点坐标解答即可． 【答案】(1)如图，即为所求． （2）解：由网格图可知，，， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵位似比为，， ∴， ∴，，． 23．（10分）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为、上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)写出的面积关于移动时间t秒的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)5； (2)t的值为或 (3) 【分析】（1）在中由勾股定理算出；再根据动点速度与运动时间t，由得出； （2）分两种对应情况：当时，，列比例式求解；当时，，列比例式求解； （3）作辅助线，由证，通过比例式求出高；代入三角形面积公式化简，结合Q点到C点停止的条件，确定t的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 由题意得，点P移动速度为，移动时间为t秒， ∴， ∴； （2）解：当时，此时， ∴， ∵，，，， ∴ ， 解得； 当时，此时， ∴， ∵，，，， ∴ 解得， 综上所述，当t的值为或时，与相似； （3）解：过点P作，垂足为H，如图： 则， ， ， ， ， ∴， ∵，，， ∴ 解得， ∴的面积 ， 由题意得，点Q从B移动到C停止，，速度为， ∴t的取值范围是． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． (1)是的边AB上一点，经平移后点的对应点为，请画出上述平移后的； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2； (3)若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标； (4)请在线段上求作点M，使． 【分析】（1）经平移后点的对应点为，得到平移方式为向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，据此作图即可； （2）延长至，使，延长至，使，连接即可得到符合条件的； （3）分别延长、、交点即为点； （4）根据图形可以得到，，即可得到． 【答案】(1)平移后的如图： (2)如图： (3)位似中心如图，由图可得点的坐标 (4)在线段上求作点M，使，位置如图 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $