第三十一章 相似培优提升专题 2026-2027学年人教版数学 九年级下册

**基本信息** 以相似三角形判定与性质为核心，通过专题分层整合中考模拟题与教材变式题，构建“基础判定-性质应用-母题生长-综合拓展”的递进式训练体系，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形的相似与判定|5题（含动点、剪法问题）|相似判定定理（AA/SAS）应用、分类讨论思想|从概念到判定，结合动态问题强化条件分析| |相似性质与位似|5题（含格点、最值问题）|相似比性质、位似中心确定、函数建模|性质应用与图形变换结合，渗透数形结合| |教材难题生长题|2例（含3变式）|构造平行相似、中线性质迁移、母题变式拓展|从教材母题到综合应用，强化知识生成逻辑| |全国视野特训|4题（含圆、抛物线综合）|切线性质、折叠变换、相似与函数综合|跨知识整合，提升复杂问题推理与模型意识|

第三十一章 相似 培优提升专题1：图形的相似、三角形相似的判定 1.(2026临沧模拟)如图,在钝角三角形ABC中,AB =3cm,AC=6cm,动点D 从点A 出发沿AB 以1 cm/s的速度向点 B 运动，同时动点 E 从点 C 出发沿 CA以2cm/s的速度向点A 运动,当以A,D,E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是( ) A.3s 或4.8s B.3s C.4.5s D.1.5s 或2.4s 2.(2026石家庄期末)如图,在△ABC 纸板中,AC=8,BC=4,AB=10,P是AC上一点,过点P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有4 种不同的剪法，那么AP 长的取值范围是 . 3.(2025 广州模拟)(1)如图1,PB,PD是⊙O 的割线,求证:PA·PB=PC·PD; (2)如图2,PB是⊙O的割线,PC是⊙O 的切线,切点为C，求证： 4.(2026成都模拟)如图,四边形ABCD 是正方形,点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点 F,连接BD交AF 于点E,连接EC. (1)求证:△ADE≌△CDE; (2)求证:△EGC∽△ECF; (3)已知 求 5.(2026泉州期末)如图,在△ABC中,AB =AC =10,BC=12,点 P 是 BC 边上的一个动点(不与点 B,C重合),点D 是AC边上的一个动点,∠APD=∠B. (1)求证:△ABP∽△PCD; (2)当点 P 为BC 的中点时,求 CD的长; (3)当△APD为等腰三角形时，直接写出BP的长. 培优提升专题2：相似三角形的性质、位似 1.(2026 杭州模拟改编)如图，已知D,F 为 AB 的三等分点,E,G 为AC 的三等分点，比较大小：(选填“>”“=”或“<”) (1)DE+FG BC; 2.(2026无锡期末)如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1 个单位长度的小正方形，点A，B，C都在格点处(每个小方格的顶点叫做格点)，其中A(5,6),B(3,6),C(2,7). (1)已知△ABC 与△DEF(点 D,E,F 都在格点处)成位似图形，则位似中心M的坐标是 ； (2)△ABC 的外接圆的半径是 ; (3)请在网格图中画出一个格点△A₁B₁C₁，使△A₁B₁C₁∽△DEF,且相似比为1:2. 3.如图，将直角三角形余料截出一个矩形PMCN，∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P,M,N分别在AB,AC,BC上,设CN=x. (1)试用含x的代数式表示PN； (2)设矩形 PMCN 的面积为y(cm²),当x为何值时，y的值最大?最大值是多少? 4.(2026 杭州模拟)如图,在△ABC中,点 D,E,F 分别在边 AB,AC,BC上,连接DE,DF,BE,DF 与 BE 交于点 G.已知四边形 DFCE 是平行四边形， (1)若AC=25,求线段AE,GF 的长; (2)若四边形 GFCE 的面积为48,则△ABC 的面积为 . 5.(2025 梅州模拟)如图,BC是⊙O 的直径,A 是⊙O上异于B，C 的点.⊙O外的点E在射线CB上，直线EA 与CD垂直,垂足为D,且DA·AC =DC·AB.设△ABE 的面积为S₁,△ACD的面积为S₂. (1)判断直线EA 与⊙O 的位置关系，并证明； (2)若BC=BE,S₂=mS₁,求常数m的值. 培优提升专题3：教材难题生长题 近几年广东中考省卷中，较多解答题是由教材的课后难题演变过来的，因此，我们在平时的练习中除了要加强对教材母题的训练，还要关注母题的变式，特别是难题的变式拓展.本书特在培优作业本每章设置专题，精选人教版教材中的难题，并进行解析拓展，帮助学生更好地掌握和提升思维. 教材难题 【例1】(人教9下P18拓广探索，教材新增)(运算能力、几何直观、思维能力)如图，△ABC 的中线AD，BE相交于点 F.求 的值. 解题思路：可以过点E作BC的平行线，构造相似，根据平行线分线段成比例定理将所求线段的比值进行转化，再计算即可. 难题生长 1.【问题感知】(1)如图1,在△ABC中,点D 是BC的中点,点E 是AC 的一个三等分点,且 连接AD,BE交于点 G,求 的值； 【尝试应用】(2)如图2,在△ABC中,D为AC上一点,AB =AD,连接BD,过点A 作AF⊥BD,分别交BD,BC于点E,F.若AD=9,CD=3,AF=8,求AE 的长; 【拓展提高】(3)如图3，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE，AC分别交于点G,M.若 △BEG的面积为2,则△ABG的面积为 . 教材难题 【例2】(人教9下P23拓广探索，教材新增)(几何直观、空间观念、思维能力)如图，笔直的道路边有等高的路灯A，C，它们在地面的垂直投影分别为B，D，BD=18m.小华的身高为1.5m，她站在B与D之间的一点N处，在路灯A，C 照射下，她的影子长EN，FN都是3m.求路灯的高h. 解题思路：根据题意得到平行关系，进而得到△EMN∽△EAB，△FMN∽△FCD，分别列出比例式，联立方程求解即可. 难题生长 2.晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯AB，CD的照射下，地面上分别形成了他的两个影子EH，EG.已知光源B,D的高均为10m,小凯的身高EF为1.5m,两盏路灯相距40m,点A,C,E,G,H在同一平面内. (1)当影子GE长为6m 时，求此时小凯到路灯CD的距离EC； (2)连接GH，判断GH与AC 的位置关系，并说明理由； (3)小凯向上跳起再落下，该过程中GH最长达到9 m，求小凯跳起时的最大高度. 培优提升专题4：全国视野培优特训 1.(2026 芜湖一模)如图1,点 P 为圆O外一点,PA 经过圆心O，且与圆交于另一点B，PC与圆O相切. (1)求证: (2)如图2,点 D 在AC上,且 连接AD，若PB=1, 求AD的长. 2.(2025佛山模拟)综合与实践. 【问题背景】汉字书法是中华民族的文化瑰宝.毛笔书法考试从中级开始，书法纸都是不带格子的空白宣纸.现在我们需要根据书法内容的篇幅大小将书法纸折出等距的三列. 【实践操作】学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图1；再将图1沿着对角线AC 对折一次展开,得到图2,对角线AC 与折痕EH,FI,GJ的交点K，L，M即为对角线AC的四等分点. 【问题解决】(1)求证：K为对角线AC的四等分点； (2)请在图2中画出AB 的三等分点(不写作法，保留作图痕迹)，并证明； (3)请在图3中用与(2)不同的方法作(或画)出AB的一个三等分点.(要求：写出简要方案并作(或画)图，不用证明，但要保留作(或画)图痕迹) 3.(2026 广州模拟)如图,抛物线 与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点 C,连接BC，抛物线的顶点为 M. (1)求抛物线的解析式及顶点 M 的坐标； (2)若点 D 是直线 BC 上方抛物线上一动点，连接OD交BC 于点 E,当 的值最大时，求点D 的坐标； (3)已知点 G 是抛物线上的一点，连接 CG，若∠GCB=∠ABC,直接写出点 G的坐标. 4.(2026 无锡模拟)在矩形ABCD 中,点 E,F 分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿EF 折叠,使点A 的对应点 P 落在边 CD上,点 B 的对应点为点 G,PG交BC 于点 H. (1)如图1,求证:△DEP∽△CPH; (2)如图2,当P为CD的中点,AB=2,AD=3时,求GH的长; (3)如图3,连接BG,当P,H分别为CD,BC的中点时，探究 BG与AB 的数量关系(直接写出结果). 第三十一章 相似 培优提升专题1：图形的相似、三角形相似的判定 1. D 2.6≤AP<8 3.证明:(1)∵∠PCA+∠ACD=180°,∠PBD+∠ACD=180°,∴∠PCA=∠PBD. 又∵∠P=∠P,∴△PCA∽△PBD, ∴PA·PB=PC·PD. ∵PC为⊙O 的切线,CB'为⊙O的直径, ∴ ∠PCO=∠CAB'=90°, ∴∠PCA+∠ACO=90°,∠B'+∠ACO=90°, ∴∠PCA=∠B',∴∠PCA=∠B. 又∵∠P=∠P,∴△PCA∽△PBC, 4.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD=CD,∠ADE=∠CDE=45°, ∵DE=DE,∴△ADE≌△CDE(SAS). (2)证明:∵△ADE≌△CDE,∴∠DAE=∠DCE, ∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F,∴∠DCE=∠F, ∵∠CEG=∠CEF,∴△EGC∽△ECF. (3)解: ∴设DG=2x,则GC=3x, ∴CD=5x=AB, ∵AB∥CD, 5.(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∵∠APC=∠B+∠BAP,∠APC=∠APD+∠CPD, ∠APD=∠B, ∴∠BAP=∠CPD, ∵∠B=∠C,∴ △ABP∽△PCD. (2)解:∵BC=12,点 P为BC的中点, ∴BP=PC=6, ∵△ABP∽△PCD, 即 解得CD=3.6. (3)解：当△APD为等腰三角形时，BP的长为2或 培优提升专题2：相似三角形的性质、位似 1.(1)= (2)< 2.(1)(3,10) (2)\sqrt{5}(3)图略 3.解：(1)∵将直角三角形余料截出一个矩形PMCN，∠C=90°,点 P,M,N分别在AB,AC,BC上, ∴PN∥AC,∴△BPN∽△BAC, 即 (2)∵矩形PMCN的面积 ∴当x=3cm时,y的值最大,最大值是12cm². 4.解:(1)∵四边形DFCE 是平行四边形, ∴DE∥BC,DF∥AC,DE=CF, ∴△ADE∽△ABC, ∵AC=25,∴AE=10,∴CE=25-10=15, ∵DF∥AC,∴△BFG∽△BCE, ∴GF=9. (2)125 5.解:(1)EA与⊙O 相切,证明如下: 连接OA,∵DA·AC=DC·AB,∴△B=AC, ∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°=∠ADC,∴△ABC∽△DAC,∴∠ACB=∠ACD, ∵OA=OC,∴∠OAC=∠ACB=∠ACD, ∴OA∥CD,∴∠OAE=∠CDE=90°,∴OA⊥DE,又∵OA为⊙O的半径,∴EA 与⊙O 相切. (2)∵OA∥CD,∴△AOE∽△DCE,∴0△D=CDE,设BO=OC=OA=a,则BC=2a, ∵BC=BE=2a,∴S△ABE=S△ABC,EO=3a,EC=4a, 培优提升专题3：教材难题生长题 【例1】解:如图,过点 E作EG∥BC,交AD 与点 G, ∵EG∥BC,∴△ADC∽△AGE, ∴ BE 是△ABC的中线,∴AC=2AE, ∵EG∥BC,∴△BDF∽△EGF, ∵AD是△ABC的中线,∴BD=DC, 1.解:(1)如图1,过点E作EH∥BC,交AD于点H, ∵EH∥BC,∴△ADC∽△AHE, ∴AC=3AE, ∵EH∥BC,∴△BDG∽△EHG, ∵点D是BC的中点， (2)如图2,取BC的中点H,连接EH,则BH=CH, ∵AB=AD=9,AF⊥BD于点E,CD=3,AF=8, ∴BE=DE,AC=AD+CD=9+3=12, ∴EH∥CD, ∵EH∥AC,∴△EHF∽△ACF, ∴AE=AF-EF=8-1=7. (3)10 【解析】如图3,过点E作EL∥BF交AC于点L, ∵点E为BC的中点， . BE=CE, ∴CM=2ML, ·四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,CD=AB, .△CMF∽△AMB, :EL∥GM, . AG=5EG,∴S△ABC=5S△BEG, △BEG的面积为2,∴ △ABG的面积=2×5=10. 【例2】解:设BF=a,则EB=a+3+3=a+6,FD=18-a,由题意得MN⊥BD,AB⊥BD,∴MN∥AB, 同理可得 则解得经检验成立， ∴路灯的高h为6m. 2.解:(1)∵EF∥CD,∴△GEF∽△GCD, ∴GE:GC=EF:CD, ··GE=6m,EF=1.5m,CD=10m, ∴6:(6+EC)=1.5:10,解得EC=34(m), ∴此时小凯到路灯 CD 的距离EC为34 m. (2)GH∥AC,理由如下: 连接GH, ··EF∥AB,AB=CD,∴HE:HA =EF:AB=EF:CD,由(1)得GE:GC=EF:CD, ∴HE:AE=GE:CE, 又∵∠GEH=∠CEA,∴△GHE∽△CAE, ∴∠HGE=∠ACE,∴GH∥AC. (3)由(2)可得△GHE∽△CAE, ∵GH:AC=GE:EC, :GH=9m,AC=40m,∴GE:EC=GH:AC=9:40, ∴GE:GC=9:49, 又∵△GEF∽△GCD,设小凯跳起时的最大高度为 xm,∵x:CD=GE:GC,即x:10=9:49,解得: ∴小凯跳起时的最大高度为 培优提升专题4：全国视野培优特训 1.(1)证明:如图1,连接OC,BC,则∠ACB=90°, ∵PC与圆O相切,∴OC⊥CP, ∴∠PCB+∠OCB=90°,∠ACO+∠OCB=90°, ∴∠ACO=∠PCB, ∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO=∠PCB, 又 (2)解:如图2,连接OC交BD于点E, 设圆O的半径为R,则OC=R,AB=2R, 由(1)可知 又∵OC⊥CP,∴BD∥PC,BE=DE, 即 ∵O为AB的中点,BE=DE,∴AD=2OE=\frac{8}{3} 2.(1)证明:根据题意知AE=EF=FG=GB,EH∥FI∥GJ∥BC, ∵EK∥BC, ∴K为对角线AC的四等分点. (2)解:如图1,连接BM,过点L作LP∥BM 交AB 于点 P,过点K作KQ∥BM交AB于点Q, 点Q，P即为线段AB的三等分点，证明如下： 由(1)可得 ∵LP∥BM,KQ∥BM, ∴点Q，P为线段AB的三等分点. (3)解：如图2，将正方形纸片对折一次展开，得到AB的中点F,连接DF,AC交于点R,过点R作RT∥BC交AB 于点T,点T即为AB的一个三等分点. 3.解:(1)将A(-1,0),B(4,0)代入 得 解得 ∴抛物线的解析式为 ∴ 顶点 M 的坐标为 (2)如图,过点D作DH∥y轴,交BC 于点H. 设 直线BC的解析式为y= kx+n,由(1)可知B(4,0),C(0,2), 则 解得 直线BC的解析式为 ·DH∥y轴,∴△DHE∽△OCE, ∴当m=2时, 的值最大， ∴此时点D 的坐标为(2,3). (3)点G的坐标为(3,2)或 4.(1)证明:如图,∵四边形ABCD 是矩形, ∵E,F分别在AD,BC上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A的对称点P落在CD上， ∴∠EPH=∠A=90°,∴∠1+∠2=90°, ∴∠3=∠2,∴△DEP∽△CPH. (2)解:∵四边形ABCD 是矩形, ∴CD=AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D=∠C=90°, ∵P为CD的中点, 设EP=AE=x,∴ED=AD-AE=3-x, 在 Rt△EDP 中, 即 解得 ∵△DEP∽△CPH ∵PG=AB=2,∴GH=PG-PH=\frac{3}{4} (3)解: (提示：延长AB，PG交于一点 M，连接AP,先证明△MBH≌△PCH,得到相等的边,再根据△MBG∽△MAP，得出大小关系) 1 学科网（北京）股份有限公司 $