第三十一章 相似（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材人教版九年级下册

2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第三十一章 相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．已知，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. A． B． C． D． 4．如果把一个的三边都扩大到原来的2倍，那么的（     ） A．周长扩大2倍 B．面积扩大2倍 C．对应角扩大2倍 D．以上都有可能 5．如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 6．已知线段，点C是线段的黄金分割点，则的长为（      ） A． B． C． D． 7．如图，，则下列式子不正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，．若，，则的长度为（     ） A．3 B．3.6 C．4 D．5 9．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 10．如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则________． 12．已知四条线段、、、成比例，则的值为______． 13．如图，在中，点、分别在边、上，，．若的面积为4，则四边形的面积为_____． 14．如图，正方形和正方形是位似图形，点C和点F的坐标分别为，，且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是_________．    15．如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度_______． 16．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，四边形四边形，，，，，，，求的长和的度数． 18．已知分别表示三条线段的长，且满足． (1)求的值； (2)已知线段为的三条边，若的周长为36，求各边的长度． 19．如图，，直线，分别交直线，，于点，，和点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画一个格点，使它与相似，面积之比是． (2)在图②中画一条格点线段，交于点P，使． 21．如图，在的正方形网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________． (2)判断与是否相似，并说明理由． 22．在如图的网格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 23．综合与实践：锦江亭位于丹东市锦江山公园山顶，是公园的标志性建筑之一．我校九年数学综合与实践小组开展测量锦江亭高度的活动，记录如下： 活动主题 测量锦江亭的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1： 把标杆垂直立于地面点D处，锦江亭顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q． 步骤2： 将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，锦江亭顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P． 测量数据 ，，， 备注 点B，D，Q，F，P在同一水平线上 根据表格中的信息和数据，求锦江亭的高度． 24．如图所示的四边形ABCD是边长为16的正方形，O是边AD上的一个动点，且8<OA<16，以O为圆心，OA为半径作圆，交CD边于点M，连接OM，过点M作的切线，交BC边于点N． (1)求证：． (2)当DM＝8时，求OA，CN的长． 25．完成下列小题． (1)如图1，已知中，，，．正方形的顶点在边上，点在斜边上，点F在边BC上，试求正方形的边长． (2)如图2，在中，，，．在该三角形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？ 我们不妨这样思考： 如图2，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列5个； ①按上述思路，如图3，排列第二层时，通过计算确定第二层最多排列多少个小正方形． ②请通过计算确定在内部能排列的小正方形最多个数； (3)如图4，在梯形ABCD中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．直接写出在梯形内部能排列的小正方形的最多个数． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第三十一章 相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．已知，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. A． B． C． D． 4．如果把一个的三边都扩大到原来的2倍，那么的（     ） A．周长扩大2倍 B．面积扩大2倍 C．对应角扩大2倍 D．以上都有可能 5．如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 6．已知线段，点C是线段的黄金分割点，则的长为（      ） A． B． C． D． 7．如图，，则下列式子不正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，．若，，则的长度为（     ） A．3 B．3.6 C．4 D．5 9．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 10．如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则________． 12．已知四条线段、、、成比例，则的值为______． 13．如图，在中，点、分别在边、上，，．若的面积为4，则四边形的面积为_____． 14．如图，正方形和正方形是位似图形，点C和点F的坐标分别为，，且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是_________．    15．如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度_______． 16．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，四边形四边形，，，，，，，求的长和的度数． 18．已知分别表示三条线段的长，且满足． (1)求的值； (2)已知线段为的三条边，若的周长为36，求各边的长度． 19．如图，，直线，分别交直线，，于点，，和点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画一个格点，使它与相似，面积之比是． (2)在图②中画一条格点线段，交于点P，使． 21．如图，在的正方形网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________． (2)判断与是否相似，并说明理由． 22．在如图的网格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 23．综合与实践：锦江亭位于丹东市锦江山公园山顶，是公园的标志性建筑之一．我校九年数学综合与实践小组开展测量锦江亭高度的活动，记录如下： 活动主题 测量锦江亭的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1： 把标杆垂直立于地面点D处，锦江亭顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q． 步骤2： 将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，锦江亭顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P． 测量数据 ，，， 备注 点B，D，Q，F，P在同一水平线上 根据表格中的信息和数据，求锦江亭的高度． 24．如图所示的四边形ABCD是边长为16的正方形，O是边AD上的一个动点，且8<OA<16，以O为圆心，OA为半径作圆，交CD边于点M，连接OM，过点M作的切线，交BC边于点N． (1)求证：． (2)当DM＝8时，求OA，CN的长． 25．完成下列小题． (1)如图1，已知中，，，．正方形的顶点在边上，点在斜边上，点F在边BC上，试求正方形的边长． (2)如图2，在中，，，．在该三角形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？ 我们不妨这样思考： 如图2，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列5个； ①按上述思路，如图3，排列第二层时，通过计算确定第二层最多排列多少个小正方形． ②请通过计算确定在内部能排列的小正方形最多个数； (3)如图4，在梯形ABCD中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．直接写出在梯形内部能排列的小正方形的最多个数． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第三十一章相似·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案■ B 0 A A D D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 12.2 13.5 14.（10) 15.3.6 156169 16.49或51 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 【详解】解：：四边形4BCD四边形 BCD1∠D=83° BC AB ∴BG4B’∠D=∠D,=83, AB=18.4B=12BC=14 BC_18 .1412 解得BC=21.3分 又：∠A=117°，∠B=77°， .∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-117°-77°-83°=83°.6分 18 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=b=￡=k(k>0), 【详解】(1)解：设234 则a=2k,b-3k,c=4k a+2b_2k+6k8k2 3c 12k12k3.3分 (2)解：△ABC的周长为36， .由(1)可得2k+3k+4k=36, 解得k=4, ∴△ABC ,12,16 各边的长度分别为 6分 19. 1∥g2∥13 【详解】(1)解： AB DE ·BCEF, AB=8,BC=10,DE=5, 85 .10EF :EF=25 4 DF=DE+EF=5+25_45 45 4=4,即DF的长为4；3分 (2)解：% AB DE ·BCEF, DE:EF=3:4, DE 3 F4 AB 3 .94 :Bs27 4, 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :4C=AB+BC=27+9=63 63 4 =4,即AC的长为4.6分 20.(1) 解：如图，△ADE为所作的图形.理由如下： AD=l,BA=2,AE=V2+22=2V2,AC=V4+4=4N2 AD 1 AE 22 1 .AB2'AC42, AD AE 1 ∴.ABAC2 .∠DAE=∠BAC, :.△ADE∽△ABC,且相似比为2， -分 (2) 解：如图，CD为所作的线段. B 连接AC,BD,如图 由图可知AC∥BD,AC=l,BD=3, 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 APAC_1 小PBBD36分 21. 【详解】(1)解：由题意， BC=V22+22=2W2 DF=V?+32=√10 2210 故答案为： .…4分 (2)解：相似，理由如下： 由题意，∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°， 又“B=2,BC=22,FE=2,DE=V2, 后=6%2 FE 2 .AB_BC DE FE 又：∠ABC=∠DEF, .AABC△DEF..8分 22.(1)如图：点P的位置即为所求： P(-5,-1) D 2分 B (2)如图： △0AB,即为所求.5分 (3③)解：：△048与△0B的位似比为2：L,a0MB内有一点P(a),在△0AB内的-点为B, 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2(-2a,-2b) 8分 23. 【详解】解：CD⊥BP,EF⊥BP,AB⊥BP AB∥CD∥EF, .AB∥CD ∴.△CDQ∽△ABQ CD DO ·ABBO: CD=OD=2m :AB=BO .OD=2m PF=3m DF=7.75m ..PB=PF+(FD-DO)+BO=8.75m+AB ,3分 :AB∥EF, ∴.△EFP∽△ABP」 、EFPF 2 3 ABPB,即AB8.75+AB, 解得AB=17.5m, .锦江亭AB的高度为17.5m,8分 24. 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .∠D=∠C=90°， ∴.∠DOM+∠OMD=90. ∴.MN是⊙O的切线， ∴.∠OMN=90°， .∴.∠OMD+∠CMN=90°， 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠DOM=∠CN, .△ODM∽△MCN.6分 (2)解：设⊙0的半径为r,则OA=OM=r,OD=16-r. 在Rt△ODM中，根据勾股定理得： OD2+DM2=OM 即(16-}+82=2 解得：r=10, ∴.OA=10, ∴.0D=16-10=6. CD=16,DM=8, ∴CM=8 .△ODMr△MCN, OD DM .CM CN' 68 即8CN, :Cw=32 .…12分 25. 【详解】(I)解：，正方形BDEF, DE∥BC,DE=DB, ∠DAB=∠BAC, .△ADE∽△ABC, DE AD ·BCAB' AD=AB-BD,AB=4,BC=10 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE=20 , 20 即正方形BDEF的边长为74分 EF AE (2)解如图2，排列第一层时，因为EB=1.2,所以AB=4-1.2=2.8,同理(1)可得：BCAB, EF2.8 即：104 解得EF=7. 因为7412=5号，所以第层提多排列5个： GH AG 如图③，排列第二层时，因为GB=2.4:所以4G=4-2.4=1.6,同理(1)可得： BC AB GH1.6 即：10=4， 解得GH=4. 因为4÷1.2=3 ,所以第二层最多排列3个：， 如图，排列第三层时，AM=AB-MB=4-3.6=0.4. A G H E B (图③) .MNI∥BC ∴.△AMN∽△ABC MN AM BCAB· .MN=1, 1<1.2, 第三层无法排列完整的小正方形， 5+3=8. ∴在Rt△ABC内部能排列的小正方形个数最多为8个；8分 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：2.4÷1.2=2， ∴以10为宽度能排列两排， 10÷1.2=8} 3’ 第一层最多排列8个，第二层最多排列8个， 如图4，排列第三层时AE=AB-EB=4-2.4=1.6,AF=AE-EF=1.6-1.2=0.4, G F (图④) .∠DEB=∠EBC=∠BCD=90° ∴四边形BCDE是矩形， .ED=BC=10」 :FG∥ED .∴AFGSAAED FG AF ED AE FG=2.5, 2.5÷1.2=21 2, ∴第三层最多排列2个， AF=0.4<12」 第四层最多排列0个， 8+8+2=18. ∴在梯形ABCD内部能排列的小正方形个数最多为18个12分 8/8 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第三十一章 相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】用最长与最短线段的乘积和中间两线段的乘积是否相等，判断线段是否成比例． 【详解】解：A．∵， ∴、、、不成比例； B．∵， ∴、、、成比例； C．∵， ∴、、、不成比例； D．∵， ∴、、、不成比例． 2．已知，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 3．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的两个图形是相似图形，分别对A、B、C、D各选项的图形进行判断即可得答案. 【详解】解：A.设A选项图形的内边框长为，宽为，内外边框之间的宽为，则外边框长为，宽为， ∴内、外边框的边长比为：，， 当时，， ∴， 此时A选项图形内外边框的图形对应边不成比例，不是相似图形. 当时，， ∴， 此时A选项图形的内外边框的图形对应边成比例， ∵A选项图形的内外边框的图形是矩形， ∴A选项图形的内外边框的图形对应角相等， ∴此时A选项图形的内外边框的图形是相似图形， 综上所述，A选项图形的内、外边框的图形不一定相似，故A符合题意. B. 根据B选项图形的内、外边框的图形是正方形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴B选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴B选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故B不符合题意. C. 根据C选项图形的内、外边框的图形是等边三角形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴C选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴C选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故C不符合题意. D. 根据D选项图形的内、外边框的图形是圆，设内边框的半径为，内外边框之间的宽为，则外边框的半径为， ∴D选项图形的内、外边框的图形的周长比为：，对应角为，也相等， ∴D选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故D不符合题意. 4．如果把一个的三边都扩大到原来的2倍，那么的（     ） A．周长扩大2倍 B．面积扩大2倍 C．对应角扩大2倍 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据周长比等于相似比、面积比是相似比的平方即可求出． 【详解】解：把一个的三边都扩大到原来的2倍，原三角形与扩大后的三角形相似，相似比为， 相似三角形的周长比等于相似比，因此周长会扩大到原来的2倍，选项A说法正确； 相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此面积应该扩大到原来的4倍，不是2倍，选项B说法错误； 相似三角形的对应角大小完全相等，角度不会随边长放大而变化，选项C说法错误． 5．如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，将选项中的乘积式转化为比例式，结合公共角进行判断即可． 【详解】 解： 由可得， ， ， 只有选项D符合题意． 6．已知线段，点C是线段的黄金分割点，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，，则下列式子不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例定理可证明，，据此可判断A、D；过点B作，交直线于点G，交直线于点H，证明四边形和四边形都是平行四边形，得到；证明，得到，据此可判断C；根据现有条件无法证明，据此可判断B。 【详解】解：∵， ∴，，故A正确， ∴ ，故D正确； 如图所示，过点B作，交直线于点G，交直线于点H， ∵，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴，故C正确； 根据现有条件无法证明，故B错误。 8．如图，在中，，．若，，则的长度为（     ） A．3 B．3.6 C．4 D．5 【答案】C 【分析】证明，利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴． 9．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形性质，相似比为，对应边比为，对应点连线过位似中心，对应边互相平行，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此选出错误选项． 【详解】由题意知，与是位似图形，把放大为原图形的2倍得到， 因此相似比为． 选项A、因为相似图形的对应边成比例，所以，选项A正确； 选项B、因为位似图形的对应点的连线经过位似中心，因此点在同一直线上，选项B正确； 选项C、因为位似图形的周长比等于相似比，所以，选项C错误； 选项D、因为位似图形的对应边互相平行，所以，选项D正确． 10．如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用轴对称的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，，， ∵锥形瓶轴截面是轴对称图形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则________． 【答案】/ 【分析】根据比例性质，设，，代入中求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 12．已知四条线段、、、成比例，则的值为______． 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按题目给出的线段顺序列出比例式，再利用比例的基本性质计算求解. 【详解】解：∵四条线段，，，成比例，顺序与给出顺序一致， ∴， 根据比例的基本性质得 ， 解得 13．如图，在中，点、分别在边、上，，．若的面积为4，则四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】由平行可判定，再利用相似的性质求出的面积，最后作差求出四边形的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．如图，正方形和正方形是位似图形，点C和点F的坐标分别为，，且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是_________．    【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、位似变换、一次函数与二元一次方程组、三角形全等的判定与性质，熟练掌握位似变换，确定位似中心的位置是解题的关键． 根据正方形的性质求得，，，，直线和直线的交点即为位似中心，利用待定系数法求得直线和直线的解析式，再建立二元一次方程组进行求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是正方形，点C和点F的坐标分别为，， ∴，，，， 设直线的解析式为：， 把、代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 把 ，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 直线和直线的交点即为位似中心， ∴建立方程组得，，解得：， ∴位似中心的坐标为：． 15．如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度_______． 【答案】 【分析】根据已知易得，可得，即可得出，证明，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：∵和表示两根立于地面的柱子，点离地面的高度为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 16．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________． 【答案】或 【分析】利用勾股定理求出的长，用含的代数式表示和，分和 两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出方程求解 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ． 由题意得： ，， ． ， 分两种情况讨论： 当时， 即， 解得； 当 时， 即， 解得． 综上所述，当为或时，与相似． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，四边形四边形，，，，，，，求的长和的度数． 【答案】， 【分析】先根据相似多边形的性质可得的长和的度数，再根据四边形的内角和即可得的度数． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴，， ∵，，， ∴， 解得． 又∵，， ∴． 18．已知分别表示三条线段的长，且满足． (1)求的值； (2)已知线段为的三条边，若的周长为36，求各边的长度． 【答案】(1) (2)各边的长度分别为 【分析】（1）设，则，代入求值即可； （2）的周长为36，由（1）可得，解方程得到后即可求出答案． 【详解】（1）解：设， 则， ． （2）解：的周长为36， ∴由（1）可得， 解得， 各边的长度分别为． 19．如图，，直线，分别交直线，，于点，，和点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得，求出，然后通过进行解答即可； 根据平行线分线段成比例定理得，求出，然后通过进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的长为． 20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画一个格点，使它与相似，面积之比是． (2)在图②中画一条格点线段，交于点P，使． 【答案】(1) 解：如图，为所作的图形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且相似比为， ∴． (2) 解：如图，为所作的线段． 连接，如图 由图可知， ∴． 【分析】本题考查了格点作图，相似三角形的判定与性质，平行线间线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）取的中间格点E，连接，即可解答； （2）取格点C，D，连接，交于点P，且满足，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，在的正方形网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________． (2)判断与是否相似，并说明理由． 【答案】(1)，；． (2)解：相似，理由如下: 由题意，， 又 ， 又， ． 【分析】（1）根据已知条件，根据和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长度． （2）根据两边对应成比例，夹角相等，证明与相似． 【详解】（1）解：由题意， ， ； 故答案为：，． （2）略 22．在如图的网格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 【答案】(1)如图：点P的位置即为所求； ． (2)如图：即为所求． (3) 【分析】（1）如图：各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图∶ 点P的位置即为所求；． 图略 （2）解：如图：即为所求． 图略 （3）解：∵与的位似比为，内有一点，在内的一点为， ∴． 23．综合与实践：锦江亭位于丹东市锦江山公园山顶，是公园的标志性建筑之一．我校九年数学综合与实践小组开展测量锦江亭高度的活动，记录如下： 活动主题 测量锦江亭的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1： 把标杆垂直立于地面点D处，锦江亭顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q． 步骤2： 将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，锦江亭顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P． 测量数据 ，，， 备注 点B，D，Q，F，P在同一水平线上 根据表格中的信息和数据，求锦江亭的高度． 【答案】锦江亭的高度为 【分析】由可得，从而证得，，由，利用相似三角形对应边成比例列关系式，得到，即可用含的式子表示的长，由，利用相似三角形对应边成比例列关系式，即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，即， 解得， 锦江亭的高度为． 24．如图所示的四边形ABCD是边长为16的正方形，O是边AD上的一个动点，且8<OA<16，以O为圆心，OA为半径作圆，交CD边于点M，连接OM，过点M作的切线，交BC边于点N． (1)求证：． (2)当DM＝8时，求OA，CN的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)OA＝10， 【分析】（1）根据正方形性质及圆切线性质知∠OMN=90°=∠D=∠C，再利用同角的余角相等可证得∠DOM＝∠CMN，即得证； （2）设半径为r，在直角三角形ODM中利用勾股定理求出r的值，进而得到OD、DM、CM的长度，再利用得，代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠C＝90°， ∴∠DOM＋∠OMD＝90． ∴MN是的切线， ∴∠OMN＝90°， ∴∠OMD＋∠CMN＝90°， ∴∠DOM＝∠CMN， ∴． （2）解：设的半径为r，则OA＝OM＝r，OD＝16﹣r． 在Rt△ODM中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：r＝10， ∴OA＝10， ∴OD＝16﹣10＝6． ∵CD＝16，DM＝8， ∴CM＝8． ∵， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键． 25．完成下列小题． (1)如图1，已知中，，，．正方形的顶点在边上，点在斜边上，点F在边BC上，试求正方形的边长． (2)如图2，在中，，，．在该三角形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？ 我们不妨这样思考： 如图2，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列5个； ①按上述思路，如图3，排列第二层时，通过计算确定第二层最多排列多少个小正方形． ②请通过计算确定在内部能排列的小正方形最多个数； (3)如图4，在梯形ABCD中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．直接写出在梯形内部能排列的小正方形的最多个数． 【答案】(1) (2)①，② (3) 【分析】（1）根据相似三角形列比例式求解即可； （2）利用相似三角形求出每层位置上水平方向最大宽度，宽度除以正方形边长得到本层最多可放置的正方形数量，逐层累加即可得到总数； （3）梯形上下底长度已知，先判断底部几层宽度充足，再利用相似三角形求出靠上位置截面宽度，逐层计算正方形个数求和． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵， ， ∴， ∵，，． ∴ ， 即正方形的边长为. （2）解：如图2，排列第一层时，因为，所以，同理（1）可得： ， 即： 解得． 因为，所以第一层最多排列个； 如图③，排列第二层时，因为，所以，同理（1）可得： ， 即：， 解得． 因为，所以第二层最多排列个；， 如图，排列第三层时，， ， ， ， ， ， 第三层无法排列完整的小正方形， ， 在内部能排列的小正方形个数最多为个； （3）解：， 以为宽度能排列两排， ， 第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图4，排列第三层时，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 第三层最多排列个， ， 第四层最多排列个， ， 在梯形内部能排列的小正方形个数最多为个. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $