第三十二章 锐角三角函数（单元自测）数学新教材人教版九年级下册

第三十二章 锐角三角函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，中，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【解析】∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意．故选A． 2．若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（ ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．在中，各边都扩大4倍，其相应边长的比值不变，因此锐角A的正弦函数值也不会改变． 【解析】锐角三角函数值是随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角A的正弦函数值不会随着边长的扩大而变化， 即若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值无变化， 故选D． 3．在中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可． 【解析】∵在中，， ∴． 故选B 4．如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【解析】∵，，， ∴, ∴， 故选D． 5．在中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切定义，设，则，再根据勾股定理求得，然后利用余弦定义求解即可． 【解析】如图， ∵在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选D． 6．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点A到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于D，利用锐角三角函数的定义列式即可． 【解析】如图，过点A作于D， 则点A到的距离为．故选A． 7．在中，，已知，，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了余弦的定义，画出图形，根据余弦的定义计算即可得解，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键． 【解析】如图： ， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选D． 8．如图，小明在地面C处测得建筑物顶点A的仰角为，在地面D处测得建筑物顶点A的仰角为，点B，D，C在一条直线上，已知米，则该建筑物的高度为（ ） A．米 B．米 C．26米 D．米 【答案】B 【分析】设米，根据特殊角的正切值，求得米，米，再利用，求出的值，即可得到答案． 【解析】设米， 在中，， （米）， 在中，， （米）， ，米， ， ， （3）米， 故选B． 【点睛】本题考查了直角三角形的实际应用，特殊角的三角函数值，灵活运用锐角三角函数是解题关键． 9．如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析当点P在点A处、点P到达边高（ ）的位置、点P到达点C处，P点的位置对应2个图中的位置关系，即可求解． 【解析】如图，过点B作于点H， ①当点P在点A处时，即当时，， ②当点P到达边高（ ）的位置时，，此时最小，即， ③当时，点P对应图2末端时，即，则， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 综上所述，选项A、C、D正确，不合题意；选项B错误，符合题意． 故选B． 10．在中，，，垂足为，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可证明得到，则，据此可得，则． 【解析】∵， ∴可设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴．故选A． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．在中，若，，都是锐角，则是________三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【解析】由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为等腰直角． 12．若是锐角，，则应满足________． 【答案】 【分析】首先明确，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案． 【解析】∵，余弦函数随角增大而减小， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 13．如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 ________ s． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，三角函数的比值关系，合理分类讨论和作出相关辅助线是解题的关键． 分类讨论等腰三角形边相等的情况，再结合勾股定理列出方程运算即可． 【解析】由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论： ①当时，如图，过作，交延长线于点， ， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， ∴ 此时； ②当时，且在线段上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 此时； ③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， 即此时与重合， ∴， ∴， 此时； 综上，的值为或或； 故答案为或或． 14．计算 ________ ． 【答案】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【解析】原式， 故答案为． 15．物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 ________ （填“大”或“小”）． 【答案】小 【分析】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．根据杠杆原理及的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案． 【解析】∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0， ∴动力随动力臂的增大而减小， ∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时的值越来越大，β的度数越来越大，此时的值越来越小， ∴阻力臂越来越小，阻力不变， ∴动力×动力臂越来越小，而动力臂越来越大， ∴此时动力越来越小， 故答案为小． 16．在中，若，则________． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而结合三角形内角和定理得出答案． 【解析】， ，， 则． 故答案为． 17．如图，在赵爽弦图中，正方形是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形组成的．若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形，连接并延长，交于点．若正方形的面积为196，正方形的面积为4，则： （1）正方形的面积为 ________． （2）的长为 ________． 【答案】 100 7.9 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）设每个小直角三角形的长直角边长为，短直角边长为，斜边长为．，则，进而得出{，勾股定理得出，即可求解； （2）设交于点，证明，利用同角的三角函数性质求出，，，即可求解． 【解析】（1）设每个小直角三角形的长直角边长为，短直角边长为，斜边长为． 正方形的面积为196，正方形的面积为4， ． ，， ． 解得：． ． 正方形的面积为：． 故答案为100； （2）设交于点． 由题意得：，， ． ． ． 四边形是正方形， ． ． 由题意得：，． ． 同理． ． 由题意得：，，． ． ． 故答案为7.9． 18．如图是一个直角三角尺，其中，，则________． 【答案】## 【分析】本题考查了特殊锐角的三角函数值．根据特殊锐角的三角函数值即可求解． 【解析】∵，， ∴． ∴． 故答案为． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， （1）根据测量数据，求步道的长度； （2）为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 【答案】（1）210米 （2）865.6米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用． （1）过点D作交的延长线于点F，由正弦的定义求解即可得出答案． （2）解直角三角形算出，，，进而求出，再根据围栏长度为代入计算即可． 【解析】（1）解：过点D作交的延长线于点F， 由题意可知：，， 在中， ， ， 步道的长度为210米． （2）解：在中，，， ，． 在中，， 围栏长度为： （米） 20．（8分）为了吸引更多的游客前来旅游，某景区采取了一系列的景区提升改造策略，景区的观光扶梯改造为改造项目之一．如图，为原扶梯的截面图，其中，．为了增强游客的体验感，拟在扶梯顶部建一个长米的观景平台，即米；为了改善扶梯的安全性能，拟将扶梯与地面的夹角改造为，即．图中，且，，三点共线，．通过计算发现调整后米，求扶梯的高．（结果精确到米，，，，）    【答案】米 【分析】过点作于点，根据，及即可判断四边形是平行四边形，进一步四边形是矩形，即可得到，，通过设，在中根据三角函数即可得到，进一步得到，在中根据三角函数即可得到，再根据，建立关于的方程，解方程即可求出答案． 【解析】过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在，， ∴， ∴， 在，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴扶梯的高约为米．    【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键添加适当的辅助线，构造直角三角形． 21．（8分）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．    （1）求的长； （2）求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：） 【答案】（1）km （2）km 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟悉掌握三角函数是解题的关键． （1）用正弦三角函数求解即可． （2）结合第一问，求解长度，用正切三角函数求解即可． 【解析】（1）解：由题意得，， ， ． （2）， ． 22．（8分）如图，A，B，C为山脚两侧在同一条直线上的三个观测点，计划沿直线开通穿山隧道，其中，，．在山顶P处测得点A，B，C的俯角分别为，，求的长．（参考数据：，，） 【答案】隧道的长度 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点P作于F，设长为x．在和以及，利用三角函数的定义求得，，据此求解即可． 【解析】过点P作于F，设长为x． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， 在中，由， ∴， ∴， ∴ 即隧道的长度． 23．（8分）春天到了，万物复苏，小明在公园里放风筝，一开始小明站在处，风筝在空中的处，此时风筝线与地平线的夹角为，为了保证风筝能够平稳飞行，小明走到了外的处，此时风筝线与地平线的夹角为，而风筝的高度依然不变．求风筝的高度．（，，最后结果精确到米） 【答案】风筝的高度为 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的计算，解直角三角形的应用，根据题意作适合的辅助线以构造直角三角形是解题关键． 过点作，交延长线于点，通过三角函数可得、，利用构建一元一次方程，解方程，再把代入计算即可． 【解析】过点作，交延长线于点，如图所示： 则，， 在中，， ∴， 在中，， ， ， 解得：， 答：风筝的高度为． 24．（8分）如图，一艘海轮从位于灯塔的北偏东方向处，沿正南方向航行70海里后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．求海轮在航行过程中与灯塔的最小距离．（参考数据：） 【答案】海轮在航行过程中与灯塔的最小距离为30海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先把数值代入，得，结合，则，因为，所以，解得，即可作答． 【解析】过点作，垂足为， 依题意，设 在中，，， ， 在中，， ∴ ， ， ， 解得． 答：海轮在航行过程中与灯塔的最小距离为30海里． 25．（9分）某初三数学实践小组准备用所学知识测量郊外一座古塔的高度，古塔底部有台阶无法直接到达，古塔旁有一个斜坡，小敏在斜坡下的处测得古塔的顶端的仰角为，小菲在斜坡顶端处测得古塔顶端的仰角为，斜坡下方标示的坡度，斜坡的长度为米，请你帮助数学小组计算古塔的高度．（参考数据： ）． 【答案】33米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，结合斜坡下方标示的坡度，即，运用勾股定理列式计算解得， 在中，在中，分别代入数值计算，得，故（米），即可作答． 【解析】过点E 作，过点E作 ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵斜坡下方标示的坡度， ∴， 即， 在中，， ∵斜坡的长度为米， 即， 解得（负值已舍去）， （米）， ∴设， 则， 在中， 即 ∴， ∴， 在中， 即 ∴， 则 ∴ 解得 ∴（米） 26．（9分）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A处(点G、A、C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A、B、C、D在同一平面内．参考数据：，，，，） （1）填空：________； （2）求斜坡上点D到的距离； （3）求大树的高度（结果精确到米）． 【答案】（1）61 （2）点D到的距离为3米 （3）大树的高度约为米 【分析】本题主要考查解直角三角形，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解． （1）由坡度可求，由平行线的性质和已知条件可求； （2）过点D作于点F，利用含的直角三角形的性质进行求解； （3）D作于点H，设，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解． 【解析】（1）解：斜坡的坡度， ， ， ， 故答案为61． （2）如图2，过点D作于点F． 在中， ，， ． 答：点D到的距离为3米． （3）过点D作于点H，则四边形是矩形． ． 设，则． 在中， ， ． 在中，． ， 在中， ， ． 解得， 答：大树的高度约为米． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十二章 锐角三角函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，中，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（ ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 3．在中，，则（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ） A． B． C． D． 5．在中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点A到的距离为（ ） A． B． C． D． 7．在中，，已知，，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 8．如图，小明在地面C处测得建筑物顶点A的仰角为，在地面D处测得建筑物顶点A的仰角为，点B，D，C在一条直线上，已知米，则该建筑物的高度为（ ） A．米 B．米 C．26米 D．米 9．如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 10．在中，，，垂足为，，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．在中，若，，都是锐角，则是________三角形． 12．若是锐角，，则应满足________． 13．如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 ________ s． 14．计算 ________ ． 15．物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 ________ （填“大”或“小”）． 16．在中，若，则________． 17．如图，在赵爽弦图中，正方形是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形组成的．若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形，连接并延长，交于点．若正方形的面积为196，正方形的面积为4，则： （1）正方形的面积为 ________． （2）的长为 ________． 18．如图是一个直角三角尺，其中，，则________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， （1）根据测量数据，求步道的长度； （2）为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 20．（8分）为了吸引更多的游客前来旅游，某景区采取了一系列的景区提升改造策略，景区的观光扶梯改造为改造项目之一．如图，为原扶梯的截面图，其中，．为了增强游客的体验感，拟在扶梯顶部建一个长米的观景平台，即米；为了改善扶梯的安全性能，拟将扶梯与地面的夹角改造为，即．图中，且，，三点共线，．通过计算发现调整后米，求扶梯的高．（结果精确到米，，，，）    21．（8分）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．    （1）求的长； （2）求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：） 22．（8分）如图，A，B，C为山脚两侧在同一条直线上的三个观测点，计划沿直线开通穿山隧道，其中，，．在山顶P处测得点A，B，C的俯角分别为，，求的长．（参考数据：，，） 23．（8分）春天到了，万物复苏，小明在公园里放风筝，一开始小明站在处，风筝在空中的处，此时风筝线与地平线的夹角为，为了保证风筝能够平稳飞行，小明走到了外的处，此时风筝线与地平线的夹角为，而风筝的高度依然不变．求风筝的高度．（，，最后结果精确到米） 24．（8分）如图，一艘海轮从位于灯塔的北偏东方向处，沿正南方向航行70海里后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．求海轮在航行过程中与灯塔的最小距离．（参考数据：） 25．（9分）某初三数学实践小组准备用所学知识测量郊外一座古塔的高度，古塔底部有台阶无法直接到达，古塔旁有一个斜坡，小敏在斜坡下的处测得古塔的顶端的仰角为，小菲在斜坡顶端处测得古塔顶端的仰角为，斜坡下方标示的坡度，斜坡的长度为米，请你帮助数学小组计算古塔的高度．（参考数据： ）． 26．（9分）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A处(点G、A、C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A、B、C、D在同一平面内．参考数据：，，，，） （1）填空：________； （2）求斜坡上点D到的距离； （3）求大树的高度（结果精确到米）． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $