专题02 表面积与体积的计算方法（专项训练）高二数学沪教版必修第三册

专题02 表面积与体积的计算方法 常考题型·精准突破 考点一 表面积与体积的基本求法 题型1 公式法求柱、锥、台、球的表面积与体积（高频） 题型2 割补法与组合体（重） 题型3 等体积法求点到平面的距离 考点二 相似比与实际情境 题型4 平行截面与相似比 题型5 实际情境中的容器、水面与熔铸 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 表面积与体积的基本求法 ◆题型1 公式法求柱、锥、台、球的表面积与体积 1．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为4，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北唐山·期末）在正四棱台中，，高为，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）在中，，，，将绕旋转一圈，所得几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）若一个三棱台的上、下底面面积分别为，，高为，则该棱台的体积为________． 5．（25-26高一下·广东广州·期中）若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为________. ◆题型2 割补法与组合体 6．（26-27高三上·江苏南京·阶段检测）以斜边为4的等腰直角三角形的斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为__________． 8．（25-26高二下·北京·学业考试真题）2025年7月我国首台月壤打砖机在深空探测实验室研制成功，这种打砖机可以利用聚光太阳能将月壤熔融成型．小明在通用技术课上制作了“月壤砖”模型，并拼成如图1所示的长方体，该长方体是由图2、图3所示的榫、卯结构多面体组成．在图1中，，，，，，，，． 给出下列三个结论： ①图2所示的榫结构多面体的体积为； ②图3所示的卯结构多面体的体积为； ③图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多． 其中所有正确结论的序号是______． 9．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，圆锥的底面半径为1，高为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱． (1)求剩下几何体的体积； (2)求剩下几何体的表面积． 10．（25-26高一下·天津北辰·期中）（1）已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长为，求该正四棱锥的表面积．    （2）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长． ①求“浮球”的体积；②求“浮球”的表面积．    ◆题型3 等体积法求点到平面的距离 11．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）如图，棱长为2的正方体中，点E，F在线段上运动，且，则三棱锥的体积为（     ） A． B． C． D．随点E，F的位置变化 13．（25-26高一下·广东佛山·期末）如图，在四棱台中，底面是正方形，底面，． (1)求四棱台的体积； (2)求点到平面的距离． 考点二 相似比与实际情境 ◆题型4 平行截面与相似比 14．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）将正方体的棱长扩大到原来的两倍，其表面积扩大到原来的（   ）倍 A． B．2 C．4 D．8 15．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）一个底面直径为、高为的实心圆锥工件，沿平行于底面的平面，从顶端切下一个高为的小圆锥．将剩余部分熔铸成一个底面直径为的圆柱，不计损耗，则圆柱的高为（） A． B． C． D． 16．（25-26高一下·浙江绍兴·阶段检测）如图，三棱锥的体积为，，分别是棱，上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点，则多面体的体积为________． 17．（26-27高二·全国·学业考试复习）如图，已知四棱锥的底面边长与侧棱的长度都是4，是正方形． (1)求该四棱锥高和表面积； (2)若为棱锥的高的中点，过点作平行于棱锥底面的截面，求截得的棱台的体积． ◆题型5 实际情境中的容器、水面与熔铸 18．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）浙江省博物馆中陈列着2019年在浙江余姚井头山遗址出土的8000年前先民用的“海鲜火锅”——带支脚的陶釜，是我国沿海地区最早的炊具．上面的陶釜可近似地看成一个圆柱和半球的组合体（如图所示），其中圆柱下底面和半球的横截面重合．已知该陶釜的容积为，圆柱部分底面半径为，则圆柱的高为（     ） A．2 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm 19．（25-26高一下·山西太原·阶段检测）如图，一个圆锥形空杯倒放在一个装满水的半球形容器上，半球的底面与杯口完全贴合．已知圆锥的底面直径与半球的直径均为10．    (1)若圆锥的高是，求该组合体（圆锥与半球）的表面积； (2)若将半球形容器中的水全部倒入圆锥形杯子中，水恰好装满杯子且不溢出，求杯子的高度． 20．（25-26高一下·福建福州·期中）已知圆柱的底面半径r和高h均为20cm. (1)若从圆柱的上底面挖去与该圆柱同底等高的圆锥，求剩下几何体的表面积； (2)若向圆柱装入的水，再放入半径为8cm的质地均匀的圆球.如果圆球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会溢出？ 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1．（25-26高一下·山东枣庄·期末）已知正三棱柱有内切球O（球O与各个面有且仅有一个公共点），过O，A，B三点的平面截该三棱柱所得截面为，截面将该三棱柱分成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为__________. 2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在棱长为2a的正方体中，P，Q分别为的中点，过P，Q，B三点的截面将正方体分为两部分，则这两部分几何体的体积比（小于1）为_________ 3．（25-26高一下·浙江·阶段检测）在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，，过，，的平面将四棱锥分成两部分，较小部分与较大部分的几何体体积分别为，，则________． 4．（2026·河北邢台·三模）如图所示，已知直四棱柱的底面为平行四边形，点分别为, 的中点， 直线与交于点，则几何体的体积与直四棱柱 的体积的比值为________.    二、解答题 5．（25-26高二上·上海·期中）在平面上，将两个半圆弧和，以及两条直线和围成的封闭图形记作，如图中阴影部分，将绕轴旋转一周而成的几何体记作．    (1)请判断是一个多面体还是旋转体？ (2)过点其中，作的水平截面，求所得截面的面积； (3)利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，求出的体积． 6．（25-26高一下·安徽六安·期末）南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题．如图所示，正方体，棱长为．    (1)求图中四分之一圆柱体的体积； (2)四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”．点在棱上，设，过点作一个与正方体底面平行的平面； （i）求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积； （ii）如果令，应用祖暅原理求出八分之一“牟合方盖”的体积． 7．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在平面四边形中，，，，，．求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积与体积． 8．（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）（1）已知八面体的每个面都是正三角形，并且四个顶点A， B， C， D在同一平面内，ABCD是边长为30cm的正方形，求该几何体的表面积. （2）在中，，求将绕所在的直线旋转一周所得的几何体的体积. 9．（25-26高一下·四川成都·期中）已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为． (1)求其体积； (2)若某球与此圆台体积相同，求此球的表面积． 10．（25-26高一下·北京大兴·期中）如图1，正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过的中点 . (1)当底面水平放置时（如图1所示），求水面的高度； (2)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高； (3)当底面水平放置时（如图1所示），打开上底面的盖子，从上底面 放入半径为的小铁球，且沉入水中，当水从上底面溢出时，求放入的小铁球个数的最小值．（结论不要求证明） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 表面积与体积的计算方法 常考题型·精准突破 考点一 表面积与体积的基本求法 ◆题型1 公式法求柱、锥、台、球的表面积与体积 1．【答案】C 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为4，作出该圆台的轴截面易得其高为， 所以圆台体积． 2．【答案】B 【详解】下底面边长，面积， 上底面边长，面积. 所以. 3．【答案】D 【详解】在中，已知，，， ，所以， 绕直角边旋转一周，所得几何体为圆锥， 底面半径为，高为，母线长为， 所以. 4．【答案】 【详解】已知棱台上底面积,下底面面积，高， 则棱台的体积． 5．【答案】 【详解】正六棱台的表面积， 而，， ， 所以. ◆题型2 割补法与组合体 6．【答案】A 【详解】斜边为4的等腰直角三角形，斜边上的高 （等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半），且该高将斜边分为两段，每段长为2.以斜边为轴旋转一周，所得几何体为两个底面重合的圆锥，底面半径 ，两圆锥的高均为2. 故体积为 7．【答案】6 【详解】设，，， 则，解得：，，即，， . 8．【答案】①②③ 【详解】图1表面积： 图2体积为： ，①正确； 图2表面积： ， 图3体积为： ，②正确； 图3表面积： ， 故图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多： ，正确. 9．【详解】（1）由圆柱上底面圆心为圆锥高的中点，得圆柱的底面圆半径， 圆柱母线长为2，而圆锥的母线长， 由圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 得． 所以剩下几何体的体积为. （2）依题意，圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积， 所以剩下几何体的表面积. 10．【详解】（1）正四棱锥底面边长是，侧棱长为，，， ，又， 该正四棱锥的表面积为. （2）①“浮球”的体积为一个半径为球体的体积和一个底面半径为，高为的圆柱体的体积之和， 球的体积，圆柱体体积， “浮球”的体积. ②“浮球”的表面积为一个半径为球体的表面积和一个底面半径为，高为的圆柱体的侧面积之和， 球的表面积，圆柱体的侧面积， “浮球”的表面积. ◆题型3 等体积法求点到平面的距离 11．【答案】C 【详解】如图， 连结，因为平分，所以点与点到平面的距离相等， 设点到平面的距离为， 因为， 所以， 即，解得. 12．【答案】C 【详解】 由题意可知，正方体 的棱长为2 因为点 在线段 上，所以 所在的平面即为平面 . 在 中，底边长 因为 平面 ，且 平面 ，所以 ， 即 为点 到直线 的距离. 因为 平面 ，所以 ，且， ， 所以 平面 .设 ， 则 的长度即为点 到平面 的距离 在正方形 中， ，所以 13．【详解】（1）由题意，上底面正方形的边长，下底面正方形边长， 所以上、下底面积分别为， 又棱台的高， 所以. （2）设点到平面的距离为, 因为底面，底面， 所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以， 在直角梯形中，可得, 由可得，, 即，解得. 考点二 相似比与实际情境 ◆题型4 平行截面与相似比 14．【答案】C 【详解】设原正方体棱长为，则表面积为；棱长变为，表面积变为，扩大到原来的4倍. 15．【答案】C 【详解】设大圆锥的底面半径为，高为，切去的小圆锥的底面半径为，高为， 圆柱的底面半径为，高为． 由题意可知，，，，，所以，． 因为小圆锥与大圆锥相似，所以，即，解得． 大圆锥的体积， 小圆锥的体积， 所以剩余部分的体积． 因为熔铸成圆柱后体积不变，所以圆柱的体积． 由，解得．故圆柱的高为． 16．【答案】 【详解】设点到平面的距离为，点到平面的距离为. 则三棱锥的体积. 多面体的体积. 对于四棱锥： 因为是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点， 所以，. 则 . 所以底面四边形的面积. 又因为是棱上靠近点的三等分点，即，所以. 所以点到平面的距离. 所以. 对于三棱锥： 将其视为以为顶点，为底面的棱锥. 因为是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点， 所以，. 则. 考虑三棱锥，其底面为，顶点为. 因为在上且，点在平面上， 所以点到平面的距离. 所以. 又因为三棱锥与三棱锥高相同（均为点到平面的距离）， 所以. 所以 . 综上所述，多面体的体积. 17．【详解】（1）如图，所以棱锥的高为． 棱锥的斜高， 所以其表面积为． （2）， 因为为棱锥高的中点，过点作平行于棱锥底面的截面， 所以上半部分棱锥的体积， 所以截得的棱台的体积. ◆题型5 实际情境中的容器、水面与熔铸 18．【答案】C 【详解】设圆柱的高为，圆柱部分底面半径为，则 ，即， 代入， 可得，解得 所以圆柱的高为10 cm. 19．【详解】（1）圆锥的侧面面积为 ， 半球的表面积为 ， 该组合体的表面积为 ． （2）设圆锥的高为h，则圆锥的体积为 ， 半球的体积为． 由题意可知，，即，解得， 所以杯子的高度为10． 20．【详解】（1）由题可知，圆柱的底面积为， 圆柱的侧面积为， 与圆柱同底等高的圆锥的母线长为， 所以其侧面积为. 所以剩下的几何体的表面积为. （2）由题意得，圆柱的体积为， 圆球在水中的部分的体积为. 因为，， 所以. 所以水不会溢出来. 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1．【答案】 【详解】如图： 不妨设正三棱柱的高为4. 设正三棱柱中，下底面的中心为，上底面的中心为，直线交于，直线交于，则分别为的中点. 因为正三棱柱有内切球，且内切球半径. 所以，所以，所以. 延长交于点，则为中点，过作，分别交，于点，. 则等腰梯形即为截面. 所以平面截三棱柱成两部分，棱台与几何体. 设面积为，因为，则. 所以， . 所以. 所以较小部分与较大部分的体积之比为. 2．【答案】 【详解】由题意可知，延长PQ与的延长线交于点E，与的延长线交于点连接，分别交于点，由此作出完整的截面,易得，则，又，则， 则过点的截面上方的体积， 另一部分体积为，故. 3．【答案】 【详解】作交于点，由，则， 又，故，则在平面上， 该平面将四棱锥分成四棱锥与多面体， 连接，则 ， 则， 故，，则. 4．【答案】 【详解】如图所示，连接， 因为点分别为, 的中点，可得， 又因为，所以， 因为在上，所以四点共面，所以， 由与相似，且为的中点，可得， 所以， 设，所以， 因为，所以， 因为，所以， 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 所以， 所以， 又因为， 所以几何体的体积与直四棱柱的体积比为.    二、解答题 5．【详解】（1）由题可知，是旋转体. （2）如图，设，，， 过点作轴的平行线分别交两个半圆于点，作，垂足为， 则，，，故， 所以，， 由题截面的面积为以点为圆心，以为半径的圆的面积减去以点为圆心，以为半径的圆的面积， 所以截面的面积为.    （3）因为几何体为的水平截面的截面积为，该截面的截面积由两部分组成， 一部分为定值，看作是截一个底面积为，高为2的长方体得到的， 对于，看作是把一个半径为1，高为的圆柱平放得到的，，，，如图所示，    这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等， 所以几何体的体积为. 6．【详解】（1）因为正方体的棱长为， 所以四分之一圆柱体的体积为． （2）（i）如图：截面位于八分之一“牟合方盖”内的部分为正方形．    因为，所以，而正方体的棱长为， 因此， 所以，因此正方形的面积为， 即该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积为． （ii）由（i）得用平行于八分之一“牟合方盖”底面， 且到“牟合方盖”底面的距离为的平面去截八分之一“牟合方盖”， 所得截面的面积为． 所得截面如图所示：    正方体的棱长为为底面的中心， 把正方体去掉正四棱锥后剩下的部分的底面与 “牟合方盖”底面放到同一平面上， 则八分之一“牟合方盖”与所得几何体都夹在平面与平面之间， 则用平行于八分之一“牟合方盖”底面，且到“牟合方盖”底面的距离为的平面去截所得几何体， 截面为图中的阴影部分，且面积为， 因此八分之一“牟合方盖”的体积为， 所以当时，八分之一“牟合方盖”的体积为． 7．【详解】如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ． 由，可得，又 ，， 则， 因为 ，，所以 ． 于是四边形 为直角梯形，且 四边形 绕 所在直线旋转一周形成一个圆台，其中下底面半径为，上底面半径 ，高 ，母线长 ． 三角形 绕 所在直线旋转一周形成一个圆锥，其底面半径为，高 ，母线长为． 原四边形 旋转所得几何体为上述圆台挖去上述圆锥所得的几何体． 圆锥的底面与圆台的上底面重合，则最终几何体的表面由圆台的下底面、圆台的侧面和圆锥的侧面组成． 所以所求表面积为 即. 所求体积为 即. 故所求几何体的表面积为 ，体积为 ． 8．【详解】（1）每个面的面积为； 所以该几何体的表面积. （2）由，得，为直角三角形. 如图(2)为绕旋转而成的旋转体，是两个同底面的圆锥，作，则底面半径为， 由，解得. 所以. 9．【详解】（1）设圆台高为， 则． 其体积为． （2）设球的半径为， 由题意， 即， 解得 则其表面积为． 10．【详解】（1）因为正三棱柱中，侧棱，底面边长， 由题意可得底面内四边形的面积， 所以正三棱柱中水的体积． 又因为底面三角形的面积， 所以底面水平放置后水面高. （2）设三棱锥的高为． 由题意三棱锥的体积， 所以，则 所以三棱锥的高为． （3）个. 由题意，只需放入小铁球的总体积大于空白区域的体积即可. 空白区域的体积为. 小铁球的体积，若放入个小铁球水从上底面溢出， 所以，故最小为3. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 表面积与体积的计算方法 常考题型·精准突破 考点一 表面积与体积的基本求法 题型1 公式法求柱、锥、台、球的表面积与体积（高频） 题型2 割补法与组合体（重） 题型3 等体积法求点到平面的距离 考点二 相似比与实际情境 题型4 平行截面与相似比 题型5 实际情境中的容器、水面与熔铸 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 表面积与体积的基本求法 ◆题型1 公式法求柱、锥、台、球的表面积与体积 1．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为4，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为4，作出该圆台的轴截面易得其高为， 所以圆台体积． 2．（25-26高一下·河北唐山·期末）在正四棱台中，，高为，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】下底面边长，面积， 上底面边长，面积. 所以. 3．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）在中，，，，将绕旋转一圈，所得几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，已知，，， ，所以， 绕直角边旋转一周，所得几何体为圆锥， 底面半径为，高为，母线长为， 所以. 4．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）若一个三棱台的上、下底面面积分别为，，高为，则该棱台的体积为________． 【答案】 【详解】已知棱台上底面积,下底面面积，高， 则棱台的体积． 5．（25-26高一下·广东广州·期中）若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为________. 【答案】 【详解】正六棱台的表面积， 而，， ， 所以. ◆题型2 割补法与组合体 6．（26-27高三上·江苏南京·阶段检测）以斜边为4的等腰直角三角形的斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】斜边为4的等腰直角三角形，斜边上的高 （等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半），且该高将斜边分为两段，每段长为2.以斜边为轴旋转一周，所得几何体为两个底面重合的圆锥，底面半径 ，两圆锥的高均为2. 故体积为 7．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为__________． 【答案】6 【详解】设，，， 则，解得：，，即，， . 8．（25-26高二下·北京·学业考试真题）2025年7月我国首台月壤打砖机在深空探测实验室研制成功，这种打砖机可以利用聚光太阳能将月壤熔融成型．小明在通用技术课上制作了“月壤砖”模型，并拼成如图1所示的长方体，该长方体是由图2、图3所示的榫、卯结构多面体组成．在图1中，，，，，，，，． 给出下列三个结论： ①图2所示的榫结构多面体的体积为； ②图3所示的卯结构多面体的体积为； ③图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【详解】图1表面积： 图2体积为： ，①正确； 图2表面积： ， 图3体积为： ，②正确； 图3表面积： ， 故图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多： ，正确. 9．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，圆锥的底面半径为1，高为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱． (1)求剩下几何体的体积； (2)求剩下几何体的表面积． 【详解】（1）由圆柱上底面圆心为圆锥高的中点，得圆柱的底面圆半径， 圆柱母线长为2，而圆锥的母线长， 由圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 得． 所以剩下几何体的体积为. （2）依题意，圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积， 所以剩下几何体的表面积. 10．（25-26高一下·天津北辰·期中）（1）已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长为，求该正四棱锥的表面积．    （2）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长． ①求“浮球”的体积；②求“浮球”的表面积．    【详解】（1）正四棱锥底面边长是，侧棱长为，，， ，又， 该正四棱锥的表面积为. （2）①“浮球”的体积为一个半径为球体的体积和一个底面半径为，高为的圆柱体的体积之和， 球的体积，圆柱体体积， “浮球”的体积. ②“浮球”的表面积为一个半径为球体的表面积和一个底面半径为，高为的圆柱体的侧面积之和， 球的表面积，圆柱体的侧面积， “浮球”的表面积. ◆题型3 等体积法求点到平面的距离 11．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 连结，因为平分，所以点与点到平面的距离相等， 设点到平面的距离为， 因为， 所以， 即，解得. 12．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）如图，棱长为2的正方体中，点E，F在线段上运动，且，则三棱锥的体积为（     ） A． B． C． D．随点E，F的位置变化 【答案】C 【详解】 由题意可知，正方体 的棱长为2 因为点 在线段 上，所以 所在的平面即为平面 . 在 中，底边长 因为 平面 ，且 平面 ，所以 ， 即 为点 到直线 的距离. 因为 平面 ，所以 ，且， ， 所以 平面 .设 ， 则 的长度即为点 到平面 的距离 在正方形 中， ，所以 13．（25-26高一下·广东佛山·期末）如图，在四棱台中，底面是正方形，底面，． (1)求四棱台的体积； (2)求点到平面的距离． 【详解】（1）由题意，上底面正方形的边长，下底面正方形边长， 所以上、下底面积分别为， 又棱台的高， 所以. （2）设点到平面的距离为, 因为底面，底面， 所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以， 在直角梯形中，可得, 由可得，, 即，解得. 考点二 相似比与实际情境 ◆题型4 平行截面与相似比 14．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）将正方体的棱长扩大到原来的两倍，其表面积扩大到原来的（   ）倍 A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】设原正方体棱长为，则表面积为；棱长变为，表面积变为，扩大到原来的4倍. 15．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）一个底面直径为、高为的实心圆锥工件，沿平行于底面的平面，从顶端切下一个高为的小圆锥．将剩余部分熔铸成一个底面直径为的圆柱，不计损耗，则圆柱的高为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设大圆锥的底面半径为，高为，切去的小圆锥的底面半径为，高为， 圆柱的底面半径为，高为． 由题意可知，，，，，所以，． 因为小圆锥与大圆锥相似，所以，即，解得． 大圆锥的体积， 小圆锥的体积， 所以剩余部分的体积． 因为熔铸成圆柱后体积不变，所以圆柱的体积． 由，解得．故圆柱的高为． 16．（25-26高一下·浙江绍兴·阶段检测）如图，三棱锥的体积为，，分别是棱，上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点，则多面体的体积为________． 【答案】 【详解】设点到平面的距离为，点到平面的距离为. 则三棱锥的体积. 多面体的体积. 对于四棱锥： 因为是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点， 所以，. 则 . 所以底面四边形的面积. 又因为是棱上靠近点的三等分点，即，所以. 所以点到平面的距离. 所以. 对于三棱锥： 将其视为以为顶点，为底面的棱锥. 因为是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点， 所以，. 则. 考虑三棱锥，其底面为，顶点为. 因为在上且，点在平面上， 所以点到平面的距离. 所以. 又因为三棱锥与三棱锥高相同（均为点到平面的距离）， 所以. 所以 . 综上所述，多面体的体积. 17．（26-27高二·全国·学业考试复习）如图，已知四棱锥的底面边长与侧棱的长度都是4，是正方形． (1)求该四棱锥高和表面积； (2)若为棱锥的高的中点，过点作平行于棱锥底面的截面，求截得的棱台的体积． 【详解】（1）如图，所以棱锥的高为． 棱锥的斜高， 所以其表面积为． （2）， 因为为棱锥高的中点，过点作平行于棱锥底面的截面， 所以上半部分棱锥的体积， 所以截得的棱台的体积. ◆题型5 实际情境中的容器、水面与熔铸 18．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）浙江省博物馆中陈列着2019年在浙江余姚井头山遗址出土的8000年前先民用的“海鲜火锅”——带支脚的陶釜，是我国沿海地区最早的炊具．上面的陶釜可近似地看成一个圆柱和半球的组合体（如图所示），其中圆柱下底面和半球的横截面重合．已知该陶釜的容积为，圆柱部分底面半径为，则圆柱的高为（     ） A．2 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm 【答案】C 【详解】设圆柱的高为，圆柱部分底面半径为，则 ，即， 代入， 可得，解得 所以圆柱的高为10 cm. 19．（25-26高一下·山西太原·阶段检测）如图，一个圆锥形空杯倒放在一个装满水的半球形容器上，半球的底面与杯口完全贴合．已知圆锥的底面直径与半球的直径均为10．    (1)若圆锥的高是，求该组合体（圆锥与半球）的表面积； (2)若将半球形容器中的水全部倒入圆锥形杯子中，水恰好装满杯子且不溢出，求杯子的高度． 【详解】（1）圆锥的侧面面积为 ， 半球的表面积为 ， 该组合体的表面积为 ． （2）设圆锥的高为h，则圆锥的体积为 ， 半球的体积为． 由题意可知，，即，解得， 所以杯子的高度为10． 20．（25-26高一下·福建福州·期中）已知圆柱的底面半径r和高h均为20cm. (1)若从圆柱的上底面挖去与该圆柱同底等高的圆锥，求剩下几何体的表面积； (2)若向圆柱装入的水，再放入半径为8cm的质地均匀的圆球.如果圆球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会溢出？ 【详解】（1）由题可知，圆柱的底面积为， 圆柱的侧面积为， 与圆柱同底等高的圆锥的母线长为， 所以其侧面积为. 所以剩下的几何体的表面积为. （2）由题意得，圆柱的体积为， 圆球在水中的部分的体积为. 因为，， 所以. 所以水不会溢出来. 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1．（25-26高一下·山东枣庄·期末）已知正三棱柱有内切球O（球O与各个面有且仅有一个公共点），过O，A，B三点的平面截该三棱柱所得截面为，截面将该三棱柱分成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为__________. 【答案】 【详解】如图： 不妨设正三棱柱的高为4. 设正三棱柱中，下底面的中心为，上底面的中心为，直线交于，直线交于，则分别为的中点. 因为正三棱柱有内切球，且内切球半径. 所以，所以，所以. 延长交于点，则为中点，过作，分别交，于点，. 则等腰梯形即为截面. 所以平面截三棱柱成两部分，棱台与几何体. 设面积为，因为，则. 所以， . 所以. 所以较小部分与较大部分的体积之比为. 2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在棱长为2a的正方体中，P，Q分别为的中点，过P，Q，B三点的截面将正方体分为两部分，则这两部分几何体的体积比（小于1）为_________ 【答案】 【详解】由题意可知，延长PQ与的延长线交于点E，与的延长线交于点连接，分别交于点，由此作出完整的截面,易得，则，又，则， 则过点的截面上方的体积， 另一部分体积为，故. 3．（25-26高一下·浙江·阶段检测）在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，，过，，的平面将四棱锥分成两部分，较小部分与较大部分的几何体体积分别为，，则________． 【答案】 【详解】作交于点，由，则， 又，故，则在平面上， 该平面将四棱锥分成四棱锥与多面体， 连接，则 ， 则， 故，，则. 4．（2026·河北邢台·三模）如图所示，已知直四棱柱的底面为平行四边形，点分别为, 的中点， 直线与交于点，则几何体的体积与直四棱柱 的体积的比值为________.    【答案】 【详解】如图所示，连接， 因为点分别为, 的中点，可得， 又因为，所以， 因为在上，所以四点共面，所以， 由与相似，且为的中点，可得， 所以， 设，所以， 因为，所以， 因为，所以， 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 所以， 所以， 又因为， 所以几何体的体积与直四棱柱的体积比为.    二、解答题 5．（25-26高二上·上海·期中）在平面上，将两个半圆弧和，以及两条直线和围成的封闭图形记作，如图中阴影部分，将绕轴旋转一周而成的几何体记作．    (1)请判断是一个多面体还是旋转体？ (2)过点其中，作的水平截面，求所得截面的面积； (3)利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，求出的体积． 【详解】（1）由题可知，是旋转体. （2）如图，设，，， 过点作轴的平行线分别交两个半圆于点，作，垂足为， 则，，，故， 所以，， 由题截面的面积为以点为圆心，以为半径的圆的面积减去以点为圆心，以为半径的圆的面积， 所以截面的面积为.    （3）因为几何体为的水平截面的截面积为，该截面的截面积由两部分组成， 一部分为定值，看作是截一个底面积为，高为2的长方体得到的， 对于，看作是把一个半径为1，高为的圆柱平放得到的，，，，如图所示，    这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等， 所以几何体的体积为. 6．（25-26高一下·安徽六安·期末）南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题．如图所示，正方体，棱长为．    (1)求图中四分之一圆柱体的体积； (2)四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”．点在棱上，设，过点作一个与正方体底面平行的平面； （i）求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积； （ii）如果令，应用祖暅原理求出八分之一“牟合方盖”的体积． 【详解】（1）因为正方体的棱长为， 所以四分之一圆柱体的体积为． （2）（i）如图：截面位于八分之一“牟合方盖”内的部分为正方形．    因为，所以，而正方体的棱长为， 因此， 所以，因此正方形的面积为， 即该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积为． （ii）由（i）得用平行于八分之一“牟合方盖”底面， 且到“牟合方盖”底面的距离为的平面去截八分之一“牟合方盖”， 所得截面的面积为． 所得截面如图所示：    正方体的棱长为为底面的中心， 把正方体去掉正四棱锥后剩下的部分的底面与 “牟合方盖”底面放到同一平面上， 则八分之一“牟合方盖”与所得几何体都夹在平面与平面之间， 则用平行于八分之一“牟合方盖”底面，且到“牟合方盖”底面的距离为的平面去截所得几何体， 截面为图中的阴影部分，且面积为， 因此八分之一“牟合方盖”的体积为， 所以当时，八分之一“牟合方盖”的体积为． 7．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在平面四边形中，，，，，．求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积与体积． 【详解】如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ． 由，可得，又 ，， 则， 因为 ，，所以 ． 于是四边形 为直角梯形，且 四边形 绕 所在直线旋转一周形成一个圆台，其中下底面半径为，上底面半径 ，高 ，母线长 ． 三角形 绕 所在直线旋转一周形成一个圆锥，其底面半径为，高 ，母线长为． 原四边形 旋转所得几何体为上述圆台挖去上述圆锥所得的几何体． 圆锥的底面与圆台的上底面重合，则最终几何体的表面由圆台的下底面、圆台的侧面和圆锥的侧面组成． 所以所求表面积为 即. 所求体积为 即. 故所求几何体的表面积为 ，体积为 ． 8．（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）（1）已知八面体的每个面都是正三角形，并且四个顶点A， B， C， D在同一平面内，ABCD是边长为30cm的正方形，求该几何体的表面积. （2）在中，，求将绕所在的直线旋转一周所得的几何体的体积. 【详解】（1）每个面的面积为； 所以该几何体的表面积. （2）由，得，为直角三角形. 如图(2)为绕旋转而成的旋转体，是两个同底面的圆锥，作，则底面半径为， 由，解得. 所以. 9．（25-26高一下·四川成都·期中）已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为． (1)求其体积； (2)若某球与此圆台体积相同，求此球的表面积． 【详解】（1）设圆台高为， 则． 其体积为． （2）设球的半径为， 由题意， 即， 解得 则其表面积为． 10．（25-26高一下·北京大兴·期中）如图1，正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过的中点 . (1)当底面水平放置时（如图1所示），求水面的高度； (2)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高； (3)当底面水平放置时（如图1所示），打开上底面的盖子，从上底面 放入半径为的小铁球，且沉入水中，当水从上底面溢出时，求放入的小铁球个数的最小值．（结论不要求证明） 【详解】（1）因为正三棱柱中，侧棱，底面边长， 由题意可得底面内四边形的面积， 所以正三棱柱中水的体积． 又因为底面三角形的面积， 所以底面水平放置后水面高. （2）设三棱锥的高为． 由题意三棱锥的体积， 所以，则 所以三棱锥的高为． （3）个. 由题意，只需放入小铁球的总体积大于空白区域的体积即可. 空白区域的体积为. 小铁球的体积，若放入个小铁球水从上底面溢出， 所以，故最小为3. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $