11.4.3 球的表面积（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

11.4.3 球的表面积 题型一 球的表面积有关计算 一、单选题 1．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 2．一个圆柱轴截面为正方形且它的表面积为，则圆柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积小于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，圆柱的表面积最大 5．在手工课上，小明将一张半径为2cm的半圆形纸片折成了一个圆锥（无裁剪无重叠），接着将一个光滑的彩球放置于圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型，如下图.已知该彩球的表面积为，则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面上点的最远距离）为（   ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知正四棱台的上下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该正四棱台外接球的表面积为 . 8．已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为 . 9．已知某圆柱的外接球的表面积为，则该圆柱的侧面积的最大值为 ． 三、解答题 10．如图，长方体的三条棱的长分别为．    (1)将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩下的几何体的体积； (2)求长方体外接球的体积和表面积． 11．如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 12．如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的球的半径为.正四棱柱的底面边长为，高为.正四棱台的上、下底面边长分别为和，斜高（即侧面梯形的高）为.    (1)求这种型号的奖杯的表面积（用表示，焊接处对面积的影响忽略不计）； (2)已知，若为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯镀金约需要多少材料？（取3.14，精确到） 题型一 几何体外接球的表面积 一、单选题 1．已知正方形的边长为4，和的中点分别为M，N，沿，，折起来使得B，D，C重合于，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．我国古代数学名著《九章算术》商功一章中介绍了圆堡壔（dao，即圆柱体）：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺”，翻译为白话文为“已知圆柱体，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺”，现在设该圆柱体的两个底面的圆周在同一个球面上，则该球的表面积约为（    ）（注：取3，1丈尺）（    ） A．平方尺 B．1131平方尺 C．337平方尺 D．平方尺 5．《九章算术》是我国古代数学名著，该书商功一章中介绍了方亭（即正四棱台）：“今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈”，翻译为白话文为“已知正四棱台，下底面边长为5丈，上底面边长为4丈，高为5丈”，设该正四棱台的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A．平方丈 B．平方丈 C．平方丈 D．平方丈 6．正四棱锥的顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，，则该正四棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 7．如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为 ． 8．已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为 . 9．正四面体边长为，其内切球，则在正四面体内与球和均相切的球的表面积为 (用表示) 10．如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为 ．    三、解答题 11．如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，高为，在棱上有一动点，连接，，.    (1)求证：当平面与平面所成夹角余弦值为时，为棱中点； (2)若时，设三棱锥的外接球球心为，连接. (i)若平面，求外接球的表面积; (ii)若，求此时的长. 12．如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求； (3)当，时，四棱锥的外接球表面积与（2）中四棱锥的外接球表面积相等么？若相等，请求出四棱锥的外接球表面积；若不相等，请说明理由. 题型二 球的表面积与体积的交汇问题 一、单选题 1．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（    ） A． B． C． D．不确定的实数 2．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马（如图），平面，点E，F分别在上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，底面，，是棱的中点，点是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为 ；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为 . 6．如图1是古希腊数学家阿基米德的墓碑图文，碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，圆柱的底面直径和高都等于这个球的直径，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现.如图2是这个图形的示意图，那么图2中圆锥与球的表面积的比值为 .    7．《九章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补后才最后成书.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，点在线段上，的最小值为 ；当的值最小时，三棱锥外接球的表面积为 8．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为 . 三、解答题 9．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，过，，三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.    (1)在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）； (2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）； (3)若点是侧面内的动点，且，当最小时，求三棱锥的外接球的表面积. 10．如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C． (1)求球冠所在球的半径R(结果用h､r表示)； (2)已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球冠所在球的表面积. 一、单选题 1．已知正方形ABCD的边长为4，BC和CD的中点分别为M，N，沿AM，MN，NA折起来使得B，D，C重合于P，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 3．《九章算术·商功》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑；将底面为矩形：一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．在堑堵 中，下列结论正确的个数是（    ） ①当时， 四面体为鳖臑 ②当时， 四面体为鳖臑 ③若 四面体外接球的表面积为 ④若 阳马 体积的最大值为64． A．0 B．1 C．2 D．3 4．若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设此内切球的表面积为，该四棱锥外接球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 5．在正三棱锥中，，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥内部，其球心与的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥的三个侧面均相切，则半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和最小时，小球的半径为（    ） A． B． C． D． 6．截角立方体（一种半正多面体，由正方体截去所有顶点得到），该多面体由6个正八边形和8个正三角形组成，已知棱长为2的截角立方体，下列说法正确的是（   ） A．任意两个正八边形面都互相垂直 B．截角立方体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式中，，， C．其表面积是原正方体表面积的2倍 D．其外接球的表面积为 二、填空题 7．已知某种益智玩具如图所示，它由两个同底的正四棱锥拼接而成，若上面的正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，下面的正四棱锥的侧棱长为，则其内切球的表面积为 . 8．在三棱锥中，，且，E，F分别是PC，AC的中点，，则三棱锥外接球的表面积为 ． 三、解答题 9．如图所示，已知正方体的体积为64，点M为线段的中点，过点A，M的平面与直线平行. (1)求平面与正方体的表面形成的截面图形的面积； (2)求证：平面平面； (3)点E是侧面内的动点，满足平面，当线段最短时，求四面体的外接球的表面积. 10．如图，在平面四边形ABCD中，，，将沿AC翻折，使点到达点的位置，且平面平面ABC. (1)证明：； (2)设三棱锥的各个顶点都在球的球面上，且二面角的大小为. （i）求球的表面积与体积； （ii）若为线段PC（点除外）上的动点，求直线BM与平面OBC所成角的最大值. 11．如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，．分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形，设二面角的平面角的大小为. (1)当时，求四面体的外接球的表面积； (2)当线段时，求直线与平面所成角的正切值； (3)当点满足，且是以为底的等腰三角形时，求多面体的体积. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.4.3 球的表面积 题型一 球的表面积有关计算 一、单选题 1．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据鳖臑的体积为2先求，进而得阳马外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可求解. 【详解】设阳马外接球的半径为， 由题意有：， 又平面，四边形为正方形，所以， 所以， 所以阳马外接球的表面积为：， 故选：B. 2．一个圆柱轴截面为正方形且它的表面积为，则圆柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆柱的底面半径为，高为.由圆柱的轴截面是正方形，结合表面积为列出关于的方程组.求出求出圆柱外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为. 因为圆柱的轴截面是正方形，表面积为, 所以, 解得：. 如图所示，由圆柱和球的对称性可知，轴截面的对角线为圆柱外接球的直径.设外接球半径为,则，所以. 所以,圆柱外接球的表面积为：. 故选：A. 3．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对棱相等的特征，可以将四面体放入长方体中，再求其外接球半径即可. 【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线， 设这个长方体各棱长分别为，则有， 各式相加得， 设外接球半径为，则有， 外接球表面积. 故选：C． 4．若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积小于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，圆柱的表面积最大 【答案】C 【分析】根据圆锥，圆柱，以及球的表面积和体积公式，即可结合选项逐一求解. 【详解】 对A，圆柱的侧面积等于，A正确； 对B，圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为，B正确； 对C，圆柱的体积为，圆锥的体积为， 球的体积为，所以，C错误； 对D，圆柱的表面积， 圆锥的表面积， 球的表面积为，由于，所以圆柱的表面积最大，D正确. 故选：C． 5．在手工课上，小明将一张半径为2cm的半圆形纸片折成了一个圆锥（无裁剪无重叠），接着将一个光滑的彩球放置于圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型，如下图.已知该彩球的表面积为，则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面上点的最远距离）为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出彩球的半径，圆锥的底面半径和高，从而求出，从而得到该冰淇淋模型的高为. 【详解】设彩球的半径为，则，解得， 设圆锥的底面半径为，则，解得， 设圆锥的高为，则， 如图所示，，由勾股定理得， 故该冰淇淋模型的高为. 故选：B 6．在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的体对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积． 【详解】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，则， 所以，所以球的表面积为. 故选：B． 二、填空题 7．已知正四棱台的上下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该正四棱台外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据正四棱台和正四棱锥的几何图形性质，确定外接球的球心位置，利用勾股定理可求解外接球的半径，即可计算外接球的表面积. 【详解】如图，将正四棱台补形为正四棱锥， 因为四棱台的上下底面边长分别为2、4， 所以分别为的中点， 所以， 作正四棱锥的高，垂足为，则为正方形的中心， 连接交于点，连接交于点， 则， 设该正四棱台外接球的球心为，半径为， 根据对称性可知，在上， 在中，， 即，即，① 在中，， 即，即，② 联立①②解得，， 所以该正四棱台外接球的表面积为， 故答案为：. 8．已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为 . 【答案】8 【分析】设圆柱的母线长为，根据圆柱的侧面积公式和球的表面积公式列方程求解即可. 【详解】设圆柱的母线长为，则圆柱的侧面积为， 易知球的表面积为，所以，解得. 故答案为：8 9．已知某圆柱的外接球的表面积为，则该圆柱的侧面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据球的表面积求出半径，建立圆柱高和半径的方程，求出圆柱侧面积解析式，利用基本不等式求解最大值. 【详解】设圆柱的底面半径为、高为，球的半径为， 由题知，解得，由圆柱的轴截面性质知， 所以该圆柱的侧面积为， 当且仅当时等号成立，即该圆柱的侧面积的最大值为. 故答案为：. 三、解答题 10．如图，长方体的三条棱的长分别为．    (1)将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩下的几何体的体积； (2)求长方体外接球的体积和表面积． 【答案】(1) (2)体积为，表面积为 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据长方体的体对角线为外接球的直径可求解. 【详解】（1）在长方体中，． 则． ， 所以剩余部分的体积为． （2）长方体的体对角线长为， 设长方体的外接球的半径为，可得，即， 所以外接球的体积为， 表面积为． 11．如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 【答案】(1)17 (2)880元 【分析】（1）根据圆柱、球的体积计算公式即可求出几何体体积； （2）根据圆柱、球的表面积计算公式即可求出整个几何体表面积，从而得到建造费用. 【详解】（1）由题意得，“浮球”可看成是由一个圆柱体和一个球体组成， 圆柱体底面半径为1，高为4，故体积为， 球体体积， 所以“浮球”的体积. （2）由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积， ，故建造费用为元， 球形部分表面积为， 故建造费用为元， 所以整个“浮球”的建造费用为元. 12．如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的球的半径为.正四棱柱的底面边长为，高为.正四棱台的上、下底面边长分别为和，斜高（即侧面梯形的高）为.    (1)求这种型号的奖杯的表面积（用表示，焊接处对面积的影响忽略不计）； (2)已知，若为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯镀金约需要多少材料？（取3.14，精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求得棱台、棱柱、球的表面积后相加即可得出该奖杯的表面积； （2）求出奖杯需要镀金的表面积，再根据镀金材料的每平方米的重量可求得为100个这种型号的奖杯镀金所需要的材料. 【详解】（1）球的表面积为. 正四棱柱的表面积为. 正四棱台的表面积为. 故这种型号的奖杯的表面积为. （2）因为1个这种型号的奖杯需要镀金的面积为 ， 所以100个这种型号的奖杯需要镀金的面积为. 因为为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂， 所以为100个这种型号的奖杯镀金约需要材料. 题型一 几何体外接球的表面积 一、单选题 1．已知正方形的边长为4，和的中点分别为M，N，沿，，折起来使得B，D，C重合于，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得两两垂直，再补成长方体，求出该长方体的体对角线长即可求解. 【详解】依题意，在三棱锥中，， 将此三棱锥补成以为共点三条棱的长方体， 设三棱锥外接球的半径为R，则， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：A    2．已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作辅助线，找到二面角的平面角，利用相关线段长度，结合二面角的余弦值求出的长度，再利用勾股定理求出正三棱锥的高，设外接球半径为，根据外接球的性质，结合勾股定理列出关于的方程，求解出，最后利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.    由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 3．一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆台轴截面，分析可知，当球与相切时，其表面积最大，再结合条件求得球的半径，利用球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，分析可知，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 由，所以，所以， 作，由， 所以，又，所以， 又，， 所以， 即， 所以球的表面积的最大值为， 故选：C. 4．我国古代数学名著《九章算术》商功一章中介绍了圆堡壔（dao，即圆柱体）：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺”，翻译为白话文为“已知圆柱体，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺”，现在设该圆柱体的两个底面的圆周在同一个球面上，则该球的表面积约为（    ）（注：取3，1丈尺）（    ） A．平方尺 B．1131平方尺 C．337平方尺 D．平方尺 【答案】B 【分析】由题，记该圆柱体的底面半径为r，球体的半径为R，则，. 【详解】记该圆柱体的底面半径为r，则，， 圆柱体的高h为11尺，记球体的半径为R， 则， 球的表面积为（平方尺）． 故选：B． 5．《九章算术》是我国古代数学名著，该书商功一章中介绍了方亭（即正四棱台）：“今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈”，翻译为白话文为“已知正四棱台，下底面边长为5丈，上底面边长为4丈，高为5丈”，设该正四棱台的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A．平方丈 B．平方丈 C．平方丈 D．平方丈 【答案】A 【分析】设该正四棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为，，半径分别为，，记球心为O，半径为R，分球心O在线段上时与球心O不在线段上时讨论求解. 【详解】设该正四棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为，，半径分别为，， 记球心为O，半径为R，由题设可得，，，， 当球心O在线段上时，， 解得，，则； 当球心O不在线段上时，，舍去． 故选：A． 6．正四棱锥的顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，，则该正四棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题，球的球心在棱锥的高上，设出球的半径，利用勾股定理列式求解即可. 【详解】设P到平面ABCD的距离为h，球O的半径为R，则，解得． 在正四棱锥中，，则， 故，即， 解得或7． 当时，； 同理，当时，，所以该正四棱锥的侧棱长为或． 故选：D 二、填空题 7．如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质，结合球的截面性质确定球心位置，求出球半径即可求得球的表面积. 【详解】取中点，连接，由为正三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得是外接圆圆心，其半径， 三棱锥的外接球球心在直线上，而，设球半径为， 则，由，得，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 8．已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为 . 【答案】 【分析】由题中条件得到球的半径为5，设出圆台的底面半径及圆台的高，再分圆台的两个底面在球心异侧与同侧两种情况，列方程求解底面圆的半径和圆台的高，代入圆台体积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，由题意球的表面积为，所以. 设圆台的上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为， 当球的球心在圆台外时，设圆台的高为，    则，消去和得， 平方化简得，平方化简得，解得，此时， 此时圆台的体积为； 当球的球心在圆台内时，    则，消去和得， 平方化简得，解得可得与矛盾， 综上，该圆台的体积为. 故答案为： 9．正四面体边长为，其内切球，则在正四面体内与球和均相切的球的表面积为 (用表示) 【答案】 【分析】先根据正四面体的结构特征求出内切球半径，然后根据相似关系求出球的半径，最后利用球的表面积公式即可求解. 【详解】设在正四面体内与球和均相切的球为，半径为， 设球的半径为，取的中点为，连接，设为正四面体的高， 球，球与侧面分别相切于点，显然点在上，是底面的中心， 又正四面体边长为，所以， 所以，如图，在中，， 连接，由，解得， 连接，又由， 所以球的表面积为， 故答案为：.    10．如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为 ．    【答案】 【分析】先展开平面图，根据最短距离，利用余弦定理求得，然后将该棱锥补成一个长方体求得其外接球的半径，进而代入球的表面积公式求解即可. 【详解】三棱锥的部分平面展开图如图所示：    设，由题意得：，， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 解得或（舍去），如图所示：    该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径为：， 所以该棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 三、解答题 11．如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，高为，在棱上有一动点，连接，，.    (1)求证：当平面与平面所成夹角余弦值为时，为棱中点； (2)若时，设三棱锥的外接球球心为，连接. (i)若平面，求外接球的表面积; (ii)若，求此时的长. 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】（1）利用空间向量的方法结合待定系数法求证即可. （2）(i)利用三棱锥外接球的球心是各个面的中垂线的交点，得到点为球心，再结合外接球的表面积求解即可. (ii)分析得到三棱锥的外接球球心在过且垂直于底面的直线上，再结合利用向量共线求解即可. 【详解】（1）    由题意可知：以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则,，设，则 易得平面的一个法向量为， 设面的一个法向量为 则 不妨令则则. 当平面与平面所成夹角余弦值为时， 解得：或（不合题意，故舍去），故为棱中点. （2）当时，，. 设，其中. (i)由（1）得平面的法向量，向量， 由平面， 有，即： 由方向分量：得. 由方向分量：，得. 三棱锥的顶点:， ，，. 底面为直角三角形，外接圆圆心为线段的中点. 设外接球球心，由且 ， ， 得， 解得. 球心，半径. 所以球的表面积为： (ii)三棱锥的外接球球心在过且垂直于底面的直线上， 设，由得： ，，解得()，故， ，. 由得：，则，故. 代入方向分量:，则 所以 12．如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求； (3)当，时，四棱锥的外接球表面积与（2）中四棱锥的外接球表面积相等么？若相等，请求出四棱锥的外接球表面积；若不相等，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理可得平面，平面，然后利用线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理即可证明； （2）根据面面垂直的性质可先求二面角的平面角，根据两个二面角的平面角相等，即可根据对称求解； （3）根据底面四边形的外接圆半径不变，即可求解两种情况下的表面积不变，进而由表面积公式即可求解. 【详解】（1）在四棱锥中，底面，底面， 故，又，平面，故平面， 又，，，，故， 底面，底面， 故，平面，故平面， 因此，同时注意到平面，平面，则平面. （2）如图： 过点B作，垂足为，过作于点，连接， 由于底面，平面，故平面底面， 且两平面的交线为,平面，故平面， 平面，则， 又，平面， 故平面，平面，故， 所以是二面角的平面角， ，故， 因此， 在中，， 故二面角的正弦值为， 当，二面角的正弦值也是，则点D为点B关于直线的对称点，此时. （3）第（2）问的情况下，由（2）可知三角形与全等，故均为直角三角形，且均为斜边， 因此底面四边形的外接圆半径为， 在第（3）问下：即，条件下时， 由和（1）知：， 又，因此三角形与均为直角三角形，且均为斜边， 因此底面四边形的外接圆半径为， 由于两种情况下，四边形的外接圆半径相等，又平面，故其外接球的半径一定相等，因此四棱锥的外接球表面积在两种情况下是相等的. 且球半径为，表面积为. 题型二 球的表面积与体积的交汇问题 一、单选题 1．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（    ） A． B． C． D．不确定的实数 【答案】B 【分析】设矩形的边长分别为、，则，矩形周长最小时，，由此能求出外接球表面积． 【详解】设矩形的边长分别为、，则， 所以矩形周长， ， ，当且仅当时取等号， 矩形周长最小时，， ， ， 因为 外接球的半径， 外接球表面积． 故选：B． 2．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马（如图），平面，点E，F分别在上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把剪开，使得与矩形在同一个平面内.延长到M，使得，则四点P，E，F，M在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值.可得，∴.∴点E为的中点.设的外心为，外接圆的半径为r，则，利用勾股定理进而得出结论. 【详解】如图所示，把剪开，使得与矩形在同一个平面内. 延长到M，使得，则四点P，E，F，M在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值.可得，∴.∴点E为的中点. 如图所示，设的外心为，外接圆的半径为r，易得， 则. 设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，连接，则， 则.∴三棱锥外接球的表面积. 故选：B. 3．三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知正方体的体对角线即是外接球的直径，又因圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，可利用勾股定理得出正方体边长，继而求出球的表面积. 【详解】不妨设正方体的边长为，球О的半径为R，则圆柱的底面半径为a， 因为正方体的体对角线即为球О直径，故， 利用勾股定理得：，解得，球的表面积为， 故选：C. 4．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，底面，，是棱的中点，点是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得最小，利用展开图可得此时，，利用正弦定理可得的外接圆半径为，进而可得，即得. 【详解】因为固定，所以要使的周长最小，只需最小． 如图，将四棱锥的侧面沿展开，使得与矩形在同一个平面内，当P，E，F三点共线时，取得最小值． 易得，，，． 设的外接圆半径为，则． 设三棱锥外接球的半径为，则， 所以三棱锥外接球的表面积． 故选：D. 二、填空题 5．已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为 ；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为 . 【答案】 . 【分析】由题意截面的面积为求出截面圆半径，继而可求球的半径，即可求得球的表面积；过点作球的截面，确定截面圆与垂直时，球心到截面圆的距离最大，即可求得截面面积最小时，截面圆的半径. 【详解】设球的半径为R，由于，故， 球所得截面的面积为，设截面圆半径为r，则， 则，即，解得， 故球的表面积为； 过点作球的截面，则当截面面积最小时，只需该截面圆的半径最小； 设球心到截面圆的距离为d，设截面圆半径为，则， 故只需d最大，此时截面圆与垂直， 即， 故， 故答案为：； 6．如图1是古希腊数学家阿基米德的墓碑图文，碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，圆柱的底面直径和高都等于这个球的直径，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现.如图2是这个图形的示意图，那么图2中圆锥与球的表面积的比值为 .    【答案】 【分析】根据两图形的关系可得圆柱的底面半径与球的半径相等，设半径为，计算出两几何体的体积，求出比值即可． 【详解】设球半径为，则圆锥的表面积为， 球的表面积为，故圆锥与球的表面积之比为. 故答案为：. 7．《九章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补后才最后成书.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，点在线段上，的最小值为 ；当的值最小时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】 / 【分析】将空间问题平面化，再利用余弦定理，即可求出的最小值；根据第一空求得，从而得到外接圆的半径，进而得到，即可求出结果. 【详解】如图，将与展开至同一平面内，连接交于，此时的值最小， 在中，，所以，，即的最小值为. 因为平面，平面，所以， 在中，因为，，所以， 又，得到，又，所以外接圆的半径， 设三棱锥外接球的半径为，则， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：；. 8．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为 . 【答案】 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高即可求解. 【详解】如图所示正四面体，记棱长为，高为，为正四面体内切球的球心，延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接， 则为正四面体内切球的半径， 因为，，， 所以， 所以，解得， 由图可知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径， 中等球内切于高的正四面体中，中等球半径， 最小求内切于高的正四面体中，最小球半径， 所以九个球的表面积之和， 故答案为： 三、解答题 9．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，过，，三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.    (1)在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）； (2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）； (3)若点是侧面内的动点，且，当最小时，求三棱锥的外接球的表面积. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）设中点为，再证明即可知这个多边形为； （2）设，连接，设，连接，即可得到截面即为平面，再根据锥体、柱体的体积公式计算可得； （3）取的中点，的中点，连接、、、，即可证明平面平面，则在线段上，从而得到当为的中点时最小，令，连接，则球心在上，设球心为，连接、、，利用勾股定理求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得. 【详解】（1）设中点为，连接，，则由正方体性质可得，且， 故四边形为平行四边形，则. 又中点为，中点为，故，则，故这个多边形为四边形.    （2）在正方形中，直线与直线相交， 设，连接，设，连接， 由为的中点，得为的中点，， 所以平面即为平面， 因为为的中点，所以为的中点， 所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台， 因为正方体的棱长为， 所以 ， 另一部分几何体的体积， 两部分的体积．    （3）取的中点，的中点，连接、、、， 显然，，所以，平面，平面， 所以平面， 又为的中点，所以且，又且， 所以且， 所以为平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又点是侧面内的动点，且， 所以在线段上，又， 即为等腰三角形，所以当为的中点时最小， 因为为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边的中点，设为， 令，则为的中点，连接，则，所以平面， 所以球心在上，设球心为，连接、、， 设外接球的半径为，，则， 又，， 所以，，解得，则， 所以外接球的表面积.    10．如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C． (1)求球冠所在球的半径R(结果用h､r表示)； (2)已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球冠所在球的表面积. 【答案】(1) (2)； 【分析】(1)根据给定信息结合球的截面小圆性质，再借助勾股定理列式计算即得. (2)根据给定条件结合(1)的结论求出球半径R即可计算作答. 【详解】（1）如图，点O是球冠所在球面的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高， 依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B=h，OO1=R-h，O1A=r， 在中，，即，整理化简得：， 所以球冠所在球的半径R有：. （2）因球冠底面圆周长，则， 又球冠表面积公式为，且，则，由(1)知， 即，解得， 于是得，球O的表面积为， 所以的值是，球冠所在球的表面积是. 一、单选题 1．已知正方形ABCD的边长为4，BC和CD的中点分别为M，N，沿AM，MN，NA折起来使得B，D，C重合于P，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，将三棱锥补形为长方体，结合长方体的外接球的半径的求法求三棱锥的外接球半径，再根据球的表面积公式求结论. 【详解】如图，    三棱锥的三条侧棱两两垂直， 即，，， 如下图，将三棱锥补形为长方体，    因为三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥外接球的半径为R， 因为，，， 所以， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为． 故选：A． 2．已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，根据正四棱台及其外接球的性质，可知球心位于正四棱台上、下底面对角线中点的连线上，垂直于上下底面，结合已知条件求出上下底面的面积及，根据已知条件结合体积公式得出正四棱台的高，因为，设，根据勾股定理构造关于的方程，求出从而计算出值，根据求出外接球的表面积. 【详解】 如图所示，正四棱台的外接球半径，设， 根据正四棱台及其外接球的性质可知，球心位于正四棱台上、下底面对角线中点的连线上， 垂直于上下底面，且上下底面均为正方形，则 ，， ，， 设正四棱台的高为，则. 所以. 因为，设，则， 根据勾股定理. 所以外接球表面积. 故选：C. 3．《九章算术·商功》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑；将底面为矩形：一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．在堑堵 中，下列结论正确的个数是（    ） ①当时， 四面体为鳖臑 ②当时， 四面体为鳖臑 ③若 四面体外接球的表面积为 ④若 阳马 体积的最大值为64． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】对①②，利用鳖臑的定义，结合线面垂直的判定性质判断；对③，四面体的外接球即为堑堵的外接球，求出外接球的半径，得解；对④，设，求出阳马 体积关系，结合基本不等式求得最大值判断. 【详解】对于①，在堑堵中，平面，平面， 所以，，， 又，平面，， 所以平面，又平面， 所以， 所以四面体的四个面均为直角三角形，即四面体为鳖臑，故①正确；    对于②，过作于，连接，由，得在线段上（除点）外， 由平面，平面，得，而，平面， 所以平面，则，所以均为锐角， 同理也为锐角，即是锐角三角形，四面体不是鳖臑，故②错误；    对于③，当时，为中点，，， 由，得，四面体的外接球即为堑堵的外接球， 平面与平面截该外接球的截面小圆平行且全等，则球心到截面的距离， 而外接圆半径，因此该外接球半径，该球的表面积为，故③正确； 对于④，设，由，，，则， 所以阳马 体积， 当且仅当，即时，取等号， 所以阳马 体积的最大值为64，故④正确. 综上，正确的有①③④. 故选：D. 4．若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设此内切球的表面积为，该四棱锥外接球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定内切球半径表达式，再利用等积法求出后得内切球半径，再求出外接球半径后得解. 【详解】如图，取中点，中点，连接，，， 因是正三角形，则，又是矩形，有， 而平面平面，平面平面， 平面，平面， 因此平面，平面， 又，则平面，平面， 则，，，平面， 则平面，又平面， 所以，而，则，显然， 由球的对称性和正四棱锥的特征知， 平面截四棱锥的内切球得截面大圆， 此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形， 设，又，， 则球的半径内切球的半径， 又四棱锥的表面积为：， 由得： ， 即， 故即， 解得，故， 此时矩形外接圆的半径为， 故外接球的半径为， 故 故选：A. 5．在正三棱锥中，，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥内部，其球心与的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥的三个侧面均相切，则半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和最小时，小球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设半球的球心为点，连接，连接并延长交于点，判断小球球心在线段上， 设球的半径为，半球的半径为，利用三角形相似求得，依题得，列出题中的面积之和表示式，消元后得到关于的一元二次函数，利用其图象性质即可求得时，所求面积之和最小. 【详解】 如图，设半球的球心为点，连接，连接并延长交于点， 因另一小球在该半球正上方，且与正三棱锥的三个侧面均相切，故其球心在线段上， 连接，则球必与相切，设切点为，连接. 设球的半径为，半球的半径为. 因，， ，， 易得与相似，故有，即得， 因，即， 由题意，半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和为： ， 该二次函数的开口向上，对称轴为直线， 故当时，取得最小值. 故选：A. 6．截角立方体（一种半正多面体，由正方体截去所有顶点得到），该多面体由6个正八边形和8个正三角形组成，已知棱长为2的截角立方体，下列说法正确的是（   ） A．任意两个正八边形面都互相垂直 B．截角立方体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式中，，， C．其表面积是原正方体表面积的2倍 D．其外接球的表面积为 【答案】B 【分析】画出图形求得原来正方体的棱长为，对于AB，观察图形，并进行验算即可判断；对于C，直接验算即可；对于D，先求外接球的半径，然后计算外接球的表面积即可判断. 【详解】如图所示，根据正八边形的性质可知，其外角为，故原来正方体的棱长为； 对于A，由图可知，相邻两个正八边形面都互相垂直，不相邻两个正八边形面都互相平行，故A错误； 对于B，截角立方体的顶点数V、面数F、棱数E依次为 ， 且满足，故B正确； 对于C，其表面积与原正方体表面积的比值为，故C错误； 对于D，由于，从而其外接球的表面积为，故D错误. 故选：B. 二、填空题 7．已知某种益智玩具如图所示，它由两个同底的正四棱锥拼接而成，若上面的正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，下面的正四棱锥的侧棱长为，则其内切球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据组合体的结构特征，利用等体积法求解内切球半径，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】 设上面正四棱锥为，底面是边长为2的正方形，中心为，侧棱长， ，， 在中，根据勾股定理得， ， 正四棱锥的侧面积为； 设下面正四棱锥为，底面是边长为2的正方形，中心为，侧棱长， 在中，根据勾股定理得， ， 正四棱锥的侧面积为； 组合体的体积为， 组合体的表面积为. 设组合体的内切球半径为，利用可得，， ， 组合体内切球的表面积为. 故答案为：. 8．在三棱锥中，，且，E，F分别是PC，AC的中点，，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】证明线面垂直，得到，，两两垂直，三棱锥的外接球转化为以，，为长宽高的长方体的外接球，进而求出外接球半径和表面积. 【详解】因为，且，为公共边， 所以≌，故， 取的中点，连接，则⊥，⊥， 又，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为E，F分别是PC，AC的中点，所以 因为，即⊥，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 故， ，，两两垂直， 故三棱锥外接球等价于以，，为长宽高的长方体的外接球， 此外接球的半径为， 故三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 三、解答题 9．如图所示，已知正方体的体积为64，点M为线段的中点，过点A，M的平面与直线平行. (1)求平面与正方体的表面形成的截面图形的面积； (2)求证：平面平面； (3)点E是侧面内的动点，满足平面，当线段最短时，求四面体的外接球的表面积. 【答案】(1)18 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，求得正方体的棱长，取的中点，得到梯形为所求截面图形，结合梯形的面积公式，即可求解； （2）根据题意，分别证得和，结合线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面. （3）分别取的中点，证得平面和平面，证得平面平面，得到点在线段PQ上，且点为线段的中点时，最短，连接交于点，得到四面体的外接球的球心在上，结合球的截面圆的形状，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：取的中点，连接，易知， 所以梯形为所求截面图形， 如图所示，设正方体的棱长为， 因为正方体的体积为，可得，解得， 则，，， 故所求梯形面积. （2）因为为正方形，可得； 又因为平面，平面，所以； 因为，且平面，所以平面； 因为平面，所以平面平面. （3）如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 因为平面，且平面，则平面， 同理可证：平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，且点是侧面内的动点，则点在线段PQ上， 又因为，故当点为线段的中点时，最短， 设，在直角中，点为的外心， 连接交于点，则平面， 则四面体的外接球的球心在上， 设四面体的外接球的球心为点，则长即外接球半径r； 设，则，因为，， 在直角中，， 在直角中，， 联立方程组，，解得，， 故外接球的表面积为. 10．如图，在平面四边形ABCD中，，，将沿AC翻折，使点到达点的位置，且平面平面ABC. (1)证明：； (2)设三棱锥的各个顶点都在球的球面上，且二面角的大小为. （i）求球的表面积与体积； （ii）若为线段PC（点除外）上的动点，求直线BM与平面OBC所成角的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），；（ii） 【分析】（1）由平面平面ABC，根据面面垂直的性质得到线面垂直，进而得，再通过线面垂直的判定定理及性质即可得证； （2）取AP的中点O，由（1）得，通过计算得，，结合， （i）结合，知三棱锥外接球的球的半径，即可求解； （ii）设，点M到平面OBC的距离为，设直线BM与平面OBC所成角为，通过等体积法求得，得，通过求函数的最大值即可. 【详解】（1）因为，平面平面ABC，平面平面平面PAC，所以平面ABC， 平面ABC，因此. 又，所以平面PBC， 即. （2）因为，所以为二面角的平面角，即 所以，.所以，故. （i）因为为具有公共斜边AP的直角三角形， 取AP的中点O，则可得， 即O为三棱锥外接球的球心，球O的半径. 故表面积，体积. （ii）因为平面PBC，所以A点到平面PBC的距离， 由（i）可知，O为AP的中点，所以O点到平面PBC的距离， 令BC的中点为N，则，， 所以， 设，则 设点M到平面OBC的距离为， 因为，所以， 所以， 又 设直线BM与平面OBC所成角为，则， 当时，，即. 11．如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，．分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形，设二面角的平面角的大小为. (1)当时，求四面体的外接球的表面积； (2)当线段时，求直线与平面所成角的正切值； (3)当点满足，且是以为底的等腰三角形时，求多面体的体积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据球的性质可知球心为等边的中心，利用正三角形的性质求出半径，代入球的表面积公式求解即可； （2）先确定点在平面内的投影为为的三等分点且靠近，然后利用定义知即为直线与平面所成角，在中求解正切值即可； （3）连接，，，，利用线面垂直的判定定理证明得平面，然后求出四面体的体积，利用线面平行的判定与性质定理得，，则，利用比例求出及，最后利用体积分割法求解即可． 【详解】（1）当时，平面平面， 由题意的外心为中点，连接， 则四面体外接球的球心在直线上， 又为等边三角形，则的中心即为球心， 于是，所以； （2）依题意，因为， 所以点在平面内的投影到点和点的距离相等， 即点在的垂直平分线（也是的角平分线）上， 而点在平面内的投影又应该在过点且与垂直的直线上， 从而得出点即为的三等分点且靠近， 于是平面平面，则即为直线与平面所成角， 在中，，，所以， 则； （3）因为，，且为等腰三角形，所以． 连接，，，， 由题意得：，，， 满足，根据勾股定理可知， 又平面， 所以平面． 所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，， 则， 于是，， 又，从而， 则， 即多面体的体积为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $