11.2.2 锥体的体积-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 11.2.2 锥体的体积 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 锥体的体积 棱锥：（其中，为棱锥的底面面积，为棱锥的高）； 圆锥：（其中，为圆锥的底面面积，为圆锥的高， 为圆锥的底面半径）； 附：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 1、已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是 2、棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是______． 3、如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1， 且AA1⊥底面ABC， 则三棱锥B1­ABC1的体积为________． 4、体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是 5、如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D­ACD1的体积是( ) A． B． C． D．1 6、若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是（ ） A．1 B．1∶2 C．∶2 D．3∶4 7、若棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为 8、一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________. 9、如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a， 过顶点B，D，A1截下一个三棱锥； 则剩余部分的体积为 ． 10、如图所示，从一个半径为1＋的圆形纸板中切割出一块中间是正方形、 四周是四个正三角形的纸板，以此为表面(舍弃阴影部分)折叠成一个正四棱锥， 则该正四棱锥的体积是 11、在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？ 12、如图，已知四棱锥P­ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD， 垂足为H，PH是四棱锥的高； 若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°， 求：四棱锥P­ABCD的体积． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 11.2.2 锥体的体积 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 锥体的体积 棱锥：（其中，为棱锥的底面面积，为棱锥的高）； 圆锥：（其中，为圆锥的底面面积，为圆锥的高， 为圆锥的底面半径）； 附：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 1、已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是 【答案】3π； 【解析】设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，∴r＝3.设圆锥的高为h， 则h＝＝，∴V圆锥＝πr2h＝3π； 【说明】本题考查了圆锥的体积公式； 2、棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是______． 【答案】； 【解析】设棱台高为2h，上底面面积为S，则下底面面积为9S，中截面面积为4S， ＝＝； 3、如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1， 且AA1⊥底面ABC， 则三棱锥B1­ABC1的体积为________． 【答案】； 【解析】三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积， 三棱锥A­B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝； 4、体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是 【提示】注意理解台体的概念； 【答案】54； 【解析】设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)， ∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得＝，∴h＝h1， ∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54； 【说明】本题考查了台体的本质是：用平行大锥体底面的平面截取小锥体余下的部分； 5、如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D­ACD1的体积是( ) A． B． C． D．1 【提示】理解体积定义，用好体积公式； 【答案】A； 【解析】三棱锥D­ACD1的体积VD­ACD1＝VD1­ACD＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.； 【说明】本题考查了棱锥的体积公式与底面的选择； 6、若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是（ ） A．1 B．1∶2 C．∶2 D．3∶4 【提示】理解圆柱与圆锥的结构特征； 【答案】D； 【解析】设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R， 则有·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝πR2h＝πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4； 【说明】本题主要还是考查了圆柱与圆锥的体积公式； 7、若棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为 【提示】注意理解与熟悉棱台的体积公式； 【答案】28； 【解析】所求棱台的体积V＝×(4＋16＋)×3＝28； 【说明】本题主要考查了棱台的体积公式； 8、一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________. 【提示】注意理解体积的定义； 【答案】a； 【解析】设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h， 圆柱形容器内的液体体积为πh. 根据题意，有πR2h＝πh，解得R＝a. 再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝，所以h＝a； 【说明】本题考查了柱体与锥体的体积公式； 9、如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a， 过顶点B，D，A1截下一个三棱锥； 则剩余部分的体积为 ． 【提示】注意阅读理解与转化； 【答案】a3； 【解析】因为V三棱锥A­A1BD＝V三棱锥A1­ABD＝S△ABD·A1A＝··AB·AD·A1A＝a3. 所有，剩余部分的体积V＝V正方体ABCD­A1B1C1D1－V三棱锥A1­ABD＝a3－a3＝a3. 【说明】本题考查了几何体体积的常用方法之一：补集法；求几何体的体积方法，常用的有：公式法，等积法，补体法，分割法，补集法； 10、如图所示，从一个半径为1＋的圆形纸板中切割出一块中间是正方形、 四周是四个正三角形的纸板，以此为表面(舍弃阴影部分)折叠成一个正四棱锥， 则该正四棱锥的体积是 【提示】注意对称性，与两几何图形间的关联； 【答案】； 【解析】如图，在四棱锥P­ABCD中，O为底面ABCD的中点， M为BC的中点，由题意得，AB＝2，PM＝，PO⊥OM， 所以PO＝h＝， 所以该四棱锥的体积为V＝·S正方形ABCD·h＝×22×＝； 【考点】本题的本质还是考查了正四棱锥的结构特征与体积公式； 11、在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？ 【提示】理解圆锥的定义与注意转化 【解析】由题意，所形成的几何体为两个圆锥的组合体，如图 所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD， 且BD＝＝， 两个圆锥的高分别为AD和DC， 所以V＝V1＋V2＝πBD2·AD＋πBD2·CD ＝πBD2·(AD＋CD)＝πBD2·AC ＝π××5＝π. 故所形成的几何体的体积是π. 【说明】本题考查了圆锥的体积公式与分割法； 12、如图，已知四棱锥P­ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD， 垂足为H，PH是四棱锥的高； 若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°， 求：四棱锥P­ABCD的体积． 【提示】注意结合棱锥的几何性质，创设利用体积公式的前提； 【解析】因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝，所以HA＝HB＝. 因为∠APB＝∠ADB＝60°， 所以PA＝PB＝，HD＝HC＝tan 30°＝1. 可得PH＝＝， 等腰梯形ABCD的面积为S＝AC×BD＝2＋. 所以四棱锥的体积为V＝×(2＋)×＝. 【说明】本题主要考查了 棱锥的交汇性质、解答证明与体积公式的关联；三棱锥的任一个面都可作为三棱锥的底面；求体积时，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算即可； 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$