微专题8 数列的通项公式与递推关系 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦数列通项公式与递推关系高考核心考点，按累加法、累乘法、构造法三大递推类型构建知识体系，通过考点梳理、方法提炼、真题演练的教学流程，帮助学生系统掌握不同递推形式的转化策略，突破数列求通项的难点。 资料以“题型-方法-素养”为主线，如构造法中通过引入参数将线性递推转化为等比数列，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。跟踪训练精选模拟真题，分层设计巩固练习，确保学生在有限时间内高效掌握解题技巧，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

微专题8　数列的通项公式与递推关系 视角一　累加法求通项公式 例1 (2026·沧州模拟)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋ln ，则{an}的通项公式为(　　) A．an＝ln n B．an＝(n－1)ln (n＋1) C．an＝n ln n D．an＝ln n＋n－1 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式，可利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项． 　跟踪训练　记Tn为数列{an}的前n项积，且a1＝1，Tn＋1－Tn＝2n，则a6＝(　　) A．　　　B． C．　　　D． 视角二　累乘法求通项公式 例2 记Sn为首项为1的数列{an}的前n项和，且＝n2，则S30＝(　　) A．　　　B． C．　　　D． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项． 　跟踪训练　(2026·宁德模拟)已知数列{an}满足a1＝1，，则{an}的前7项和为(　　) A． 　　　B． C．　　　D． 视角三　构造法求通项公式 例3 (1)已知数列{an}满足an＋1＝an＋4，且a1＝1，则{an}的通项公式为(　　) A．an＝12－n-1 　 B．an＝n+2 C．an＝12－11×n-1 　 D．an＝8＋n-1 (2)在数列{an}中，已知a1＝an＋n+1，则an＝________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)形如an＋1＝pan＋q，引入参数c，构造新的等比数列{an－c}． (2)形如an＋1＝pan＋qn+1，两边同除以qn+1，构造新的数列. (3)形如an＋1＝，两边同时取倒数转化为的形式，化为bn＋1＝pbn＋q型． 　跟踪训练　(1)(2026·保定模拟)已知数列{an}满足a1＝4，且an＋1＝2an－3，则a211＝(　　) A．2210－3 　B．2211－1 C．2210＋3 　D．2211＋1 (2)已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝2，则a9＝(　　) A． 　B． C． 　D． 微专题8　数列的通项公式与递推关系 例1　解析：由已知得an＋1－an＝ln ()＝ln (n＋1)－ln n，an－an－1＝ln n－ln (n－1)，an－1－an－2＝ln (n－1)－ln (n－2)，…，a3－a2＝ln 3－ln 2，a2－a1＝ln 2－ln 1，将上述n－1个等式相加，整理得an－a1＝ln n－ln 1＝ln n，又因为a1＝0，所以an＝ln n.故选A. 答案：A 跟踪训练　解析：由题意可得T1＝1，Tn－Tn－1＝2(n－1)，…，T2－T1＝2，累加有n≥2时，Tn＝1＋2×1＋2×2＋…＋2×(n－1)＝1＋2×＝n2－n＋1.经验证当n＝1时满足，故Tn＝n2－n＋1，则n≥2时，an＝＝＝，当n＝1时满足，即an＝，令n＝6可得a6＝.故选C. 答案：C 例2　解析：易得Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，故Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，化简得(n2＋2n)an＋1＝n2an，即(n＋2)an＋1＝nan，由a1＝1知an≠0，故＝，累乘可得·…·＝×…×，即an＋1＝＝，故an＝(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，故Sn＝n2an＝，故S30＝.故选C. 答案：C 跟踪训练　解析：因为＝，a1＝1，所以···…·＝×…×，则＝，即an＋1＝，所以an＝(n≥2)，又a1＝1，满足上式，所以an＝＝2()(n∈N*)，所以{an}的前7项和为2×(1－＋…＋)＝.故选C. 答案：C 例3　解析：(1)设an＋1＋x＝(an＋x)，即an＋1＝an－x，所以－x＝4，解得x＝－12，所以an＋1－12＝(an－12)，所以{an－12}是首项为a1－12＝－11，公比为的等比数列，所以an－12＝－11×()n－1，所以an＝12－11×()n－1.故选C. (2)因为a1＝，an＋1＝an＋()n＋1，所以2n＋1an＋1＝×2nan＋1，整理得2n＋1an＋1－3＝(2nan－3)，所以数列{2nan－3}是以2a1－3＝－为首项，为公比的等比数列，所以2nan－3＝－×()n－1，解得an＝. 答案：(1)C　(2) 跟踪训练　解析：(1)因为an＋1＝2an－3，所以an＋1－3＝2(an－3)．因为a1－3＝1，所以数列{an－3}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an－3＝2n－1，所以an＝2n－1＋3，故a211＝2210＋3.故选C. (2)易知an≠0，从而由题意＝·，即－1＝－－1)，也就是数列是以－1＝－为首项，－为公比的等比数列，从而－1＝－×(－)n－1＝(－)n，所以－1＝(－)9，解得a9＝.故选A. 答案：(1)C　(2)A 学科网（北京）股份有限公司 $