第40讲 等差数列及其前n项和讲义（4考点+10题型）-2027届高三数学一轮复习

第40讲 等差数列及其前n项和 目录 Part 1 考点突破 【考点1：等差数列的有关概念】 【考点2：等差数列的有关公式】 【考点3：等差数列的常用性质】 【考点4：解题方法总结】 Part2 题型探究 【题型一：等差数列的基本量运算】 【题型二：等差数列的判定与证明】 【题型三：等差数列的性质】 【题型四：等差数列前n项和的性质】 【题型五：等差数列前n项和的最值】 【题型六：等差数列的实际应用】 【题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论】 【题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题】 【题型九：利用等差数列的单调性求解】 【题型十：等差数列中的范围与恒成立问题】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：等差数列的有关概念】 知识点1：等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 【例1】（25-26高二上·广东茂名·期末）已知数列中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．17 【答案】B 【分析】先根据已知得出是等差数列，得出通项公式计算即可. 【详解】，又， 所以数列是公差为的等差数列，， 故选：B. 【考点2：等差数列的有关公式】 知识点2：等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 【例2】（25-26高二下·广东江门·期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，列式求出数列的首项和公差，进而求出通项公式和前n项和公式． 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以，，ABC错误，D正确. 故选：D 【考点3：等差数列的常用性质】 知识点3：等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）．数列是等差数列⇔（为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． （12）若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 【例3】公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列通项求出，再利用基本不等式即可求出，对于CD选项，利用特殊值法反驳即可. 【详解】因为,所以, 因为公差不为零,,所以，B正确，A错误， 取,则,此时,C,D均不正确, 故选：B. 【考点4：解题方法总结】 解题方法总结 （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 【例4】设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 【答案】 【分析】根据等差数列前项和性质计算即可. 【详解】由题意得 所以. 故答案为： Part 2 题型探究 【题型一：等差数列的基本量运算】 【例1】（2026·宁夏·一模）已知正项等差数列中，，，若，则（   ） A．10 B．13 C．15 D．17 【答案】C 【解析】设等差数列的首项为，公差为，则由，得， 解得或（舍），， 设等差数列的前n项和为，则， 故，，即. 故选：C. 【变式1】（2026·山西晋城一模）在等差数列中，，则的公差为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，又因为， 所以， 所以，即，故选：D. 【变式2】（2026·陕西渭南·三模）已知为等差数列的前项和，若，，则（   ） A．28 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，由，，得， 即，则，因此， 所以. 【题型二：等差数列的判定与证明】 【例2】在数列中，，证明：数列为等差数列； 【解】                     所以数列是公差为3的等差数列． 【变式3】（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且． 证明：数列为等差数列； 【解】由，所以， 所以， 所以数列是以为公差，首项为的等差数列； 【变式4】已知数列中，，.证明：是等差数列； 【解】因为，所以， 而，则， 即，得到是首项为，公差为的等差数列. 【题型三：等差数列的性质】 【例3】（2026·河南开封·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．5 B．10 C．30 D．75 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， ，， ，， . 【变式5】（2026·陕西西安·模拟预测）等差数列中，，，则（    ） A．0 B． C．15 D．20 【答案】A 【解析】因为为等差数列，且， 所以由下标和性质有，即，解得. 【变式6】（2026·山东青岛二模）已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（   ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】D 【解析】由于与是方程的两根，故， 即，得， 因此，故选：D 【题型四：等差数列前n项和的性质】 【例4】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【详解】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列， 又，所以， 所以． 【变式7】（2026·河北沧州·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为等差数列的前项和分别为，且， 所以可设，， 所以，所以. 【变式8】（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】A 【解析】因为是等差数列的前项和， 所以成等差数列. 所以， 即. 【题型五：等差数列前n项和的最值】 【例5】（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，。 根据等差数列的通项公式及前项和公式得： 由，得，化简整理得 ①； 由，得，化简整理得 ②. 所以得，将代入①得， 故通项公式为， 所以等差数列的首项，公差的一个递增等差数列， 因此等差数列的前项和有最小值. 令，即，解得，又，因此. 所以当时，，；当时，，. 因此时取得最小值. 【变式9】（2026·北京大兴·三模）已知等差数列，，，则的最大值为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 由，得， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以当或时，的值最大，最大值为. 【变式10】（2026·辽宁大连·一模）记为数列的前项和，已知.当最大时，（    ） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【解析】由可得数列为等差数列， 又可得，因此； 所以公差满足，因此； 即， 又因为，所以当或时，取得最大为45.故选：C 【题型六：等差数列的实际应用】 【例6】（2026·江苏无锡·三模）某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（    ）TFLOPS. A．29 B．32 C．35 D．38 【答案】C 【解析】由题意知，前10秒每秒的算力构成等差数列， 设等差数列的公差为，首项为，且最大算力为，10秒后算力保持不变. 则，， 联立解得，. 所以最大算力，单位为TFLOPS. 【变式11】（2026·北京房山·二模）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏，是我国现存规模最大、布局最规整的藏传塔群．塔群依山而建，共行，呈等腰三角形整齐排列，总数恰为座，自上而下数量依次构成数列．已知的前项和，从第项到第项构成等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为数列从第5项开始是等差数列， 所以， ，. 【变式12】（25-26高二上·福建龙岩·期中）罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（   ）    A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质求第七层的底面直径即可. 【详解】由题意，从第一层到顶层的底面直径构成首项为8，公差为的等差数列， 所以米. 故选：C 【题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论】 【例7】（25-26高二下·四川南充·月考）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质求解. 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 【变式13】一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出，从而求出数列的项数. 【详解】根据等差数列的性质得：，， 解得：，故该数列的项数为. 故选：B 【变式14】设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 【题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题】 【例8】（2026·江西抚州·三模）已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解】（1）因，则为首项为23，公差为的等差数列， 则. 又，则， 时，, 又满足，则； （2）由（1），当时，令，可得； . 则当时，； 当时，. 综上：. 【变式15】（2026·四川乐山·二模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 设数列的公差为，则，所以， ，， 所以当时，，当时，， 所以 ， 所以. 【变式16】（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 【答案】B 【分析】先根据判断数列的正负性，进而确定数列的表达式，再计算数列的前10项和. 【详解】因为，，令，得， 因为，所以当时，； 当时，. 所以，记数列的前项和为， 则 . 故选：B 【题型九：利用等差数列的单调性求解】 【例9】设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题首先可根据题意得出，然后根据数列是递增数列得出不等式组，最后通过计算即可得出结果. 【详解】因为，， 所以， 因为数列是递增数列， 所以，解得，即. 故选：C. 【变式17】等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】直接利用等差数列中，，，进行转换，进一步求出公差为负值，且，，最后求出结果． 【详解】等差数列中，，，所以，则． 所以，则． 所以①正确． ②整理得正确． ③是各项中最大的项，应该是最小的正数项．故错误． ④是中最大的值，正确； ⑤为递增数列．错误，应改为递减数列． 故答案为：①②④． 【变式18】若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表示出，然后由且可求出公差的取值范围. 【详解】由，得，得， 因为是正项无穷的等差数列， 所以，所以，得， 即的公差的取值范围是. 故选：D 【题型十：等差数列中的范围与恒成立问题】 【例10】已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得且，即可求解. 【详解】根据等差数列的前项和满足恒成立，可知且， 所以且，解得． 故答案为：. 【变式19】设等差数列的前n项和为.已知，.若存在正整数k，使得对任意的都有恒成立，则k的值为 ． 【答案】10 【分析】根据等差数列解出首项与公差，写出，找到取最大值时的值即为答案. 【详解】解：因为为等差数列， 所以. 所以，最大值为， ． 故答案为:10. 【变式20】（25-26高二上·湖南衡阳·月考）（多选题）已知等差数列的前n项和为,公差,若存在正整数m,k（）,使得,则（   ） A． B．当时, C．存在最小值 D．当为偶数时, 【答案】AB 【分析】由等差数列前项和的函数特性可判断A和B，通过举反例可判断C，设,由，整理可得，再由等差数列的通项公式和性质可得从而判断D. 【详解】设,由（）,可知二次函数的图象关于直线对称, 所以,即,A正确. 因为,所以当时,,B正确. 取,则,但不存在最小值,C错误. 若为偶数,不妨设,由,可得,即, 则,即,即,所以不成立,D错误. 故选：AB. Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（2026·安徽合肥·一模）数列中，，，则=（   ） A．210 B．190 C．170 D．150 【答案】C 【解析】由知数列是公差为的等差数列， 所以，故选C. 2．（2026·四川眉山二模）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（    ） A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024 【答案】C 【解析】由是等差数列，则也为等差数列. 由，则数列的公差为1. 所以 所以，所以，故选C 3．（25-26高二上·重庆·期中）在等差数列 中， ， ，则 的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】通过列方程组的方法来求得公差. 【详解】设公差为， 依题意，，解得. 故选：B 4．（25-26高二上·新疆·月考）在实数和()之间插入4个不同的数，这6个数恰好构成公差为3的等差数列，则的值为（    ） A．15 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的项数与公差的关系，求出末项与首项的差，进而得到的值. 【详解】6个数构成等差数列，项数为6，公差为3,首项为，末项为， 则，故. 故选：D 5．（25-26高二上·重庆·月考）在等差数列中，，，（），则 ． 【答案】0 【分析】利用等差数列定义求出公差，代入计算可得结果. 【详解】由，可得， 即，解得； 所以. 故答案为：0 6．（25-26高二·全国·假期作业）在等差数列中，，，，则数列的公差为 ． 【答案】 【分析】应用等差数列的通项公式可得且，结合列方程求公差. 【详解】设的公差为d，则，则， ∴， 而，即， ∴. 故答案为： 7．（25-26高二上·江苏·期末）已知是等差数列，，，则的前10项和为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的公差和首项，代入前项和公式可得答案. 【详解】设的公差为， 因为，， 所以，解得， 则的前10项和为. 故选：D. 8．（25-26高二上·重庆·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和公式求出该数列的首项和公差，进而可求出结果. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以有. 化简得，解得. 所以. 故选：B. 【提升通关练】 9．（多选）若正项数列是等差数列，且，则（    ） A．当时， B．的取值范围是 C．当为整数时，的最大值为29 D．公差的取值范围是 【答案】ABC 【解析】当,时，公差，，故A正确； 因为是正项等差数列，所以，即，且， 所以公差的取值范围是，故D错误； 因为，所以的取值范围是，故B正确； ，当为整数时，的最大值为29，故C正确； 故选：ABC. 10．已知数列的首项，且数列是以1为公差的等差数列，则 ． 【答案】9 【解析】由数列的首项，且数列是以1为公差的等差数列，可得，则，所以. 11．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an. （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明数列=为等差数列，并求{bn}的通项公式. 【解】（1）当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n－1）－（2n－1－1）＝2n－1. 因为a1＝1符合上式，所以an＝2n－1. （2）因为bn＋1－2bn＝8an， 所以bn＋1－2bn＝2n＋2，即.又， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列. 所以＝1＋2（n－1）＝2n－1.所以bn＝（2n－1）×2n. 12．（25-26高二上·江苏南京·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 【答案】C 【分析】根据等差数列的前项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项计算即可. 【详解】由题可知：成等差数列 所以， 又，所以 故选：C 13．（25-26高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 【答案】A 【分析】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】， ∴， 关于n的二次函数，其对称轴为， ∵，∴当或时，最大． 故选：A． 14．（多选题）设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当时，取最大值 C． D．数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的性质，以及前项和的性质，可判断ABC，利用前项和公式来求的通项公式可判断D. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以； 因为，又因为，所以， 又因为，所以，则，故A正确； 且当时，取最大值，且，故B正确，C错误； 因为，所以数列单调递减； 因为，所以， 所以数列也是等差数列，并且也为单调递减数列，故D正确． 故选:ABD． 15．在等差数列中，，，则（    ）． A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】由等差中项性质得，利用等差数列通项公式求基本量公差，进而写出通项公式，即可得. 【详解】由题设，则，而， 若等差数列公差为，则， 所以，通项公式为，故. 故选：C 16．在等差数列中，若，则其前7项和为（    ） A．7 B．9 C．14 D．18 【答案】C 【分析】由条件利用等差数列性质可求，结合等差数列前项和公式求解结论. 【详解】因为数列为等差数列， 所以， 所以数列的前项和， 故选：C. 【培优通关练】 17．（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由条件求出数列的前项的和，设新数列为，设其公差为，由条件可得，结合选项判断即可. 【详解】由已知，，，，， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 18．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和，若，，则__________． 【答案】24 【分析】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可. 【详解】由等差数列通项公式， 代入可得，解得. 因为，所以， 故. 19．（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解. 【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出， 且，是单调递增的，所以必须满足， 所以，所以. 20．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 【答案】 【分析】直接根据等差数列求和公式求解. 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 21．数列，，c的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先利用等差数列的定义判定为等差数列，再利用等差数列性质即可求解. 【详解】因为，则， 可知数列为等差数列， 则，解得， 所以c的取值范围为. 故答案为：. 22．（2026·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 23．记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 【解】∵数列是等差数列，设公差为 ∴， ∴， ∴当时， 当时，，满足， ∴的通项公式为， ∴，∴是等差数列. 24．已知无穷数列满足：，．则数列的前n项和最小值时的值为 ． 【答案】或 【分析】易得数列是等差数列，求出其通项，再令，即可得解. 【详解】因为，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 令，则，又， 所以当或时，数列的前项和取得最小值. 故答案为：或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第40讲 等差数列及其前n项和 目录 Part 1 考点突破 【考点1：等差数列的有关概念】 【考点2：等差数列的有关公式】 【考点3：等差数列的常用性质】 【考点4：解题方法总结】 Part2 题型探究 【题型一：等差数列的基本量运算】 【题型二：等差数列的判定与证明】 【题型三：等差数列的性质】 【题型四：等差数列前n项和的性质】 【题型五：等差数列前n项和的最值】 【题型六：等差数列的实际应用】 【题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论】 【题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题】 【题型九：利用等差数列的单调性求解】 【题型十：等差数列中的范围与恒成立问题】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：等差数列的有关概念】 知识点1：等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 【例1】（25-26高二上·广东茂名·期末）已知数列中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．17 【考点2：等差数列的有关公式】 知识点2：等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 【例2】（25-26高二下·广东江门·期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【考点3：等差数列的常用性质】 知识点3：等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）．数列是等差数列⇔（为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． （12）若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 【例3】公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【考点4：解题方法总结】 解题方法总结 （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 【例4】设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . Part 2 题型探究 【题型一：等差数列的基本量运算】 【例1】（2026·宁夏·一模）已知正项等差数列中，，，若，则（   ） A．10 B．13 C．15 D．17 【变式1】（2026·山西晋城一模）在等差数列中，，则的公差为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（2026·陕西渭南·三模）已知为等差数列的前项和，若，，则（   ） A．28 B．32 C．36 D．45 【题型二：等差数列的判定与证明】 【例2】在数列中，，证明：数列为等差数列； 【变式3】（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且． 【变式4】已知数列中，，.证明：是等差数列； 【题型三：等差数列的性质】 【例3】（2026·河南开封·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．5 B．10 C．30 D．75 【变式5】（2026·陕西西安·模拟预测）等差数列中，，，则（    ） A．0 B． C．15 D．20 【变式6】（2026·山东青岛二模）已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（   ） A．41 B．42 C．43 D．44 【题型四：等差数列前n项和的性质】 【例4】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【变式7】（2026·河北沧州·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式8】（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【题型五：等差数列前n项和的最值】 【例5】（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 【变式9】（2026·北京大兴·三模）已知等差数列，，，则的最大值为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【变式10】（2026·辽宁大连·一模）记为数列的前项和，已知.当最大时，（    ） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【题型六：等差数列的实际应用】 【例6】（2026·江苏无锡·三模）某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（    ）TFLOPS. A．29 B．32 C．35 D．38 【变式11】（2026·北京房山·二模）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏，是我国现存规模最大、布局最规整的藏传塔群．塔群依山而建，共行，呈等腰三角形整齐排列，总数恰为座，自上而下数量依次构成数列．已知的前项和，从第项到第项构成等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 【变式12】（25-26高二上·福建龙岩·期中）罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（   ）    A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米 【题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论】 【例7】（25-26高二下·四川南充·月考）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【变式13】一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 【变式14】设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题】 【例8】（2026·江西抚州·三模）已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式15】（2026·四川乐山·二模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【变式16】（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 【题型九：利用等差数列的单调性求解】 【例9】设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式17】等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 . 【变式18】若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型十：等差数列中的范围与恒成立问题】 【例10】已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是 ． 【变式19】设等差数列的前n项和为.已知，.若存在正整数k，使得对任意的都有恒成立，则k的值为 ． 【变式20】（25-26高二上·湖南衡阳·月考）（多选题）已知等差数列的前n项和为,公差,若存在正整数m,k（）,使得,则（   ） A． B．当时, C．存在最小值 D．当为偶数时, Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（2026·安徽合肥·一模）数列中，，，则=（   ） A．210 B．190 C．170 D．150 2．（2026·四川眉山二模）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（    ） A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024 3．（25-26高二上·重庆·期中）在等差数列 中， ， ，则 的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·新疆·月考）在实数和()之间插入4个不同的数，这6个数恰好构成公差为3的等差数列，则的值为（    ） A．15 B．12 C． D． 5．（25-26高二上·重庆·月考）在等差数列中，，，（），则 ． 6．（25-26高二·全国·假期作业）在等差数列中，，，，则数列的公差为 ． 7．（25-26高二上·江苏·期末）已知是等差数列，，，则的前10项和为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 8．（25-26高二上·重庆·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【提升通关练】 9．（多选）若正项数列是等差数列，且，则（    ） A．当时， B．的取值范围是 C．当为整数时，的最大值为29 D．公差的取值范围是 10．已知数列的首项，且数列是以1为公差的等差数列，则 ． 11．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an. （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明数列=为等差数列，并求{bn}的通项公式. 12．（25-26高二上·江苏南京·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 13．（25-26高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 14．（多选题）设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当时，取最大值 C． D．数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性 15．在等差数列中，，，则（    ）． A．3 B．5 C．7 D．9 16．在等差数列中，若，则其前7项和为（    ） A．7 B．9 C．14 D．18 【培优通关练】 17．（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 18．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和，若，，则__________． 19．（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 20．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 21．数列，，c的取值范围为___________． 22．（2026·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 23．记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 24．已知无穷数列满足：，．则数列的前n项和最小值时的值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $