专题05 代数式 期中复习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题05代数式期中复习讲义 ✵复习目标 理解用字母表示数的意义，掌握代数式的概念，严格遵循代数式书写规范。 能够根据文字描述、实际情境、正（反）比例关系列出代数式，并能解释代数式的实际意义。 掌握直接代入求值、整体代入求值的方法，能读懂程序流程图并列式求值。 学会观察数字、图形的变化规律，归纳并用代数式表示一般规律。 ✵高频题型梳理 题型1.用字母表示数 题型2.代数式的概念辨析与书写规范 题型3.列代数式、代数式的实际意义 题型4.正（反）比例关系列式 题型5.用代数式表示数、图形的规律 题型6.已知字母的值，求代数式的值 题型7.已知整体式子的值，求代数式的值 题型8.程序流程图与代数式求值 题型9.数字类规律探索 题型10.图形类规律探索 题型11.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、用字母表示数 字母可以表示任意有理数，也可以用来表示数量、数量关系以及变化规律； 字母和数具有同等地位，可以参与各类运算。 知识点二、代数式 1.用加、减、乘、除、乘方等运算符号，把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。单独一个数或一个字母，也是代数式。 辨析：等式、不等式含有等号或不等号，不属于代数式。 2.代数式书写规范： 数与字母、字母与字母相乘时，省略乘号，数字写在字母之前； 带分数与字母相乘，应当先转化为假分数； 除法运算一般采用分数形式表示； 若代数式含有加减运算，且后面标注单位，则整个代数式需要添加括号。 知识点三、列代数式与代数式的意义 梳理题干中的数量关系与运算顺序，将文字语言转化为数学代数式；结合现实情境，对代数式的含义作出合理解释。 知识点四、正（反）比例关系列式 若两个量的比值为定值，则两个量成正比例关系，可表示为y=kx（k为常数，k≠0）； 若两个量的乘积为定值，则两个量成反比例关系，可表示为xy=k（k为常数，k≠0）。 提示：本学段仅要求依据定值关系列写代数式，不涉及函数相关知识。 知识点五、代数式求值 直接代入：将字母对应的取值代入代数式进行计算；代入负数、分数时，应添加括号，明确运算顺序； 整体代入：将某一个代数式看作一个整体进行代换，简化运算步骤。 知识点六、程序流程图与代数式求值 读懂流程图规定的运算流程，先根据流程写出对应的代数式，再代入数值完成计算。 知识点七、规律探究 数字规律：观察数列中相邻项的差、倍数、乘方等变化特征，归纳得到通项代数式； 图形规律：区分图形中的不变量与变化量，结合序号 n（n 为正整数）构造代数式，并代入前几组数据检验。 ✵易错提醒 1. 代数式书写：数字置于字母前方；带分数应化为假分数；除法改写为分数形式；含加减运算的代数式附带单位时，整体添加括号。 2. 代数式不含等号、不等号，注意区分代数式、等式与不等式。 3. 代入负数、分数求值时，必须添加括号，避免符号运算失误。 4. 正比例为比值恒定，反比例为乘积恒定，二者不可混淆。 5.归纳得到规律代数式后，可取前两组序号代入检验；n 代表正整数。 ✵典例精讲 题型1.用字母表示数 1．如果甲扇形的圆心角是，乙扇形的圆心角是，那么下列说法正确的是（   ） A．甲扇形的弧长是乙扇形弧长的二分之一 B．甲、乙扇形的弧长可以相等 C．甲、乙扇形的弧长一定不相等 D．甲、乙扇形的面积一定不相等 【答案】B 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积和弧长的计算公式． 结合扇形的弧长公式和面积公式求解可得． 【详解】解：A．因为甲、乙扇形的半径未知，所以不能判断弧长之间的关系，故本选项不符合题意； B．当甲扇形的半径是乙扇形的半径的2倍时，甲、乙扇形的弧长相等，故本选项符合题意； C．甲、乙扇形的弧长可以相等（当甲扇形的半径是乙扇形的半径的2倍时，甲、乙扇形的弧长相等），故本选项不符合题意； D．甲、乙扇形的面积可以相等，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．一桶水连桶重20千克，倒掉一半水后连桶重a千克，那么水重_______千克，桶重_______千克． 【答案】 【分析】用水和桶的重量倒掉一半水后水和桶的重量，求出一半水的重量，再乘2，即可求出水的重量；再用水和桶的重量水的重量，求出桶的重量，据此解答． 【详解】解：一半水的重量为千克， 则水的重量为（千克）， 则桶的重量为（千克）． 综上，水重千克，桶重千克． 3．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位：)依先后次序记录如下：，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)如果汽车行驶平均耗油升，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)出租车离鼓楼出发点，出租车在鼓楼西边 (2)升 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的加减和列代数式． （1）根据有理数的加减求出结果进行判断即可； （2）利用绝对值求出走过的路程，再利用乘以，即可求解． 【详解】（1）解：． 答：出租车离鼓楼出发点，出租车在鼓楼西边； （2）解： (升) 答：这天下午汽车共耗油升． 题型2.代数式的概念辨析与书写规范 1．下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 【答案】D 【分析】利用代数式的意义逐项分析判断即可获得答案． 【详解】解：A. 表示2和相乘，故本选项错误，不符合题意； B. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； C. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； D. 的值随的增大而增大，该说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式的知识，理解代数式的意义是解题关键． 2．下列各式： ，，，，其中符合代数式书写规范的有 _____个． 【答案】2 【分析】根据代数式的书写规则即可得出答案． 【详解】解：应该写成， 应该写成， ，符合书写规范， 综上所述，符合代数式书写规范的有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式是解题的关键． 3．甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为． (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 【答案】(1)小时 (2)小时，小时 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题中的等量关系来列代数式进行解答． （1）根据路程、速度和时间三个量之间具有关系：时间路程速度，用代数式表示出汽车从甲地到乙地需要行驶的时间； （2）早到的时间原来需要行驶的时间一加快速度后需要行驶的时间，用代数式进行表示即可． 【详解】（1）解：（小时）， 答：汽车从甲地到乙地需要行驶小时． （2）解：（小时）， 小时， 答：汽车从甲地到乙地需要行驶小时，汽车加快速度后可以早到小时． 题型3.列代数式及代数式的实际意义 1．下列两个量的关系一定不是反比例关系的是（     ） A．若为圆柱底面的半径，为圆柱的高，当圆柱的侧面积一定时，与之间的关系 B．汽车在一定路程上的行驶速度与行驶时间之间的关系 C．三角形的面积一定，则三角形的高与对应的底边长之间的关系 D．长方形的周长一定，其面积与长方形的一边长之间的关系 【答案】D 【分析】当两个相关联量的乘积为定值时，这两个量成反比例关系，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵圆柱侧面积为定值，∴为定值，与成反比例关系； B、∵行驶路程为定值，∴为定值，与成反比例关系； C、∵三角形面积为定值，∴为定值，与成反比例关系； D、∵长方形周长为定值，∴邻边长为，面积，与的乘积不是定值，二者不是反比例关系． 2．一棵树高h（m）与生长时间n（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出h（m）与n（年）之间的关系式，______． n（年） 2 4 6 8 10 h（m） 2.6 3.2 3.8 4.4 5.0 【答案】 【分析】由表格可知树每年生长的高度，然后问题可求解． 【详解】解：由表格可知树每生长一年长高， ∴当时，树高为， ∴满足的关系式为． 3．，两地相距km，甲、乙两人驾车分别以km/h，km/h的速度从地到地，且乙用的时间较少． (1)用代数式表示乙比甲少用的时间； (2)当，，时，求（1）中代数式的值，并说明这个值表示的实际意义． 【答案】(1) (2)代数式的值为，这个值表示的实际意义是乙比甲早到 【分析】本题考查了代数式，理解题意并列出代数式是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：乙用的时间为：，甲用的时间为：， ∴乙比甲少用的时间为：； （2）解：当，，时， ， 这个值表示的实际意义是乙比甲早到． 题型4.正（反）比例关系列式 1．下列选项中的两个量成反比例关系的是（     ） A．书的总页数为页，未读的页数与已读的页数 B．三角形的面积为，它的一边的长与这条边上的高 C．长方体的底面积为，它的体积与高 D．签字笔每支元，购买签字笔的总费用与购买的数量 【答案】B 【分析】根据反比例的定义：两个相关联的量，若它们的乘积为定值，则这两个量成反比例关系，据此逐一判断选项. 【详解】解：选项，未读页数与已读页数的和为，是和一定，乘积不一定，不成反比例关系； 选项，设三角形一边长为，该边上的高为，由面积公式得，即（定值），故这两个量成反比例关系； 选项中长方体体积与高的比值、选项中购买总费用与数量的比值均为定值，二者成正比例关系. 2．在数学活动课上，王老师与同学们做了这样一个实验，如图，在左侧托盘（固定）中放置一个重物，在右侧托盘（可左右移动）．中放置一个质量为的空容器，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与支点C的距离（）， 记录容器与水的总质量的数据如下： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 当托盘与支点的距离时，容器与水的总质量的值为_______ 【答案】 【分析】本题主要考查反比例关系的应用，根据各数量之间的关系写出关系式是解题的关键．根据表格数据可得与的乘积不变，成反比例，据此即可求解． 【详解】解：由表格可知，与的乘积不变，成反比例，， ∴当时，容器与水的总质量的值为， 故答案为：． 3．七年级选取了部分同学参加广播体操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与站的排数如下表所示． 每排的人数/人 5 10 20 25 … 排数/排 20 10 5 4 … (1)参加广播体操表演的同学共有______人． (2)若每排的人数记为，排数记为，请你写出，之间的数量关系，请问，成反比例关系吗？为什么？ 【答案】(1)100 (2) 解：∵总人数=每排的人数×排数， ． ∴与的积是定值， ∴，成反比例关系． 【分析】本题主要考查了反比例的定义，有理数乘法的实际应用，解题的关键是掌握反比例的定义和有理数的乘法运算． （1）用每排的人数乘以排数求解即可； （2）根据总人数=每排的人数×排数列式即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得，（人）， ∴参加广播体操表演的同学共100名． 故答案为：100． （2） 略 题型5.用代数式表示数、图形的规律 1．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 【答案】A 【分析】通过观察图形中木棍数量的变化，归纳出第n个图案的木棍数的规律． 【详解】解：由题意可知，第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第个图案用的木棍根数是， 当时，木棍根数为． 2．一列数：，，，，，，根据这个规律，第99个数是___________． 【答案】 【分析】分子、分母、符号的规律分开来找，可快速作答． 【详解】解：由所给各数可知， ∵分子依次为，，，，， ∴第个数的分子可表示为； ∵分母依次为，，，，， ∴第个数的分母可表示为； 又∵第奇数个数为负数，第偶数个数为正数， ∴第个数可表示为． 当时，第99个数为． 3．观察下面三行数： ，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第个数是_____； (2)第②行的第个数是_____； (3)取每行数的第个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察第①行数字的变化规律，找到第项的表达式，把代入算出结果； （2）对比①②两行相同位置的数，找到数量关系，写出第项的表达式； （3）对比①③两行相同位置的数，找到倍数关系，分别求出三行的第个数，再相加． 【详解】（1）解：， ， ， 可知第①行的第个数为， 故第个数为． （2）解：观察可知，第②行的数比第①行对应位置的数大， 第①行的第个数是， 故第②行的第个数是． （3）解：观察可知，第③行的数为第①行对应位置的数的， 第①行的第个数是， 则第③行的第个数是， 第①行的第个数是， 第②行的第个数是， 第③行的第个数是， ， 故这三个数的和为． 题型6.已知字母的值，求代数式的值 1．若为最小的正整数，为最大的负整数，为绝对值最小的有理数，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据最小正整数、最大负整数、绝对值最小的有理数的定义确定,,的取值，再代入代数式计算．　 【详解】解：为最小的正整数， ． 为最大的负整数， ． 为绝对值最小的有理数， ． ． 2．若，则__________． 【答案】0 【分析】根据非负数的性质求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴ ． 3．如图，一个长方形花坛的长为米、宽为米，在花坛的正中央修建一个半径为米的圆形喷水池，其余部分种花． (1)用含 、 的式子表示种花部分的面积． (2)当，时，求种花部分的面积（ 取）． (3)若沿长方形花坛的四边安装护栏，当时，需要护栏多少米？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 (3)米 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）代入求值即可； （3）根据题意，列出代数式，然后代入求值． 【详解】（1）解：长方形面积为平方米，喷水池面积为平方米，种花部分的面积为平方米； （2）解：当 ， 时，（平方米）； （3）解：护栏长为长方形的周长米； 当时，需要护栏米． 题型7.已知整体式子的值，求代数式的值 1．若，则代数式的值为（     ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】由已知条件得出，将所求三次代数式降次后整体代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ． 2．已知，且的倒数为，则的值为________． 【答案】3 【分析】根据得出，再根据的倒数为，可得，最后整体代入所求的代数式即可得出答案． 【详解】解：因为，的倒数为， 所以，， 所以． 3．已知a，b互为倒数，x，y互为相反数，． (1)求的值； (2)求式子的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用倒数、相反数、绝对值的定义，得到，，，代入式子直接计算； （2）由得，分两种情况代入化简后的式子计算． 【详解】（1）解：∵，互为倒数， ∴． ∵，互为相反数， ∴． ∵， ∴． 将，，代入，得． （2）解：将，代入，得． 当时，， 当时，， 综上所述，式子的值为或． 题型8.程序流程图与代数式求值 1．按下图所示的运算程序运行，能使运算输出的结果为1的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】判断的大小，确定输出的具体代数式，将的值代入即可求出． 【详解】解：A．输入，．，，不符合题意； B．输入，． ，，不符合题意； C．输入，．，，不符合题意； D．输入，．，，符合题意． 2．在如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12．…则第2027次输出的结果为_________． 【答案】6 【分析】求出5次的输出结果，可得从第3次输出开始，每两次输出为一个循环，输出的结果依次为6，3，据此求出2027减去2后除以2的商和余数即可得到答案． 【详解】解：第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12， 第3次输出的结果为6， 第4次输出的结果为3， 第5次输出的结果为6， ， 发现：从第3次输出开始，每两次输出为一个循环，输出的结果依次为6，3， ， 输出的结果为6． 3．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 【答案】(1) 输入x 5 4 … 输出答案 0 0 0 0 … (2)输入的x为任何数结果都为0． 证明：∵， ∴无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关． 【分析】（1）把各数值代入程序中计算出结果即可，特别要注意运算顺序； （2）由前几项都为0可得出规律：输入任何数结果都为0．然后根据程序写出关于x的方程式，求得此方程式的值为0，所以无论x取任何值，结果都为0． 【详解】（1）略 （3） 略 题型9.数字类规律探索 1．如图中四个三角形内的数有共同的规律，请找出这个规律，确定A为（     ） A．49 B．53 C．55 D．60 【答案】C 【详解】解：观察前三个三角形可知，里面的数的规律是：；；； 则有， ∴． 2．有一组数据，，，…，满足以下规律：，，，…，（且为正整数），则的值为__________（结果用数字回答）． 【答案】 【分析】计算前几项数据找出周期为，再用除以求余数，根据余数求解． 【详解】解：， 则，，， 可知每次为一个循环， ， 故． 3．阅读材料： ，，，…… (1)________，________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由阅读材料所给式子的形式即可得到答案； （2）由阅读材料中的方法先裂项，再重新组合消去中间项，最后由有理数减法运算计算即可； （3）先对每项提公因数，再类比（2）中的裂项相消的方法计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解： ． 题型10.图形类规律探索 1．按如图所示的规律拼图案，拼第个图案需要根小木条，拼第个图案需要根小木条，拼第个图案需要根小木条，拼第个图案需要根小木条…按照这一规律，则拼第个图案需要（     ）根小木条． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形及数据，发现第个图案的小木条数为从加到的和，归纳出通项公式代入计算即可． 【详解】解：第个图案需要根，即， 第个图案需要根，即， 第个图案需要根，即， ， 第个图案需要根， 当时，， ∴第个图案需要根小木条． 2．如图，搭1个小五边形图案需要5根火柴棒，搭2个小五边形图案需要9根火柴棒，搭3个小五边形图案需要13根火柴棒…那么搭100个小五边形需要________根． 【答案】 【分析】如图可知搭一个小五边形需根火柴，搭2个小五边形，需要根火柴棒，搭3个小五边形，需要根火柴棒，根据规律求得搭100个小五边形，需要根火柴棒． 【详解】解：如图搭1个小五边形需根火柴， 搭2个小五边形，需要根火柴棒， 搭3个小五边形，需要根火柴棒， 搭100个小五边形需要根火柴棒． 3．用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)，n (3)不存在，理由如下： 当一个图案中有30个六边形时， 该图案中三角形的个数为：， 所以不存在这样的图案． 【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中三角形及六边形的个数，发现规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据上面发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为1， 第2个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为2， 第3个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为3， …， 所以第n个图案中三角形的个数为，六边形的个数为n， 当时， 第4个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为4； （2）解：由（1）知， 第n个图案中三角形的个数为，六边形的个数为n； （3）解：略 ✵分层专项训练 一、单选题 1．代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．下列赋予实际意义的例子中不正确的是（    ） A．用元购买件单价为元的商品，剩余元 B．周长是的长方形，一边长为，另一边长为 C．数学项目式学习活动中，某班有人参加，老师把女生分为组，每组人，则表示男生人数 D．一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，那么它行驶的总距离为公里，如果总路程为公里，那么剩余路程为公里 【答案】B 【分析】本题考查代数式，利用总价与单价数量关系、长方形周长公式、路程与速度时间关系等分别列出代数式即可．根据题意写出代数式是解题的关键． 【详解】解：A．∵件单价为元的商品总价为元，总钱数为元， ∴剩余钱数为元， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意； B．∵长方形周长公式为， ∴当周长时，长+宽， ∵一边长为， ∴另一边长应为， 故该选项中赋予实际意义的例子不正确，符合题意； C．∵总人数为人，老师把女生分为组，每组人，则女生人数为人， ∴男生人数为人， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意； D．∵总路程为50公里，一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，则已行驶路程为公里， ∴剩余路程为公里， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意． 故选：B． 2．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵m个3相加为，n个4相乘为， ∴原式． 3．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析第n个代数式的系数，a的次数，b的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。 【详解】解：按顺序拆分观察规律： ∵第1个代数式： 第2个代数式： 第3个代数式： 第4个代数式： …… ∴归纳可得，第个代数式中，系数为，的次数为，的系数为，整理得第个代数式是． 4．如图所示的程序框图，在此运算程序中，若开始输入的x值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第2026次输出的结果是（     ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】求出前面若干次输出的结果，找出规律即可求解． 【详解】解：第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，第3次输出的结果为，第4次输出的结果为8，第5次输出的结果为4，第6次输出的结果为2，第7次输出的结果为1，第8次输出的结果为8，第9次输出的结果为4，第10次输出的结果为2，第11次输出的结果为1，…， 从第4次开始，每4次循环一次，而，则第2026次输出的结果与第6次输出的结果相同，且为2． 二、填空题 5．下列书写∶①；②；③；④；⑤；⑥ 千克中，正确的有__________．（填写序号即可） 【答案】③ 【分析】本题考查代数式书写规范，根据数字与字母之间乘号省略不写，数字在前字母在后，分数写成假分数，多项式与单位之间要加括号逐个判断即可得到答案； 【详解】解：应写成，不符合题意， 应写成，不符合题意， 书写规范符合题意， 应写成，不符合题意， 应写成，不符合题意， 千克应写成千克，不符合题意， 故答案为：③． 6．下表中，当和成正比例关系时，▲是__________；当和成反比例关系时，▲是__________． ▲ 【答案】 【分析】本题考查了正比例关系、反比例关系的定义，关键是根据定义进行判断；当和成正比例关系时，比值一定；当和成反比例关系时，乘积一定． 【详解】解：当和成正比例关系时， 设比例常数为，则， ∵， ∴， 当时，， 解得； 当和成反比例关系时， 设比例常数为，则， 由， 得， 当时，，解得． 故答案为：；． 7．按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是________． 【答案】 【分析】计算出前几次的输出结果，可得规律：从第3次输出开始，每3次输出为一个循环，输出结果依次为6，4，3，据此求出除以3的余数即可得到答案． 【详解】解：第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， ……， ∴从第3次输出开始，每3次输出为一个循环，输出结果依次为6，4，3， ∵ ∴第次输出的结果是6． 三、解答题 8．解答下列各题 (1)若，，，求的值． (2)若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于2，求的值． 【答案】(1)的值为或 (2)原式的值为或 【分析】（1）先根据绝对值意义得出，，再根据，得出，分两种情况代入求值即可； （2）根据题意可知，，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． ∴且或且， 当，时，． 当，时，． （2）解：∵、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于2， ∴，，， 当时， ； 当时， ． 9．【观察】 ， ， ， ． 【体验】 (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用算出结果）： ①________； ②_________； ③___________． 【应用】 (2)应用以上规律计算： 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】根据绝对值的定义探索规律并解决问题即可． 【详解】（1）解：略； （2）解： ． 10．将字母C，H按照如图所示的规律摆放，其中第1个图形中有1个字母C，有4个字母H；第2个图形中有2个字母C，有6个字母H；第3个图形中有3个字母C，有8个字母H根据此规律解答下面的问题． (1)第4个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？ (2)第个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？（用含的式子表示） (3)第2026个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？ 【答案】(1)第个图形中有个字母，有个字母 (2)第个图形中有个字母，有个字母 (3)第个图形中有个字母，有个字母 【分析】（1）根据规律作答即可； （2）根据规律找到个数与的关系即可； （3）代入（2）中的关系式计算即可． 【详解】（1）解：第个图形中有个字母，有个字母； 第个图形中有个字母，有个字母； 第个图形中有个字母，有个字母， 依此类推，第个图形中有个字母，有个字母； （2）解：观察规律：第个图形中有个字母；第个图形中有个字母；第个图形中有个字母； 总结规律得：第个图形中有个字母， 同理观察规律：第个图形中有个字母；第个图形中有个字母；第个图形中有个字母； ∵字母的个数是字母的个数的倍多，字母C的数量等于， ∴第个图形中有个字母； （3）解：由规律可知，第个图形中有个字母，有个字母． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05代数式期中复习讲义 ✵复习目标 · 理解用字母表示数的意义，掌握代数式的概念，严格遵循代数式书写规范。 · 能够根据文字描述、实际情境、正（反）比例关系列出代数式，并能解释代数式的实际意义。 · 掌握直接代入求值、整体代入求值的方法，能读懂程序流程图并列式求值。 · 学会观察数字、图形的变化规律，归纳并用代数式表示一般规律。 ✵高频题型梳理 题型1.用字母表示数 题型2.代数式的概念辨析与书写规范 题型3.列代数式、代数式的实际意义 题型4.正（反）比例关系列式 题型5.用代数式表示数、图形的规律 题型6.已知字母的值，求代数式的值 题型7.已知整体式子的值，求代数式的值 题型8.程序流程图与代数式求值 题型9.数字类规律探索 题型10.图形类规律探索 题型11.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、用字母表示数 字母可以表示任意有理数，也可以用来表示数量、数量关系以及变化规律； 字母和数具有同等地位，可以参与各类运算。 知识点二、代数式 1.用加、减、乘、除、乘方等运算符号，把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。单独一个数或一个字母，也是代数式。 辨析：等式、不等式含有等号或不等号，不属于代数式。 2.代数式书写规范： 数与字母、字母与字母相乘时，省略乘号，数字写在字母之前； 带分数与字母相乘，应当先转化为假分数； 除法运算一般采用分数形式表示； 若代数式含有加减运算，且后面标注单位，则整个代数式需要添加括号。 知识点三、列代数式与代数式的意义 梳理题干中的数量关系与运算顺序，将文字语言转化为数学代数式；结合现实情境，对代数式的含义作出合理解释。 知识点四、正（反）比例关系列式 若两个量的比值为定值，则两个量成正比例关系，可表示为y=kx（k为常数，k≠0）； 若两个量的乘积为定值，则两个量成反比例关系，可表示为xy=k（k为常数，k≠0）。 提示：本学段仅要求依据定值关系列写代数式，不涉及函数相关知识。 知识点五、代数式求值 直接代入：将字母对应的取值代入代数式进行计算；代入负数、分数时，应添加括号，明确运算顺序； 整体代入：将某一个代数式看作一个整体进行代换，简化运算步骤。 知识点六、程序流程图与代数式求值 读懂流程图规定的运算流程，先根据流程写出对应的代数式，再代入数值完成计算。 知识点七、规律探究 数字规律：观察数列中相邻项的差、倍数、乘方等变化特征，归纳得到通项代数式； 图形规律：区分图形中的不变量与变化量，结合序号 n（n 为正整数）构造代数式，并代入前几组数据检验。 ✵易错提醒 1. 代数式书写：数字置于字母前方；带分数应化为假分数；除法改写为分数形式；含加减运算的代数式附带单位时，整体添加括号。 2. 代数式不含等号、不等号，注意区分代数式、等式与不等式。 3. 代入负数、分数求值时，必须添加括号，避免符号运算失误。 4. 正比例为比值恒定，反比例为乘积恒定，二者不可混淆。 5.归纳得到规律代数式后，可取前两组序号代入检验；n 代表正整数。 ✵典例精讲 题型1.用字母表示数 1．如果甲扇形的圆心角是，乙扇形的圆心角是，那么下列说法正确的是（   ） A．甲扇形的弧长是乙扇形弧长的二分之一 B．甲、乙扇形的弧长可以相等 C．甲、乙扇形的弧长一定不相等 D．甲、乙扇形的面积一定不相等 2．一桶水连桶重20千克，倒掉一半水后连桶重a千克，那么水重_______千克，桶重_______千克． 3．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位：)依先后次序记录如下：，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)如果汽车行驶平均耗油升，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 题型2.代数式的概念辨析与书写规范 1．下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 2．下列各式： ，，，，其中符合代数式书写规范的有 _____个． 3．甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为． (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 题型3.列代数式及代数式的实际意义 1．下列两个量的关系一定不是反比例关系的是（     ） A．若为圆柱底面的半径，为圆柱的高，当圆柱的侧面积一定时，与之间的关系 B．汽车在一定路程上的行驶速度与行驶时间之间的关系 C．三角形的面积一定，则三角形的高与对应的底边长之间的关系 D．长方形的周长一定，其面积与长方形的一边长之间的关系 2．一棵树高h（m）与生长时间n（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出h（m）与n（年）之间的关系式，______． n（年） 2 4 6 8 10 h（m） 2.6 3.2 3.8 4.4 5.0 3．，两地相距km，甲、乙两人驾车分别以km/h，km/h的速度从地到地，且乙用的时间较少． (1)用代数式表示乙比甲少用的时间； (2)当，，时，求（1）中代数式的值，并说明这个值表示的实际意义． 题型4.正（反）比例关系列式 1．下列选项中的两个量成反比例关系的是（     ） A．书的总页数为页，未读的页数与已读的页数 B．三角形的面积为，它的一边的长与这条边上的高 C．长方体的底面积为，它的体积与高 D．签字笔每支元，购买签字笔的总费用与购买的数量 2．在数学活动课上，王老师与同学们做了这样一个实验，如图，在左侧托盘（固定）中放置一个重物，在右侧托盘（可左右移动）．中放置一个质量为的空容器，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与支点C的距离（）， 记录容器与水的总质量的数据如下： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 当托盘与支点的距离时，容器与水的总质量的值为_______ 3．七年级选取了部分同学参加广播体操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与站的排数如下表所示． 每排的人数/人 5 10 20 25 … 排数/排 20 10 5 4 … (1)参加广播体操表演的同学共有______人． (2)若每排的人数记为，排数记为，请你写出，之间的数量关系，请问，成反比例关系吗？为什么？ 题型5.用代数式表示数、图形的规律 1．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 2．一列数：，，，，，，根据这个规律，第99个数是___________． 3．观察下面三行数： ，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第个数是_____； (2)第②行的第个数是_____； (3)取每行数的第个数，计算这三个数的和． 题型6.已知字母的值，求代数式的值 1．若为最小的正整数，为最大的负整数，为绝对值最小的有理数，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若，则__________． 3．如图，一个长方形花坛的长为米、宽为米，在花坛的正中央修建一个半径为米的圆形喷水池，其余部分种花． (1)用含 、 的式子表示种花部分的面积． (2)当，时，求种花部分的面积（ 取）． (3)若沿长方形花坛的四边安装护栏，当时，需要护栏多少米？ 题型7.已知整体式子的值，求代数式的值 1．若，则代数式的值为（     ） A．2 B．8 C．10 D．12 2．已知，且的倒数为，则的值为________． 3．已知a，b互为倒数，x，y互为相反数，． (1)求的值； (2)求式子的值． 题型8.程序流程图与代数式求值 1．按下图所示的运算程序运行，能使运算输出的结果为1的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．在如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12．…则第2027次输出的结果为_________． 3．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 题型9.数字类规律探索 1．如图中四个三角形内的数有共同的规律，请找出这个规律，确定A为（     ） A．49 B．53 C．55 D．60 2．有一组数据，，，…，满足以下规律：，，，…，（且为正整数），则的值为__________（结果用数字回答）． 3．阅读材料： ，，，…… (1)________，________； (2)计算：； (3)计算：． 题型10.图形类规律探索 1．按如图所示的规律拼图案，拼第个图案需要根小木条，拼第个图案需要根小木条，拼第个图案需要根小木条，拼第个图案需要根小木条…按照这一规律，则拼第个图案需要（     ）根小木条． A． B． C． D． 2．如图，搭1个小五边形图案需要5根火柴棒，搭2个小五边形图案需要9根火柴棒，搭3个小五边形图案需要13根火柴棒…那么搭100个小五边形需要________根． 3．用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． ✵分层专项训练 一、单选题 1．代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．下列赋予实际意义的例子中不正确的是（    ） A．用元购买件单价为元的商品，剩余元 B．周长是的长方形，一边长为，另一边长为 C．数学项目式学习活动中，某班有人参加，老师把女生分为组，每组人，则表示男生人数 D．一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，那么它行驶的总距离为公里，如果总路程为公里，那么剩余路程为公里 2．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 4．如图所示的程序框图，在此运算程序中，若开始输入的x值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第2026次输出的结果是（     ） A．8 B．4 C．2 D．1 二、填空题 5．下列书写∶①；②；③；④；⑤；⑥ 千克中，正确的有__________．（填写序号即可） 6．下表中，当和成正比例关系时，▲是__________；当和成反比例关系时，▲是__________． ▲ 7．按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是________． 三、解答题 8．解答下列各题 (1)若，，，求的值． (2)若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于2，求的值． 9．【观察】 ， ， ， ． 【体验】 (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用算出结果）： ①________； ②_________； ③___________． 【应用】 (2)应用以上规律计算： 10．将字母C，H按照如图所示的规律摆放，其中第1个图形中有1个字母C，有4个字母H；第2个图形中有2个字母C，有6个字母H；第3个图形中有3个字母C，有8个字母H根据此规律解答下面的问题． (1)第4个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？ (2)第个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？（用含的式子表示） (3)第2026个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $