江苏南京联合体2026～2027学年九年级数学上册期中模拟卷

2026～2027学年第一学期南京联合体九年级期中分析样卷练习卷 参考答案与解析 （满分120分，考试时间120分钟） 答案速查　1．A　2．B　3．C　4．D　5．D　6．B 7．　8．　9．　10．　11．　12．　13．　14．　15．　16． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　　） A． B．（，，为常数，） C． D． 【答案】A 【解析】项化简得，符合一元二次方程的定义；项含有两个未知数，不是一元二次方程；项未知数的最高次数是，不是一元二次方程；项的分母中含有未知数，不是整式方程．故选A． 2．用配方法解一元二次方程，方程可变形为（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】移项得，两边同时加上，得，即．故选B． 3．下列说法中，错误的是（　　　） A．半圆是弧 B．半径相等的圆是等圆 C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦 【答案】C 【解析】过圆心的弦叫做直径，而过圆心的线段的两端不一定都在圆上，故C的说法错误；A、B、D的说法均正确．故选C． 4．反比例函数的图象一定经过的点是（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】因为，只需判断点的横、纵坐标之积是否为．，，，均不等于；而，所以点在图象上．故选D． 5．点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】因为，图象位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大．，所以点在第二象限，；点，都在第四象限，且，所以．因此．故选D． 6．已知，是反比例函数图象上不同的两点，且，则的值（　　　） A．等于　　B．是正数　　C．是负数　　D．正数或负数 【答案】B 【解析】因为，所以，该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大． 　　　　由知，同号，即两点在同一个分支上，不妨设，则，所以，，从而；若，则分子、分母同时变号，比值不变．所以该式子的值恒为正数．故选B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．反比例函数中，比例系数的值为                      ． 【答案】 【解析】由得，所以． 8．已知是完全平方式，则常数的值是                      ． 【答案】 【解析】因为是完全平方式，所以，即，整理得，解得． 9．方程与方程的所有实数根的和等于                      ． 【答案】 【解析】方程中，，没有实数根；方程中，，设两根为，，则．所以所有实数根的和为． 10．某产品原来的成本是25元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后所剩的成本比一次降低后所剩的成本少4元．设这个百分率为，则可列方程为                      ． 【答案】 【解析】一次降低后所剩成本为元，两次降低后所剩成本为元，由“连续两次降低后所剩的成本比一次降低后所剩的成本少4元”得． 11．如图，，，三点在上，若，，则的度数是                      ． 【答案】 【解析】连接．因为，所以．因为，所以． 　　　　因为，所以．又，所以，解得． 12．如图，是的直径，点，是的三等分点，，则的度数是                      ． 【答案】 【解析】因为点，是的三等分点，所以，所以，所以． 　　　　因为是直径，所以，所以． 13．如图，是的弦，半径，垂足为点．若，，则的长是                      ． 【答案】 【解析】因为，由垂径定理得．连接，则，在Rt中，． 14．如图，是的直径，弦交于，连接，，若，则的度数是                      ． 【答案】 【解析】连接．因为是直径，所以，所以． 　　　　因为与都是所对的圆周角，所以． 15．如图，，，均是的切线，切点为，，．若，，则长是                      ． 【答案】 【解析】由切线长定理得，，所以． 16．若关于的方程有个不相等的实数根，则的值为                      ． 【答案】 【解析】原方程可化为①或②． 　　　　方程①的判别式，恒有两个不相等的实数根；要使原方程恰有个不相等的实数根，方程②必须有两个相等的实数根，即，解得． 　　　　检验：当时，方程②的根为，代入①得，说明这个根互不相同，符合题意． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； 　　　　（2），； 　　　　（3），． 【解析】（1），，，，所以，即，． 　　　　（2），，，，所以，即，． 　　　　（3）原方程整理为，即，，，，，所以，即，． 18．（6分）如图，的顶点，在上，，分别交于点，． 连接，，，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析； 　　　　（2）． 【解析】（1）在和中，，，，所以（SSS），所以． 　　　　因为点在上，点在上，所以，，所以，所以，即是等腰三角形． 　　　　（2）由（1）知，所以，所以． 　　　　因为，，所以是的垂直平分线，所以平分，，所以，同理，所以，即是的直径． 　　　　在中，，，所以，同理，所以． 19．（7分）如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分铺上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 【答案】道路的宽为． 【解析】设道路的宽为．利用平移，把阴影部分平移到矩形的边上，则草坪可拼成一个长为、宽为的矩形． 　　　　根据题意得，整理得，解得，．因为道路的宽必须小于，所以不合题意，舍去．所以道路的宽为． 20．（7分）已知关于的一元二次方程（，为常数）有两个相等的实数根，求证：． 【答案】见解析． 【解析】因为方程有两个相等的实数根，所以，即，整理得，所以． 　　　　配方得．因为，所以． 21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； 　　　　（2）． 【解析】（1）把代入，得，所以，反比例函数的表达式为． 　　　　把代入，得，所以，即．把，代入，得，解得，，所以一次函数的表达式为． 　　　　（2）设直线与轴交于点，则，所以．所以． 22．（7分）某商家购进一批沙棘汁，平均每天可售出160盒，每盒盈利70元．市场调查发现：在每盒盈利不少于25元的前提下，每盒盈利降低1元，每天可多售出8盒． （1）若每盒盈利减少5元，则每天可售出                      盒； （2）当每盒盈利减少多少元时，该商家每天销售沙棘汁的利润为元？ 【答案】（1）； 　　　　（2）每盒盈利应减少20元或30元． 【解析】（1）（盒）． 　　　　（2）设每盒盈利减少元，则每盒盈利元，每天可售出盒． 　　　　根据题意得，整理得，解得，． 　　　　当时，；当时，，都符合题意．所以每盒盈利应减少20元或30元． 23．（8分）如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分． （1）求证：； （2）若点在上，且，求的度数． 【答案】（1）见解析； 　　　　（2）． 【解析】（1）因为平分，所以． 　　　　因为与都是所对的圆周角，所以，所以． 　　　　因为四边形内接于，所以；又，所以，所以，所以． 　　　　（2）因为四边形内接于，所以，所以，所以． 　　　　因为平分，所以． 24．（7分）如图，，，分别与相切于，，，，，．求： （1）的度数； （2）的长； （3）的半径． 【答案】（1）； 　　　　（2）； 　　　　（3）． 【解析】（1）由切线长定理得，，所以，． 　　　　因为，所以，即，所以，所以． 　　　　（2）在Rt中，．由切线长定理得． 　　　　（3）连接，则．由，得，即的半径为． 25．（7分）如图，是的直径，是上一点． （1）实践与操作：用两种不同的方法在上求作点，使为的中点（保留作图痕迹）； （2）推理与计算：在（1）的条件下，连接，，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析； 　　　　（2）的半径为． 【解析】（1）方法一：如图①，作的平分线，它与的交点即为点； 　　　　方法二：如图②，连接，作弦的垂直平分线，它与的交点即为点．（两种方法作图正确、痕迹保留即可） 　　　　（2）连接交于点（如图）．因为为的中点，所以；又，所以，且． 　　　　在Rt中，．设的半径为，则，在Rt中，，即，解得，即的半径为． 26．（10分）若关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； （2）若关于的一元二次方程（）是“倍根方程”，求该方程的根． 【答案】（1）； 　　　　（2），． 【解析】（1）设方程的两个根为，，由根与系数的关系得，解得，即方程有一个根为．把代入，得，解得． 　　　　（另解：，，所以，．） 　　　　（2）设方程的两个根为，．由根与系数的关系得①，②． 　　　　由①得，代入②得，整理得，即，所以． 　　　　把代入①得，解得，所以．所以该方程的两根为，． 27．（10分）【问题提出】（1）如图①，已知线段，请以为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，已知点是直线外一点，点，均在直线上，，垂足为，且，，则面积的最小值为                      ； 【问题解决】（3）如图③，某园林单位要把四边形花园划分成几个区域种植不同花草．在四边形中，，，，点，分别在，上，且．四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析； 　　　　（2）； 　　　　（3）存在，四边形面积的最大值为． 【解析】（1）以为直径作，在上任取一点（不与，重合），连接，，则，Rt即为所求（画法合理即可）． 　　　　（2）作的外接圆，连接，，，过点作于点，则，． 　　　　设的半径为，则，．因为点到直线的距离为，所以，即，解得，所以． 　　　　所以，即面积的最小值为． 　　　　（3）存在最大值．分别延长，，它们相交于点． 　　　　因为，，所以，是等腰直角三角形，所以．同理是等腰直角三角形，所以，． 　　　　所以米，所以． 　　　　因为，把绕点顺时针旋转，得，则与重合，，，三点共线，且． 　　　　所以．因为为定值，所以当取得最小值时，取得最大值． 　　　　因为旋转角为，所以，又，所以．以为斜边作等腰直角三角形，则，所以的外接圆是以为圆心、为半径的圆． 　　　　设的半径为，则，点到（即直线）的距离为．因为，所以点到直线的距离为，而，所以，解得． 　　　　当点在线段上时取等号，此时，的最小值为． 　　　　所以四边形的面积最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期南京联合体期中分析样卷练习卷 九年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　　） A． B．（，，为常数，） C． D． 2．用配方法解一元二次方程，方程可变形为（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．下列说法中，错误的是（　　　） A．半圆是弧 B．半径相等的圆是等圆 C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦 4．反比例函数的图象一定经过的点是（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．已知，是反比例函数图象上不同的两点，且，则的值（　　　） A．等于　　B．是正数　　C．是负数　　D．正数或负数 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．反比例函数中，比例系数的值为                      ． 8．已知是完全平方式，则常数的值是                      ． 9．方程与方程的所有实数根的和等于                      ． 10．某产品原来的成本是25元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后所剩的成本比一次降低后所剩的成本少4元．设这个百分率为，则可列方程为                      ． 11．如图，，，三点在上，若，，则的度数是                      ． 12．如图，是的直径，点，是的三等分点，，则的度数是                      ． 13．如图，是的弦，半径，垂足为点．若，，则的长是                      ． 14．如图，是的直径，弦交于，连接，，若，则的度数是                      ． 15．如图，，，均是的切线，切点为，，．若，，则长是                      ． 16．若关于的方程有个不相等的实数根，则的值为                      ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 18．（6分）如图，的顶点，在上，，分别交于点，． 连接，，，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 19．（7分）如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分铺上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 20．（7分）已知关于的一元二次方程（，为常数）有两个相等的实数根，求证：． 21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，，求的面积． 22．（7分）某商家购进一批沙棘汁，平均每天可售出160盒，每盒盈利70元．市场调查发现：在每盒盈利不少于25元的前提下，每盒盈利降低1元，每天可多售出8盒． （1）若每盒盈利减少5元，则每天可售出                      盒； （2）当每盒盈利减少多少元时，该商家每天销售沙棘汁的利润为元？ 23．（8分）如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分． （1）求证：； （2）若点在上，且，求的度数． 24．（7分）如图，，，分别与相切于，，，，，．求： （1）的度数； （2）的长； （3）的半径． 25．（7分）如图，是的直径，是上一点． （1）实践与操作：用两种不同的方法在上求作点，使为的中点（保留作图痕迹）； （2）推理与计算：在（1）的条件下，连接，，若，，求的半径． 26．（10分）若关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； （2）若关于的一元二次方程（）是“倍根方程”，求该方程的根． 27．（10分）【问题提出】（1）如图①，已知线段，请以为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，已知点是直线外一点，点，均在直线上，，垂足为，且，，则面积的最小值为                      ； 【问题解决】（3）如图③，某园林单位要把四边形花园划分成几个区域种植不同花草．在四边形中，，，，点，分别在，上，且．四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $