15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时 线段的垂直平分线的有关作图）课件-2026-2027学年八年级数学人教版上册

15.1.2 线段的垂直平分线 第2课时　线段的垂直平分线的有关作图 人教版 八年级数学上册 A B C D 本课时为第2课时，内容为教材 P67 下半页至 P69 练习：尺规作线段的垂直平分线、作对称轴、经过一点作已知直线的垂线。第2–24页合计 42 分钟，余 3 分钟机动。 1 学习目标 重点　难点 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 1．会用尺规作线段的垂直平分线，能说出作法的依据． 2．会利用线段的垂直平分线作图形的对称轴． 3．会用尺规经过一点作已知直线的垂线． 重点：尺规作线段的垂直平分线． 难点：理解作法的依据，并用它解决其他作图问题． 明确本课三项作图，它们都归结为作线段的垂直平分线。建议用时 1 分钟。 2 情境导入 只用直尺和圆规 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 用刻度尺量出线段 AB 的中点，再用三角尺画垂线，可以画出 AB 的垂直平分线． 问：如果只用没有刻度的直尺和圆规，能作出线段 AB 的垂直平分线吗？ 能．关键是找到垂直平分线上的两个点． 尺规作图中的直尺没有刻度，只能用来画直线、射线、线段；圆规用来作圆或弧。答：能，关键是找到垂直平分线上的两个点。建议用时 2 分钟。 3 复习回顾 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 1．性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 2．判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 3．两点确定一条直线． 想一想：要确定线段 AB 的垂直平分线，需要找到几个点？这些点满足什么条件？ 两个点；它们与点 A，B 的距离都相等． 由判定可知，只要找到两个与 A，B 距离相等的点，就能确定 AB 的垂直平分线。答：两个点；它们与点 A，B 的距离都相等。建议用时 1 分钟。 4 探究新知 思考 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 思考：怎样用圆规找到与点 A，B 距离相等的点？ 以点 A，B 为圆心，用同样长的半径作弧，两弧的交点到 A，B 的距离相等． A B C 由同一半径作弧，交点 C 满足 CA＝CB，所以 C 在 AB 的垂直平分线上。再找一个这样的点，就能确定垂直平分线。答：以点 A，B 为圆心，用同样长的半径作弧，两弧的交点到 A，B 的距离相等。建议用时 2 分钟。 5 知识点1 作线段的垂直平分线　图15.1-8 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 已知：线段 AB．求作：线段 AB 的垂直平分线． 1 分别以点 A 和点 B 为圆心， 两弧相交于 C，D 两点； 2 作直线 CD．CD 就是线段 AB 的 垂直平分线． A B C D 第①步两弧要分别在 AB 的两侧各交一次，得到两个交点。教材旁注：也可以用这种方法确定线段的中点。建议用时 3 分钟。 6 想一想 作法的依据 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 问：为什么直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线？ 连接 AC，BC，AD，BD．由作法知，AC＝BC，AD＝BD． ∴ 点 C，D 都在线段 AB 的垂直平分线上． ∵ 两点确定一条直线，∴ 直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线． A B C D 依据：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线。答：由作法 AC＝BC，AD＝BD，点 C，D 都在 AB 的垂直平分线上；两点确定一条直线，所以 CD 是 AB 的垂直平分线。建议用时 2 分钟。 7 想一想 半径为什么要大于一半 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 不能确定一条直线． 【拓展】　直线 CD 与 AB 的交点就是线段 AB 的中点，用这种方法可以确定线段的中点． 可让学生用圆规试一试三种半径的情况。答：半径小于 AB 的一半时两弧没有交点；等于一半时两弧只交于中点，只有一个交点，不能确定直线。建议用时 1 分钟。 8 跟踪训练 作线段的中点 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 如图，已知线段 MN，用尺规作出线段 MN 的中点 O． 1 分别以点 M，N 为圆心，大于 相交于 P，Q 两点； 2 作直线 PQ，交 MN 于点 O， 点 O 就是线段 MN 的中点． M N P Q O 依据教材旁注：作垂直平分线的方法也可以确定线段的中点。答：作 MN 的垂直平分线 PQ，交 MN 于点 O，O 就是 MN 的中点。建议用时 2 分钟。 9 知识点2 作对称轴 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 成轴对称的两个图形，对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线． 问：怎样作出两个成轴对称的图形的对称轴？ 找出任意一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线． 轴对称图形的对称轴也可以这样作出． A B C A′ B′ C′ l 依据是上一课时学过的结论：对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线。答：找出任意一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线。建议用时 2 分钟。 10 例1 图15.1-9 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 如图，作出五角星的一条对称轴． 1 找出一对对称点 A 和 A′，连接 AA′； 2 作线段 AA′ 的垂直平分线 l，l 就是 这个五角星的一条对称轴． 问：你能作出这个五角星的其他对称轴吗？ 能．换一对对称点，用同样的方法作出． A A′ l 五角星共有 5 条对称轴，每条都经过一个角的顶点。答：能，换一对对称点，用同样的方法作出。建议用时 3 分钟。 11 跟踪训练 教材 P69 练习第1题 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ 不一定一样．正方形有 4 条对称轴，圆有无数条，第3个图形有 2 条，第4、5个图形各有 1 条． 作法：找一对对称点，作连线的垂直平分线。圆的对称轴是任意一条直径所在的直线。答：不一定一样。正方形有 4 条对称轴，圆有无数条，第3个图形有 2 条，第4、5个图形各有 1 条。建议用时 2 分钟。 12 跟踪训练 教材 P69 练习第2题 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 如图，与图形（1）成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴． 图形（2）． 连接一对对称点，作这条线段的垂直平分线，就是它们的对称轴． （1） （2） （3） （4） （3）由（1）平移得到，（4）由（1）旋转得到，都不与（1）成轴对称。答：图形（2）；连接一对对称点，作这条线段的垂直平分线就是对称轴。建议用时 1 分钟。 13 知识点3 过直线外一点作垂线　图15.1-10 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 例2　尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C． 求作：AB 的垂线，使它经过点 C． 问：所求作的垂线与直线 AB 上的哪两个点有关？ 它是连接 AB 上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线．所以先在 AB 上找两点，使它们与点 C 的距离相等． A B C 教材分析：假设所求作直线已经作出，它不仅过点 C 与 AB 垂直，而且是 AB 上与垂足距离相等的两点所连线段的垂直平分线。答：所求垂线是 AB 上与垂足距离相等的两点所连线段的垂直平分线，所以先在 AB 上找两点，使它们与点 C 的距离相等。建议用时 2 分钟。 14 知识点3 作法　图15.1-10 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 1 以点 C 为圆心，适当长为半径作弧， 交直线 AB 于点 D 和点 E； 2 分别以点 D 和点 E 为圆心， 两弧相交于点 F； 3 作直线 CF．直线 CF 就是所求作的 垂线． A B C D E F 教材旁注：由（1）可知，点 C 在线段 DE 的垂直平分线上，因而再作出与 D，E 距离相等的另一点 F，就能得到线段 DE 的垂直平分线。建议用时 3 分钟。 15 想一想 为什么 CF⊥AB 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 问：为什么直线 CF 垂直于 AB？ 由作法知 CD＝CE，∴ 点 C 在线段 DE 的垂直平分线上； FD＝FE，∴ 点 F 也在线段 DE 的垂直平分线上． ∵ 两点确定一条直线，∴ 直线 CF 是线段 DE 的垂直平分线，即 CF⊥AB． A B C D E F 作过一点的垂线，就是先截出到这一点距离相等的两点，再作这两点所连线段的垂直平分线。答：CD＝CE，FD＝FE，点 C，F 都在 DE 的垂直平分线上，所以直线 CF 是 DE 的垂直平分线，CF⊥AB。建议用时 1 分钟。 16 跟踪训练 教材 P69 练习第3题 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线． 已知：直线 l 和 l 上一点 P． 1 以点 P 为圆心，适当长为半径作弧， 交直线 l 于点 D，E； 2 的长为半径作弧，两弧相交于点 F； 3 作直线 PF．直线 PF 就是所求作的 垂线． D E F P l 与例2的区别：点 P 在直线上，第①步的弧交直线于 P 两侧的点 D，E，PD＝PE，P 是 DE 的中点。答：以 P 为圆心作弧交 l 于 D，E；以 D，E 为圆心、大于 DE 一半的长为半径作弧交于 F；作直线 PF。建议用时 3 分钟。 17 方法归纳 三种作图的联系 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 1．作线段的垂直平分线：分别以两个端点为圆心作弧，找两个交点． 2．作对称轴：先找一对对称点，再作它们所连线段的垂直平分线． 3．过一点作已知直线的垂线：先在直线上找与这点距离相等的两点，再作其连线的垂直平分线． 【归纳】　这三种作图都归结为作线段的垂直平分线． 依据都是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线。建议用时 1 分钟。 18 当堂达标 第1题 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 答案：C A B C D 半径小于或等于 AB 的一半时，得不到两个交点。答案：C。建议用时 1 分钟。 19 当堂达标 第2题 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） ∵ MN 垂直平分 BC，∴ DB＝DC． △ACD 的周长＝AD＋DC＋AC＝AD＋DB＋AC＝AB＋AC＝6＋4＝10． A B C D M N 由作图知 MN 是 BC 的垂直平分线，把 DC 换成 DB。答案：10。建议用时 2 分钟。 20 当堂达标 第3题 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 如图，已知△ABC，用尺规作出 BC 边上的高 AD． 1 以点 A 为圆心，适当长为半径作弧， 交直线 BC 于点 E，F； 2 的长为半径作弧，两弧相交于点 G； 3 作直线 AG 交 BC 于点 D，线段 AD 就是所求作的高． A B C E F G D 这是经过直线外一点作已知直线的垂线的应用。答：以 A 为圆心作弧交 BC 于 E，F；以 E，F 为圆心、大于 EF 一半的长为半径作弧交于 G；作直线 AG 交 BC 于 D，AD 就是所求的高。建议用时 3 分钟。 21 当堂达标 第4题 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 如图，△ABC 与△A′B′C′ 关于某条直线成轴对称，用尺规作出它们的对称轴． 1 连接一对对称点 A，A′； 2 作线段 AA′ 的垂直平分线 m， 直线 m 就是它们的对称轴． A B C A′ B′ C′ m 对称轴不一定是竖直的，找对称点作垂直平分线的方法总是适用。答：连接 AA′，作 AA′ 的垂直平分线 m，m 就是对称轴。建议用时 2 分钟。 22 课堂小结 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 1．怎样用尺规作线段的垂直平分线？依据是什么？ 分别以两端点为圆心作弧得两个交点，再过两交点作直线；依据是线段垂直平分线的判定和两点确定一条直线． 2．怎样作对称轴？怎样经过一点作已知直线的垂线？ 都转化为作一条线段的垂直平分线． 小结时让学生口述作图步骤。答：1．分别以两端点为圆心作弧得两个交点，过两交点作直线；依据是线段垂直平分线的判定和两点确定一条直线。2．都转化为作一条线段的垂直平分线。建议用时 1 分钟。 23 布置作业 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 必做：教材习题15.1　第 7，10 题． 选做：教材习题15.1　第 12 题． 第10题：作线段 AB 的垂直平分线，它与公路 l 的交点就是车站的位置。第12题：作线段 AB 的垂直平分线与两条公路所成角的平分线，交点就是发射塔的位置。建议用时 1 分钟。 24 $