专题03反比例函数期中复习讲义（核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题03反比例函数期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解反比例函数的概念，能识别反比例函数，掌握解析式的三种表达形式，会用待定系数法求反比例函数解析式。 2.掌握反比例函数的图象与性质，能根据比例系数k的符号判断双曲线所在象限与增减性，利用性质比较点的坐标大小。 3.理解比例系数k的几何意义，能计算双曲线上一点向坐标轴作垂线所围成的矩形、三角形面积。 4.掌握反比例函数与一次函数的综合问题，能判断同一坐标系中两个函数图象能否共存，求解函数交点，结合图象确定简单不等式的解集。 5.能从实际情境中建立反比例函数模型解决问题，依据实际意义确定自变量的取值范围。 ✵高频题型梳理 题型1.判断一个函数是否为反比例函数 题型2.根据反比例函数定义求未知参数 题型3.函数代入求值 题型4.判断反比例函数图象所在象限 题型5.根据图象象限求k的取值范围 题型6.判断反比例函数的增减性 题型7.利用增减性比较多个点的函数值大小 题型8.根据增减性求参数取值范围 题型9.由k求三角形、矩形等面积 题型10.根据图形面积求k的值 题型11.利用双曲线对称性求点坐标 题型12.待定系数法求反比例函数解析式 题型13.判断同一坐标系中一次函数与反比例函数图象共存问题 题型14.求一次函数与反比例函数的交点坐标 题型15.结合函数图象，由函数值大小关系求自变量取值范围 题型16.一次函数与反比例函数结合的实际应用 ✵核心知识梳理 知识点一、反比例函数的概念 定义：一般地，形如 y=（k为常数，且k≠0）的函数，叫做反比例函数。 其中x是自变量，y是x的函数，k为比例系数。 自变量x的取值范围：不等于0 的一切实数 核心本质：两个变量的乘积为非零定值，变量之间成反比例关系。 知识点二、反比例函数三种等价解析式 1.标准分式型：y= (k≠0)（常规通用） 2.乘积型：xy=k (k≠0)（两变量乘积为定值） 3.负指数型：y=k (k≠0)（多用于参数判定） 知识点三、反比例函数图象特征与性质 1.图象形态：反比例函数图象是双曲线，由两支独立曲线构成。 2.渐近特征：双曲线无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交。 3.对称性（1）中心对称：图象关于原点中心对称；（2）轴对称：图象关于直线 y=x、y=-x 对称。 4.性质：当k＞0，图象分布在第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当k＜0，图象分布在第二、四象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大。 知识点四、比例系数k的几何意义 1.过y=(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于|k|。连接y=(k≠0)图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，得到的直角三角形的面积等于。 2.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到|k|的值，进而确定函数表达式。 知识点五、实际问题与反比例函数 1.利用反比例函数解决实际问题的步骤： （1）审题分析：找出题目中乘积为定值的两个变量； （2）建立模型：设反比例函数解析式，代入已知条件求出k； （3）计算求解：利用解析式求解对应变量的值； （4）规范作答：结合实际意义确定自变量取值范围，检验结果合理性。 2.反比例函数应用中常见的基本关系： 行程类问题：路程=速度×时间。 工程类问题：工作量=工作时间×工作效率。 等积类问题：变形前后物体的体积（或质量）不变。 图形类问题：根据图形的特征，结合规则图形的周长公式、面积公式、体积公式来解题。 ✵要点提示 1.描述增减性，必须写明 “在每一个象限内”，不能直接表述为k>0时，y随x增大而减小。 2.利用k的几何意义计算面积，面积等于|k|；由面积求k，要结合图象象限确定k的正负。 3.待定系数法求反比例函数解析式，只需图象上一个点的坐标，即可求出k。 4.反比例函数图象与坐标轴无交点，故x≠0，y≠0。 5.解决反比例函数实际问题，要检验自变量的取值范围，舍去不符合实际意义的解。 ✵典例精讲 题型1.判断一个函数是否为反比例函数 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数称为反比例函数．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中的次数为，不是反比例函数； B、符合反比例函数的特征，是反比例函数； C、不符合反比例函数的特征，不是反比例函数； D、的分母不是单个自变量，不是反比例函数． 2．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【答案】（2）、（3） 【分析】根据反比例函数的定义，形如（ 为常数， ）的函数是反比例函数，逐一判断各关系式即可得到结果． 【详解】解：是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式； ，可化为的形式，其中 ，故（2）是反比例函数； ，可化为的形式，其中 ，故（3）是反比例函数； 整理得 ，不符合的形式，故（4）不符合反比例函数形式； ，分母为 ，不是 ，故（5）不符合反比例函数形式． 综上，只有（2）和（3）是反比例函数． 3．下列函数中，哪些是反比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）和（2）是反比例函数. 【分析】根据反比例函数的定义，形如的函数是反比例函数，解答即可． 【详解】解：（1），符合， 故是反比例函数； （2），符合， 故是反比例函数； （3），不符合， 故不是反比例函数； （4），不符合， 故不是反比例函数． 题型2.根据反比例函数定义求未知参数 1．已知函数是反比例函数，则m的值为（     ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∵由，得或， 由，得， ∴． 2．已知函数是反比例函数，则___________． 【答案】 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 3．已知函数是反比例函数，求k的值． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，列出k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ，且， 解得． 题型3.函数代入求值 1．下列各点中，在函数图像上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，∴点不在函数图像上，选项A不符合题意； ∵，∴点不在函数图像上，选项B不符合题意； ∵，∴点在函数图像上，选项C符合题意； ∵，∴点不在函数图像上，选项D不符合题意． 2．若点在反比例函数的图象上，则的值为________． 【答案】 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的横纵坐标代入解析式即可求解的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴将，代入，得． 3．已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)当时，求y的值； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是或 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式，即可求解； （2）将代入已确定的反比例函数解析式，即可求解； （3）根据反比例函数的增减性，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ∴k的值为7． （2）解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴当时，y的值为． （3）解：当时，，当时，，且反比例函数在每个象限内，随的增大而减小， 当时，反比例函数的图象在第三象限， ∴， 当时，反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴当时，y的取值范围是或． 题型4.判断反比例函数图象所在象限 1．反比例函数的图象在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第二、四象限， 又， 反比例函数的图象在第四象限． 2．反比例函数中，图象在第_________象限． 【答案】二、四 【详解】解：， ∴图象在第二、四象限． 3．指出反比例函数的图象所在的象限． 【答案】该反比例函数的图象在第一、第三象限． 【分析】判断比例系数的符号，结合反比例函数图象性质确定象限． 【详解】解：是反比例函数， ， 又， ， 该反比例函数的图象在第一、第三象限． 题型5.根据图象象限求k的取值范围 1．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴，解得． 2．若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ∴， ∴. 3．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由反比例函数图象所在象限确定比例系数的符号，列不等式求解； （2）结合反比例函数的增减性与点的位置比较函数值大小． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得； （2）解：由（1）知， ∴该反比例函数在每个象限内，随的增大而减小． ∵点，均在第一象限，且， ∴． 题型6.判断反比例函数的增减性 1．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】反比例函数，观察函数图象在第一象限，在第一象限内，随着值的增大，的值随之减小． 2．给出下列说法：①反比例函数中自变量x的取值范围是；②点在反比例函数的图象上；③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．其中说法正确的是______． 【答案】①②/②① 【分析】根据反比例函数中自变量x的取值范围是，即可判断①；将点的坐标代入反比例函数的解析式中即可判断②；根据反比例函数其中即可判断③． 【详解】解：①反比例函数中自变量x的取值范围是，故说法正确； ②将点的横坐标代入反比例函数中得出与点的纵坐标相等，等式成立，故说法正确； ③因为，反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故说法错误； 综上：说法正确的有①②． 3．指出下列反比例函数的图象所在的象限，并说明在每个象限内，y的值随x的值的增大而变化的情况． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小 (2)的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大 (3)的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大 (4)的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小 【分析】根据反比例函数的性质逐个解答即可． 【详解】（1）解：∵中的， ∴的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小； （2）解：∵中的， ∴的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大； （3）解：∵中的， ∴的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大； （4）解：∵中的， ∴的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小． 题型7.利用增减性比较多个点的函数值大小 1．已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的解析式求出和的值，再比较即可． 【详解】解：把代入，得；把代入，得， ∵， ∴． 2．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为________（用“”连接）． 【答案】 【分析】将三个点的横坐标代入反比例函数解析式，计算出对应纵坐标的值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，；当时，；当时，， ，即． 3．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设反比例函数， ∵当时，， ， ∴函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴双曲线位于一，三象限，在每一个象限内，随着的值的增大而减小， ∵点、、在反比例函数的图象上，且， ∴，即. 题型8.根据增减性求参数取值范围 1．反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的增减性推出，进而求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小， ， 解得． 2．已知和两点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】首先判断出反比例函数在第一象限中y随x的增大而减小，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中 ∴反比例函数在第一象限中y随x的增大而减小 ∵， ∴ ∴． 3．已知反比例函数． (1)若点在反比例函数的图象上，则的值为______； (2)当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了判断反比例函数的增减性，已知反比例函数的增减性求参数，求反比例函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）将点代入反比例函数中，求出k即可； （2）根据在每一象限内，的值随值的增大而减小，得到关于k的不等式求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：2； （2）∵反比例函数，在每一象限内，的值随值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴当时，在每一象限内，的值随值的增大而减小． 题型9.由k求三角形、矩形等面积 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】过点D作轴于点E，根据k的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得 k，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E， 对角线轴， , 四边形是矩形， ， k， ∵菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，， ． 2．如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 【答案】3 【分析】设，根据反比例函数的性质表示出M、N点的坐标，再结合矩形的性质，利用，即可作答． 【详解】解：设，则有， ∴， ∵矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即，， ∴，， ∵矩形面积为：， ∴四边形的面积为：． 3．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，分别与交于点D、E． (1)证明：与面积相等； (2)若，求的值； (3)若四边形面积为6，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴， ∴与面积相等； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，再由反比例函数比例系数的几何意义可得； （2）求出，设点E的坐标为，则点B的坐标为，点D坐标为，则可推出，据此求出的长即可得到答案； （3）设M点坐标为，则，即，可求出，，，进而求出点D和点E的坐标，根据，求出的值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 设点E的坐标为，则点B的坐标为，点D坐标为， ∵，均在反比例函数的图象上， ∴， 解得． ∴， ∴， ∴． （3）解：设M点坐标为，则，即， ∵点M为矩形对角线的交点， ∴， ∴，， ∴D点的横坐标为，E点的纵坐标为， 又∵点D、点E在反比例函数的图象上， ∴D点的纵坐标为，E点的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴反比例函数的解析式为． 题型10.根据图形面积求k的值 1．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据的面积为，可得，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， ， 解得：． 2．双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点围成的三角形面积，结合图像所在的象限确定k的符号即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A在双曲线上， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线图像位于第二象限， ∴， ∴． 3．如图，反比例函数的图象经过点，过点作垂直轴于点，的面积为． (1)求和的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交轴于点，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由的面积可得的值；由的值确定出点的坐标，将点的坐标代入反比例解析式中，即可求出的值； （2）先求出点的坐标，利用待定系数法求解直线的函数解析式，令可得点的坐标，即可得到的面积． 【详解】（1）解：∵点，，的面积为， ∴， ∴， ∴． 将点代入，得； （2）解：由（1）得反比例函数的解析式为． 将点代入，得， ∴． 设直线的函数解析式为， 将点、代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为． 当时，得， ∴， ∴． 题型11.利用双曲线对称性求点坐标 1．已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 2．正比例函数（）与反比例函数（）的一个交点为，则另一个交点坐标为________． 【答案】 【分析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，因此两个函数的交点也关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标规律即可求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 3．如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点，直线与反比例函数交于另一点． (1)直接写出：点坐标______；直线的函数解析式______． (2)请结合图像回答，时，的取值范围______． (3)如图若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）根据反比例函数的图象与性质及一次函数的性质进行计算即可； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （3）根据三角形的面积公式，求出的长，据此可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ∵点和点关于坐标原点对称， ∴点的坐标为． 将点代入反比例函数得，， ∴反比例函数的解析式为． 将点代入得，， ∴点坐标为． 将点和代入一次函数得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：由函数图象可知， 当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即， ∴时，的取值范围是或． （3）解：∵的面积为， ∴， 解得， ∴点坐标为或． 题型12.待定系数法求反比例函数解析式 1．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（     ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知点坐标代入反比例函数解析式中求． 【详解】解：把点代入，得， 解得． 2．反比例函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，求解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， ， 解得． 3．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而求出直线解析式，求出点坐标，分割法求出三角形的面积即可； （3）图象法求出不等式的解集即可. 【详解】（1）解：∵，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得 ，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴的面积为. （3） 解：由图象可知，不等式的解集为或. 题型13.判断同一坐标系中一次函数与反比例函数图象共存问题 1．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象与系数的关系逐一判断即可求解． 【详解】解：A、观察反比例函数图象得：， 此时一次函数的图象过第二，三，四象限，二者一致，故本选项符合题意； B、观察一次函数的图象得：， 此时一次函数的图象过第二，三，四象限，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：， 此时一次函数的图象过第一，二，三象限，相矛盾，故本选项不符合题意； D、观察一次函数的图象得：， 此时一次函数的图象过第一，二，三象限，相矛盾，故本选项不符合题意； 2．正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是_____________ 【答案】或 【分析】先运用待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质列方程求出自变量x的取值范即可． 【详解】解：由正比例函数与反比例函数图象都经过点，即正比例函数为 反比例函数为 当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即＞，解得或． 故答案是或． 【点睛】主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，正确求出它们的解析式成为解答本题的关键． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法解答即可； （2）观察图象，利用数形结合法解答即可得出结论． 【详解】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 点， ， ，, ，， ，的面积为6， ， ∴， ， ， 反比例函数的解析式为：， 一次函数的图象经过点，， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）点在反比例函数上， ∴， ∴． ∴， 由图象可知：第二象限中点的左侧部分，满足，第四象限中点的左侧部分，满足，对应的的取值范围分别为：或． ∴当时，的取值范围为：或． 题型14.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1．在平面直角坐标系中，如果直线与双曲线有交点，那么和的关系是（     ） A．， B．， C．、同号 D．、异号 【答案】C 【分析】联立得：，再由直线与双曲线有交点，可得该方程有非零实数解，即可求解． 【详解】解：联立与，得：， ∵， ∴，即， ∵直线与双曲线有交点， ∴该方程有非零实数解， 又∵， ∴，即与同号． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．当时，的取值范围是_____________ 【答案】 或 【分析】将代入得到的值，根据图象直接得出即可． 【详解】解：将代入得，， 解得， 由图象可知，当时，的取值范围是或． 3．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出使成立的x的取值范围． 【答案】(1)， (2)3 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解两个函数解析式即可； （2）设一次函数的图象与y轴交于点M，先求得点M的坐标，则可求得的长，然后利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可； （3）在图象上找到反比例函数的图象位于一次函数的图象上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：把点代入，得， 所以反比例函数解析式为； 把点代入，得，解得，所以． 把、分别代入，得 ，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设直线与y轴交于点M，如图， 在中，令，则， ∴，则， ∴； （4） 解：由图象可知，当或时，反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方，此时成立． 题型15.结合函数图象，由函数值大小关系求自变量取值范围 1．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数判断函数图象所在象限和增减性，再结合各点纵坐标的大小比较横坐标即可. 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点A纵坐标为，点B纵坐标为，点C纵坐标为， ∴A、B在第三象限，C在第一象限，可得，，， 又∵，第三象限内随的增大而减小， ∴， ∴. 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是___________________． 【答案】 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，，， ， 3．如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是_______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求出点的坐标，再进一步求出的值即可； （2）先求出点的坐标，再结合三角形的面积公式进行计算即可； （3）根据反比例函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：将点代入得，， ∴点的坐标为． 将点代入得，； （2）解：对于， 令，得，解得， ∴点的坐标为， ∴； （3）解：由（1）知，反比例函数的解析式为， 将代入得，， ∴当时，的取值范围是． 题型16.一次函数与反比例函数结合的实际应用 1．如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（    ） A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 【答案】C 【分析】确定水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式后可判断A；确定水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式，再计算当时对应的的值可判断B；分别计算当时在加热到前后分别对应的的值，求出它们的差可判断选项C；计算出当时在加热到后对应的的值即可判断选项D． 【详解】解：设水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，过点、， ∴， 解得：， ∴水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是， ∴选项A的说法正确，故此选项不符合题意； 设当水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式为，过点， ∴， 解得：， ∴此时水温与启动加热后通电时间的关系式为， 当时，， ∴在通电启动加热开关时，喝到的茶水为， ∴选项B的说法正确，故此选项不符合题意； 当时，，解得：； 当时，； 又∵， ∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为， ∴选项C的说法错误，故此选项符合题意； 当时，， ∴在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为， ∴选项D的说法正确，故此选项不符合题意． 2．如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________．    【答案】 【分析】求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答． 【详解】解：把代入，可得，解得， 反比例函数解析式， 如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，    ， ， ， ， 将直线向上平移若干个单位长度交轴于点， , 在中，， ， 即点C的横坐标为， 把代入，可得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点的横坐标是解题的关键． 3．某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． (1)求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 【答案】(1)线段的解析式为；反比例函数为 (2)18 【分析】（1）根据待定系数法即可求出线段和反比例函数的表达式，观察图像即可知道自变量取值范围． （2）将代入线段和反比例函数的表达式，即可求出对应的值，从而求出畅销持续的天数． 【详解】（1）解：设线段的解析式为， ，， ，解得， 线段的解析式为． 设反比例函数的解析式为， 经过， ， ， ． （2）解：， 满足的函数有线段的解析式和反比例函数， 时，代入得， 时，代入得． 时，， 畅销期持续的天数为（天）． ✵分层专项训练 一、单选题 1．关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】先确定反比例函数的比例系数k，再结合其定义、性质及图象上点的坐标特征逐一判断． 【详解】解：∵， ∴该函数是反比例函数，其中，故A正确，不符合题意； ∴函数图象位于第二、四象限，且当时，随的增大而增大，故B、D正确，不符合题意； 将代入，得，故C错误，符合题意． 2．如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，若格点A，B在函数的图象上，则k的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用网格图确定点A与点B的相对位置关系，设出点的坐标，利用反比例函数系数k的几何意义（即图象上任意一点的横纵坐标之积为定值k）建立方程求解． 【详解】解：根据图象可知，点A的横坐标为，点B的横坐标为， 设点A的坐标为，则点B的坐标为， ∵点A，B在函数的图象上， ∴，，即， 解得， ∴点A的坐标为， ∴． 3．如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 【答案】C 【分析】设，则，继而确定，根据的面积为2，解答即可． 【详解】解：∵点是图像上任一点，过点A作轴于点C．交函数 的图象与点B， 设，则， ， 的面积为2， ， 解得． 4．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（     ） A．该函数表达式为 B．当时， C．当面条的总长度不超过3200时， D．当时， 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，根据反比例函数的性质逐项判断. 【详解】解：设函数表达式为 图象过点 ，故 A 说法正确； 当 时，，故 B 说法正确； 当 时，，解得 ，故 C 说法错误； 当 时， 随 的增大而减小，且 ，故 D 说法正确. 二、填空题 5．某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【答案】丙 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲、乙、丙、丁， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知，， ∴、乙、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知优秀人数， ，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 6．如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】解：∵直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5， ∴不等式的解集是． 7．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的符号确定点所在象限，最后结合反比例函数的增减性比较，，的大小． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数. ∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵， ∴点与点在第四象限，点在第二象限， ∴，，， 又∵反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 综上，． 三、解答题 8．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车上班？请说明理由． 【答案】(1)双曲线的函数表达式为； (2)第二天早上能驾车上班，理由， 从晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上，时间间距为小时， 由得双曲线的函数表达式为， 当时，， ∵，即血液中的酒精含量小于国家规定的“酒后驾驶”标准， ∴第二天早上能驾车上班． 【分析】首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； 从晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上，时间间距为小时，当时，，然后比较进行判断即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，由图象可知直线过， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 设双曲线的函数表达式为， 将点，代入得， 解得， ∴双曲线的函数表达式为； （2）略． 9．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值． (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)的取值范围为或． 【分析】（1）根据反比例函数的图象位于第一、三象限，即，列不等式求解，即可解题； （2）先利用正比例函数求出交点，再将代入反比例函数求解，即可解题； （3）根据反比例函数与正比例函数的交点，再根据交点情况即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵正比例函数的图象过点， ∴， 反比例函数与正比例函数交点为， ∴， 解得； （3）解：由，则，解得：， ∴反比例函数与正比例函数的交点为，， ∴当时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，解一元一次不等式，一次函数与反比例函数交点情况，以及根据一次函数与反比例函数交点情况求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 10．如图，点，在反比例函数的图象上，且点，的横坐标分别为和．过点作轴的垂线，垂足为，连接，的面积为． (1)填空：反比例函数表达式为　　　　　　；　　 (2)求的面积； (3)点，在这个双曲线位于第三象限的一支上，点的横坐标为．若与的面积相等，写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】直接利用结论：反比例函数图象上一点与原点、轴垂足构成的三角形面积等于； 采用割补法，利用梯形面积减去两个直角三角形面积，消去参数，求出； 延续割补思路，在第三象限设点坐标，分情况列方程求解，注意第三象限横坐标小于，舍去正数解． 【详解】（1）解：反比例函数图象上一点向轴作垂线，该点、垂足与原点构成三角形的面积为． ，， ， ， ； （2）解：点横坐标为，点横坐标为，则 , 如图所示：过作轴于， 由的几何意义知，采用割补法：， ； （3）解：点横坐标为，代入，得，即． 设，在第三象限，故．同的割补法，令，分两种情况讨论： ①当时： ,(舍去) 即 ②当时： ，(舍去) 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形面积等于；也考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03反比例函数期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解反比例函数的概念，能识别反比例函数，掌握解析式的三种表达形式，会用待定系数法求反比例函数解析式。 2.掌握反比例函数的图象与性质，能根据比例系数k的符号判断双曲线所在象限与增减性，利用性质比较点的坐标大小。 3.理解比例系数k的几何意义，能计算双曲线上一点向坐标轴作垂线所围成的矩形、三角形面积。 4.掌握反比例函数与一次函数的综合问题，能判断同一坐标系中两个函数图象能否共存，求解函数交点，结合图象确定简单不等式的解集。 5.能从实际情境中建立反比例函数模型解决问题，依据实际意义确定自变量的取值范围。 ✵高频题型梳理 题型1.判断一个函数是否为反比例函数 题型2.根据反比例函数定义求未知参数 题型3.函数代入求值 题型4.判断反比例函数图象所在象限 题型5.根据图象象限求k的取值范围 题型6.判断反比例函数的增减性 题型7.利用增减性比较多个点的函数值大小 题型8.根据增减性求参数取值范围 题型9.由k求三角形、矩形等面积 题型10.根据图形面积求k的值 题型11.利用双曲线对称性求点坐标 题型12.待定系数法求反比例函数解析式 题型13.判断同一坐标系中一次函数与反比例函数图象共存问题 题型14.求一次函数与反比例函数的交点坐标 题型15.结合函数图象，由函数值大小关系求自变量取值范围 题型16.一次函数与反比例函数结合的实际应用 ✵核心知识梳理 知识点一、反比例函数的概念 定义：一般地，形如 y=（k为常数，且k≠0）的函数，叫做反比例函数。 其中x是自变量，y是x的函数，k为比例系数。 自变量x的取值范围：不等于0 的一切实数 核心本质：两个变量的乘积为非零定值，变量之间成反比例关系。 知识点二、反比例函数三种等价解析式 1.标准分式型：y= (k≠0)（常规通用） 2.乘积型：xy=k (k≠0)（两变量乘积为定值） 3.负指数型：y=k (k≠0)（多用于参数判定） 知识点三、反比例函数图象特征与性质 1.图象形态：反比例函数图象是双曲线，由两支独立曲线构成。 2.渐近特征：双曲线无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交。 3.对称性（1）中心对称：图象关于原点中心对称；（2）轴对称：图象关于直线 y=x、y=-x 对称。 4.性质：当k＞0，图象分布在第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当k＜0，图象分布在第二、四象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大。 知识点四、比例系数k的几何意义 1.过y=(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于|k|。连接y=(k≠0)图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，得到的直角三角形的面积等于。 2.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到|k|的值，进而确定函数表达式。 知识点五、实际问题与反比例函数 1.利用反比例函数解决实际问题的步骤： （1）审题分析：找出题目中乘积为定值的两个变量； （2）建立模型：设反比例函数解析式，代入已知条件求出k； （3）计算求解：利用解析式求解对应变量的值； （4）规范作答：结合实际意义确定自变量取值范围，检验结果合理性。 2.反比例函数应用中常见的基本关系： 行程类问题：路程=速度×时间。 工程类问题：工作量=工作时间×工作效率。 等积类问题：变形前后物体的体积（或质量）不变。 图形类问题：根据图形的特征，结合规则图形的周长公式、面积公式、体积公式来解题。 ✵要点提示 1.描述增减性，必须写明 “在每一个象限内”，不能直接表述为k>0时，y随x增大而减小。 2.利用k的几何意义计算面积，面积等于|k|；由面积求k，要结合图象象限确定k的正负。 3.待定系数法求反比例函数解析式，只需图象上一个点的坐标，即可求出k。 4.反比例函数图象与坐标轴无交点，故x≠0，y≠0。 5.解决反比例函数实际问题，要检验自变量的取值范围，舍去不符合实际意义的解。 ✵典例精讲 题型1.判断一个函数是否为反比例函数 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 3．下列函数中，哪些是反比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）． 题型2.根据反比例函数定义求未知参数 1．已知函数是反比例函数，则m的值为（     ） A． B． C．1 D．或1 2．已知函数是反比例函数，则___________． 3．已知函数是反比例函数，求k的值． 题型3.函数代入求值 1．下列各点中，在函数图像上的是（     ） A． B． C． D． 2．若点在反比例函数的图象上，则的值为________． 3．已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)当时，求y的值； (3)当时，求y的取值范围． 题型4.判断反比例函数图象所在象限 1．反比例函数的图象在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．反比例函数中，图象在第_________象限． 3．指出反比例函数的图象所在的象限． 题型5.根据图象象限求k的取值范围 1．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则的取值范围是________． 3．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值、的大小． 题型6.判断反比例函数的增减性 1．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 2．给出下列说法：①反比例函数中自变量x的取值范围是；②点在反比例函数的图象上；③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．其中说法正确的是______． 3．指出下列反比例函数的图象所在的象限，并说明在每个象限内，y的值随x的值的增大而变化的情况． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型7.利用增减性比较多个点的函数值大小 1．已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为________（用“”连接）． 3．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 题型8.根据增减性求参数取值范围 1．反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知和两点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是_____． 3．已知反比例函数． (1)若点在反比例函数的图象上，则的值为______； (2)当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 题型9.由k求三角形、矩形等面积 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 2．如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 3．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，分别与交于点D、E． (1)证明：与面积相等； (2)若，求的值； (3)若四边形面积为6，求反比例函数的解析式． 题型10.根据图形面积求k的值 1．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D．不确定 2．双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 3．如图，反比例函数的图象经过点，过点作垂直轴于点，的面积为． (1)求和的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交轴于点，求的面积． 题型11.利用双曲线对称性求点坐标 1．已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．正比例函数（）与反比例函数（）的一个交点为，则另一个交点坐标为________． 3．如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点，直线与反比例函数交于另一点． (1)直接写出：点坐标______；直线的函数解析式______． (2)请结合图像回答，时，的取值范围______． (3)如图若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． 题型12.待定系数法求反比例函数解析式 1．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（     ） A．6 B． C． D． 2．反比例函数的图象经过点，则________． 3．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 题型13.判断同一坐标系中一次函数与反比例函数图象共存问题 1．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像大致是（     ） A． B． C． D． 2．正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是_____________ 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 题型14.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1．在平面直角坐标系中，如果直线与双曲线有交点，那么和的关系是（     ） A．， B．， C．、同号 D．、异号 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．当时，的取值范围是_____________ 3．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出使成立的x的取值范围． 题型15.结合函数图象，由函数值大小关系求自变量取值范围 1．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是___________________． 3．如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是_______． 题型16.一次函数与反比例函数结合的实际应用 1．如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（    ） A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 2．如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________．    3．某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． (1)求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． ✵分层专项训练 一、单选题 1．关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 2．如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，若格点A，B在函数的图象上，则k的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 4．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（     ） A．该函数表达式为 B．当时， C．当面条的总长度不超过3200时， D．当时， 二、填空题 5．某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 6．如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 7．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 三、解答题 8．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车上班？请说明理由． 9．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值． (3)当时，直接写出的取值范围． 10．如图，点，在反比例函数的图象上，且点，的横坐标分别为和．过点作轴的垂线，垂足为，连接，的面积为． (1)填空：反比例函数表达式为　　　　　　；　　 (2)求的面积； (3)点，在这个双曲线位于第三象限的一支上，点的横坐标为．若与的面积相等，写出点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 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