专题03反比例函数期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题03反比例函数期中复习讲义 1.明晰概念：掌握反比例函数定义与三种表达式，会判断函数类型、求解参数，牢记自变量x≠0。 2.吃透图象性质：认识双曲线；由k的正负判断图象所在象限；掌握每个象限内的增减性，理解图象的中心对称、轴对称特点。 3.活用k的几何意义：熟练运用双曲线上点向坐标轴作垂线形成的矩形面积\(|k|\)、三角形面积，快速求面积、求k值。 4.掌握交点问题：会联立函数解析式求交点；掌握反比例与正比例函数交点关于原点对称的结论；能结合图象比较函数值、解不等式。 5.学会建模应用：能从行程、工程、压强等实际问题中建立反比例函数模型，解决实际应用题。 6.突破综合题型：能解决反比例函数与几何图形综合题；规避常见易错陷阱，规范完成选择、填空、解答各类题型。 题型 考察方向 难度 题型一 用反比例函数描述数量关系 ★ 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 ★ 题型三 根据反比例函数的定义求参数 ★★ 题型四 求反比例函数值 ★ 题型五 由反比例函数值求自变量 ★ 题型六 判断（画）反比例函数图象 ★ 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 ★★ 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ★★ 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 ★★ 题型十 判断反比例函数的增减性 ★★ 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 ★ 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 ★★ 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 ★★ 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 ★★ 题型十五 求反比例函数解析式 ★★★ 题型十六 反比例函数与几何综合 ★★★★ 题型十七 根据图形面积求比例系数 ★★★ 题型十八 一次函数与反比例函数图象综合判断 ★★★ 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题 ★★★ 题型二十 一次函数与反比例函数的其他综合应用 ★★★★ 题型二十一 实际问题与反比例函数 ★★★ 题新二十二 一次函数与反比例函数的实际应用 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：反比例函数定义 1 定义 一般地，形如y=（k 为常数，(k≠0）的函数叫做反比例函数。 x 是自变量，y 是函数，k 称为比例系数。 2 三种等价表达形式 分式形式：y=（k≠0） 乘积形式：xy=k (k 负指数形式：y=kx−1 (k 3 自变量取值范围 解析式层面：x0； 无实际背景时，自变量取不等于 0 的全体实数； 实际应用题中，根据现实条件进一步限制取值。 ⚠️辨析：y=、y=+1 不是反比例函数。 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） (1)列表：选取 x0 的多组对应值，正负值均取，计算 y。 (2)描点：在平面直角坐标系中描出对应点。 (3)连线：用平滑曲线连接各点，注意两个分支不相连，且无限靠近坐标轴但永不相交。 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） ⚠️关键易错：必须强调在每一个象限内，不能直接说 “全体定义域上y随x增大增大 / 减小”。 知识点05:比例系数 k 的几何意义（难点 + 高频考点） 过反比例函数 y= 图象上任意一点 P(x,y)，分别作 x 轴、y 轴的垂线： 1.与坐标轴围成的矩形面积 S=∣xy∣=∣k∣ 2.与坐标轴围成的直角三角形面积 S=∣k∣ 结论：面积只与 ∣k∣ 有关，与点的位置、k 正负无关。 知识点06：反比例函数与一次函数综合 1.求交点：联立 ，消元得到一元二次方程求解； 2.若有两个交点，两点关于原点中心对称； 3.根据图象位置，求解不等式>ax+b、<ax+b 知识点07:反比例函数的实际应用 （一）常见建模固定场景（总量恒定，两变量乘积不变） 行程问题：路程 s 固定，速度 v=； 工程问题：工作总量 W 固定，工作效率 P=； 几何面积：矩形、三角形面积固定，底与高、长与宽成反比例； 物理场景：压强、电阻、密度等定量公式。 （二）标准解题完整步骤 审题：找出题目中固定不变的总量； 设元：设出自变量 x 和因变量 y； 建模：根据 “总量 = 变量 1× 变量 2” 列出反比例关系式 y=； 定范围：结合实际意义限定自变量取值（时间、速度、长度均为正数，x>0）； 求解：根据题干要求求对应数值； 作答：检验结果是否符合现实，规范写出答案。 （三）图像应用特点 实际问题中自变量 (x>0)，因此图像只有双曲线第一象限单支，不存在二、三、四象限部分。 题型一：用反比例函数描述数量关系 1．为了响应新中考体育考试要求，某中学八（1）班用200元购买了某品牌篮球y个．若该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为_________． 2．根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”． （1）若是“和谐点”，则__________． （2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为__________． 题型二：根据定义判断是否是反比例函数 4．下列函数是y关于x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 5．“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（     ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．无法确定 6．下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．其中是的反比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：根据反比例函数的定义求参数 7．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．3 C． D．48 8．反比例函数的图象经过点，则此函数的图象也经过点（    ） A． B． C． D． 9．已知函数是关于x的反比例函数，则该函数图象位于（    ）． A．第一、第三象限 B．第二、第四象限 C．第一、第二象限 D．第三、第四象限 题型四：求反比例函数值 10．下列各点中，在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 11．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，…，（且为整数）分别交于点，，，…，，则__________． 题型五：由反比例函数值求自变量 13．已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．6 14．在反比例函数中，若，则x的取值范围为_________. 15．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 题型六：判断（画）反比例函数图象 16．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 17．表示关系式；；的图象依次是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 18．函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 题型七：已知反比例函数的图象，判断其解析式 19．如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过（   ） A． B． C． D． 20．如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值______．    21．综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（    ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 题型八：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 22．如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________． 23．如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为 _______． 24．如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 题型九：已知双曲线分布的象限，求参数范围 25．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 26．已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 27．如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系______．（用“或”连接） 题型十：判断反比例函数的增减性 28．如图，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点．当时，的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 29．已知点、在反比例函数的图象上，且，那么______（填“”“”或“”）． 30．若反比例函数的图象在每一个象限内的值随的增大而增大，则关于的函数的图象经过（　　） A．第一、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、四象限 题型十一：判断反比例函数图象所在象限 31．反比例函数的图象经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 32．y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 33．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型十二：已知反比例函数的增减性求参数 34．反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 35．已知反比例函数的图像经过点，．若，则实数k的取值范围是______． 36．在每一象限内的双曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十三：比较反比例函数值或自变量的大小 37．若点都在反比例函数的图象上，则有（     ） A． B． C．D． 38．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是___________________． 39．已知点，，在反比例函数（n为常数）的图象上，且，则（） A． B． C． D． 题型十四：已知比例系数求特殊图形的面积 40．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点均在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，轴于点E，轴于点F，设四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 41．在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于，两点，则的面积是________（用含，的代数式表示） 42．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 题型十五：求反比例函数解析式 43．已知电压一定时，电流（单位：安培）与电阻（单位：欧姆）成反比例关系，即，当电流时，电阻，则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 44．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于点，，则的值为______．    45．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点，与轴交于点．在轴上找一点使最大，则的最大值为（     ） A． B． C．4 D． 题型十六：反比例函数与几何综合 46．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 47．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（    ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变小再变大 48．如图，、是反比例函数图象上的两点，，两点横坐标分别为，，线段的延长线交轴于点，若的面积为，则的值为________． 题型十七：根据图形面积求比例系数 49．如图，已知点A位于第二象限，且在反比例函数的图象上．过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C．若，，则k的值为（    ） A． B．-2 C．6 D． 50．如图，的一条边轴于点A，且．若某反比例函数图象的一支经过点B，则该反比例函数的表达式为_________． 51．如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 题型十八：一次函数与反比例函数图象综合判断 52．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A．B． C．D． 53．已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则反比例函数的图象经过的象限是______． 54．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于，两点．当时，自变量的取值范围是（     ）    A． B．或 C． D．或 题型十九：一次函数与反比例函数的交点问题 55．若双曲线与直线交于，两点，则不等式的解集是（　　） A．无法确定 B．或 C． D．或 56．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为___________． 57．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 题型二十：一次函数与反比例函数的其他综合应用 58．反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 59．如图．已知点，将反比例函数的图象向左平移m个单位长度，若使平移后的反比例函数图象和线段有交点，则m的取值范围是________． 60．在平面直角坐标系中，直线y=x与反比例函数y=(x>0)的图象交与点A(4，2)，直线y=x+b(b>0)与反比例函数y=(x>0)的图象交与点C，与y轴交与点B．记y=(x>0)的图象在点A，C之间的部分与线段OA、OB、BC围成的区域(不含边界)为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是(　　　) A．≤b≤2 B．<b≤2 C．2≤b< D．2≤b≤ 题型二十一：实际问题与反比例函数 61．函数是解决现实世界诸多领域问题的重要模型，其中反比例函数让我们能定量分析“此消彼长”的关系，而不是凭感觉判断．当电压一定时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，电流是；若电流为时，电阻是______． 62．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是________． 63．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 题型二十二：一次函数与反比例函数的实际应用 64．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 65．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 66．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 解答题 67．某班数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是，与的几组对应值如表： … 0 2 3 4 5 … … 1 0 10 6 4 3 … 其中，___________； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数随着的值接近1，其图象越来越靠近直线而永不相交，该函数图象还与直线___________越来越靠近而永不相交； ②函数可以看成是由函数向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度得到的； (4)当时，的取值范围是___________ 68．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 和点 (1)求一次函数的表达式； (2)结合图象，写出满足 的的取值范围； (3)分别连接并延长与反比例函数交于两点，连接，请将图补充完整，判断四边形的形状并说明理由． 69．反比例函数的图象的一分支如图所示． (1)求m的取值范围． (2)若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值． 70．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 71．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 72．某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03反比例函数期中复习讲义 1.明晰概念：掌握反比例函数定义与三种表达式，会判断函数类型、求解参数，牢记自变量x≠0。 2.吃透图象性质：认识双曲线；由k的正负判断图象所在象限；掌握每个象限内的增减性，理解图象的中心对称、轴对称特点。 3.活用k的几何意义：熟练运用双曲线上点向坐标轴作垂线形成的矩形面积\(|k|\)、三角形面积，快速求面积、求k值。 4.掌握交点问题：会联立函数解析式求交点；掌握反比例与正比例函数交点关于原点对称的结论；能结合图象比较函数值、解不等式。 5.学会建模应用：能从行程、工程、压强等实际问题中建立反比例函数模型，解决实际应用题。 6.突破综合题型：能解决反比例函数与几何图形综合题；规避常见易错陷阱，规范完成选择、填空、解答各类题型。 题型 考察方向 难度 题型一 用反比例函数描述数量关系 ★ 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 ★ 题型三 根据反比例函数的定义求参数 ★★ 题型四 求反比例函数值 ★ 题型五 由反比例函数值求自变量 ★ 题型六 判断（画）反比例函数图象 ★ 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 ★★ 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ★★ 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 ★★ 题型十 判断反比例函数的增减性 ★★ 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 ★ 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 ★★ 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 ★★ 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 ★★ 题型十五 求反比例函数解析式 ★★★ 题型十六 反比例函数与几何综合 ★★★★ 题型十七 根据图形面积求比例系数 ★★★ 题型十八 一次函数与反比例函数图象综合判断 ★★★ 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题 ★★★ 题型二十 一次函数与反比例函数的其他综合应用 ★★★★ 题型二十一 实际问题与反比例函数 ★★★ 题新二十二 一次函数与反比例函数的实际应用 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：反比例函数定义 1 定义 一般地，形如y=（k 为常数，(k≠0）的函数叫做反比例函数。 x 是自变量，y 是函数，k 称为比例系数。 2 三种等价表达形式 分式形式：y=（k≠0） 乘积形式：xy=k (k 负指数形式：y=kx−1 (k 3 自变量取值范围 解析式层面：x0； 无实际背景时，自变量取不等于 0 的全体实数； 实际应用题中，根据现实条件进一步限制取值。 ⚠️辨析：y=、y=+1 不是反比例函数。 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） (1)列表：选取 x0 的多组对应值，正负值均取，计算 y。 (2)描点：在平面直角坐标系中描出对应点。 (3)连线：用平滑曲线连接各点，注意两个分支不相连，且无限靠近坐标轴但永不相交。 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） ⚠️关键易错：必须强调在每一个象限内，不能直接说 “全体定义域上y随x增大增大 / 减小”。 知识点05:比例系数 k 的几何意义（难点 + 高频考点） 过反比例函数 y= 图象上任意一点 P(x,y)，分别作 x 轴、y 轴的垂线： 1.与坐标轴围成的矩形面积 S=∣xy∣=∣k∣ 2.与坐标轴围成的直角三角形面积 S=∣k∣ 结论：面积只与 ∣k∣ 有关，与点的位置、k 正负无关。 知识点06：反比例函数与一次函数综合 1.求交点：联立 ，消元得到一元二次方程求解； 2.若有两个交点，两点关于原点中心对称； 3.根据图象位置，求解不等式>ax+b、<ax+b 知识点07:反比例函数的实际应用 （一）常见建模固定场景（总量恒定，两变量乘积不变） 行程问题：路程 s 固定，速度 v=； 工程问题：工作总量 W 固定，工作效率 P=； 几何面积：矩形、三角形面积固定，底与高、长与宽成反比例； 物理场景：压强、电阻、密度等定量公式。 （二）标准解题完整步骤 审题：找出题目中固定不变的总量； 设元：设出自变量 x 和因变量 y； 建模：根据 “总量 = 变量 1× 变量 2” 列出反比例关系式 y=； 定范围：结合实际意义限定自变量取值（时间、速度、长度均为正数，x>0）； 求解：根据题干要求求对应数值； 作答：检验结果是否符合现实，规范写出答案。 （三）图像应用特点 实际问题中自变量 (x>0)，因此图像只有双曲线第一象限单支，不存在二、三、四象限部分。 题型一：用反比例函数描述数量关系 1．为了响应新中考体育考试要求，某中学八（1）班用200元购买了某品牌篮球y个．若该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2．根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知该物体原受力面积为，压力是定值， 由压强公式可得，原压强为， 受力面积增加， 变化后的受力面积为，变化后的压强为， 由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ， 可得方程． 3．定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”． （1）若是“和谐点”，则__________． （2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到，整理得到，解得（不合题意，舍去），即可得到答案； （2）设点为双曲线上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由得到，则，由进一步得到，且，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围． 【详解】解：（1）若是“和谐点”，则， 则， ∴， 即，解得（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为： （2）设点为双曲线上的“和谐点”， ∴，， 即， ∴， 则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，且， 对抛物线来说， ∵， ∴开口向下， 当时，， 当时，， ∵对称轴为，， ∴当时，k取最大值为4， ∴k的取值范围为， 故答案为： 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键． 题型二：根据定义判断是否是反比例函数 4．下列函数是y关于x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、分母为，不是反比例函数； B、分母为，不是反比例函数； C、符合反比例函数定义，是反比例函数； D、分母是常量，不是反比例函数． 5．“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（     ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据运送总量固定，V与t的乘积为非零常数的特点判断函数类型． 【详解】解：由题意得，，整理得，符合反比例函数关系． 6．下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．其中是的反比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据反比例的三种形式判断即可． 【详解】解：反比例的三种形式分别为：，，． ①中的次数是，是一次函数，不是反比例函数； ②，③是反比例函数； ④中分母是，故不是反比例函数； ⑤是反比例函数； ⑥中没有，故不是反比例函数； ⑦分母是，故不是反比例函数； ⑧中的次数是，是一次函数，不是反比例函数． 故有三个是反比例函数． 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 题型三：根据反比例函数的定义求参数 7．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．3 C． D．48 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入，得， ， 解得， 故选：B． 8．反比例函数的图象经过点，则此函数的图象也经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，解题关键是掌握反比例函数图象上任意一点的横纵坐标乘积等于比例系数．据此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． A、∵， ∴点在该函数图象上，符合题意； B、∵， ∴点不在该函数图象上，不符合题意； C、∵， ∴点不在该函数图象上，不符合题意； D、∵， ∴点不在该函数图象上，不符合题意． 故选：A． 9．已知函数是关于x的反比例函数，则该函数图象位于（    ）． A．第一、第三象限 B．第二、第四象限 C．第一、第二象限 D．第三、第四象限 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的概念和性质，掌握好反比例函数的图象与系数k的关系是关键． 根据反比例函数的定义，先求出m的值，再根据系数符号判断图象所在的象限． 【详解】解：∵函数是关于x的反比例函数， ∴且， 解得，， ∵， ∴该函数的图象位于第二、四象限． 故选：B． 题型四：求反比例函数值 10．下列各点中，在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别将四个点的坐标代入关系式，并根据计算结果判断即可． 【详解】解：当时，， ∴点不在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上． 11．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数自变量的取值范围，采用特殊值法、排除法将不适合题意的图象排除即可． 采用特殊值法，取和，分别计算的值，根据图象利用排除法即可得出答案． 【详解】解：当时，取， 则， 故排除、选项， 当时，取， 则， 故排除选项， 故选：． 12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，…，（且为整数）分别交于点，，，…，，则__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数解析式得出，再利用裂项相消法进行求和计算． 【详解】解：由题意可知，，，，…，， 在反比例函数的图象上， ， ， ． 题型五：由反比例函数值求自变量 13．已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 将点(m，2)代入反比例函数解析式，解方程求m． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 故选：B． 14．在反比例函数中，若，则x的取值范围为_________. 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质和图象，的图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，由此可解． 【详解】解：中比例系数大于0， 图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， 当时，， 当时，， 若，则x的取值范围为， 故答案为：． 15．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】结合反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论自变量的取值范围. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小. 当时，对应第一象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. 当时，对应第三象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. ∴的取值范围是或. 题型六：判断（画）反比例函数图象 16．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k即可判断该点在函数图象上，据此求解. 【详解】解：∵， ∴点在反比例函数的图象上， 故选：D. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知点的横纵坐标满足函数解析式是解题关键. 17．表示关系式；；的图象依次是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握反比例函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：中，，图象在二、四象限，②符合； 中，，图象在一、三象限，①符合； 中，，图象在一、二象限，③符合； 综上所述，表示关系式；；的图象依次是②①③， 故选：D． 18．函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．分为及分类讨论，分别求出函数关系式，再求出的取值范围，再判断即可． 【详解】解：当时，函数关系式为，则有； 当时，函数关系式为，则有， 故选项C符合， 故选：C． 题型七：已知反比例函数的图象，判断其解析式 19．如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，双曲线经过点，可知点的横纵坐标的积为，根据反比例函数图象上的点的坐标的特点可知双曲线经过的点． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， A.，故选项A符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C不符合题意； D. ，故选项D不符合题意； 故选：A． 20．如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值______．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图象可得比例系数的坐标在和之间，即可得，据此即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，比例系数的坐标在和之间， ∴，即， ∴满足图象的一个的值可以为， 故答案为：． 21．综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（    ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解． 【详解】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为， 将代入可得， 反比例函数解析式为， 根据反比例函数图象可得： 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小， 当浸在液体中的高度时，该液体的密度， 选项说法正确，符合题意； 根据反比例函数图象可得， 当液体的密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误 ，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，解题关键是结合反比例函数图象解题． 题型八：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 22．如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的对称性，即可求解， 本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的对称性． 【详解】解：点、关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 23．如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为 _______． 【答案】 【分析】此题主要考查反比例函数的图像和性质，直接根据反比例函数的对称性和k的几何意义即可求解. 【详解】解：根据反比例函数的对称性可知， ∵是面积为5， ∴的面积是2.5， ∴， ∵双曲线位于二、四象限， ∴k＝． 故答案为：. 24．如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．设，即可求出点A，点B的坐标从而求出面积． 【详解】解： P在反比例函数图象上， 设， 点A，点B在反比例函数图象上， 过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B， ， ， ． 故选C． 题型九：已知双曲线分布的象限，求参数范围 25．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象所在象限得到比例系数的取值范围，再结合选项判断即可得到答案 【详解】解：∵ 反比例函数的图象位于第二、四象限 ∴ 反比例函数的比例系数满足 解得 ∵，选项中只有，其余选项均满足 ∴ m的值可能为0 26．已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】先根据图象所在象限确定比例系数的符号，求出m的取值范围，再结合反比例函数的增减性判断选项即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，比例系数， ∴，在每个象限内，随增大而增大； 解得. 27．如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系______．（用“或”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数、的图象分布在第三象限， ∴，， 又∵反比例函数随的增大减小的更快， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第四象限， ∴， ∴． 题型十：判断反比例函数的增减性 28．如图，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点．当时，的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵平行于轴的直线交反比例函数的图象于点， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 在第一象限时，当时，， 在第三象限时，恒成立，符合题意， ∴当时，的取值范围是或． 29．已知点、在反比例函数的图象上，且，那么______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性，结合已知的大小关系即可得到和的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而增大． ∵， ∴． 30．若反比例函数的图象在每一个象限内的值随的增大而增大，则关于的函数的图象经过（　　） A．第一、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的性质求出的取值范围，再分析一次函数的系数，从而确定一次函数图象经过的象限．本题主要考查了反比例函数的性质和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内的值随的增大而增大， ∴，解得． ∴，． ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：B． 题型十一：判断反比例函数图象所在象限 31．反比例函数的图象经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】反比例函数的图象位置取决于比例系数k的符号，当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象经过第二、第四象限． 32．y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质得出函数的图象位于一、三象限，根据函数图象的平移规律即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴函数的图象位于一、三象限， ∵， ∴函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， ∴函数的图象为 . 33．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的性质，掌握正比例函数与反比例函数图象与比例系数的关系，是解题的关键． 根据正比例函数与反比例函数的性质解题． 【详解】解：当时，正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象经过第一、三象限，无正确选项； 当时，正比例函数的图象经过第二、四象限，反比例函数的图象经过第二、四象限，D正确． 故选：D． 题型十二：已知反比例函数的增减性求参数 34．反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的增减性推出，进而求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小， ， 解得． 35．已知反比例函数的图像经过点，．若，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】反比例函数的图像经过点，．且，y随x的增大而增大，即函数图像在二、四象限，从而得到，然后求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，．且，， ∴y随x的增大而增大，即函数图像在二、四象限， ∴，解得：． 36．在每一象限内的双曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，双曲线在第一和第三象限，且y随x的增大而减小求解即可 【详解】解：在每一象限内，y随x的增大而减小， 比例系数， ， 故选：A 题型十三：比较反比例函数值或自变量的大小 37．若点都在反比例函数的图象上，则有（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 38．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是___________________． 【答案】 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，，， ， 39．已知点，，在反比例函数（n为常数）的图象上，且，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再利用反比例函数的性质得到三个点纵坐标的符号与大小关系，最后判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的比例系数，且 ∴∴反比例函数图象分布在第二、四象限，且每个象限内随的增大而增大 ∵ ∴在第二象限，在第四象限可得， 逐一判断选项： A.的正负不确定，A错误， B.∵，∴，B错误， C.∵，∴，C错误， D.∵，∴，D正确． 题型十四：已知比例系数求特殊图形的面积 40．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点均在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，轴于点E，轴于点F，设四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， 由题意得， 同理 故． 41．在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于，两点，则的面积是________（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据题意得出，，从而求解． 【详解】解：如图：点为与轴的交点， 则，， ∵，， 故，， ∴的面积． 42．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设与y轴交于点，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 轴， ， ∵点在上，点在上， ，， ． 题型十五：求反比例函数解析式 43．已知电压一定时，电流（单位：安培）与电阻（单位：欧姆）成反比例关系，即，当电流时，电阻，则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵当电流时，电阻， ∴， ∴， ∴与的函数关系式是． 44．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于点，，则的值为______．    【答案】6 【分析】由题意易得点A、B关于原点对称，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：点A、B关于原点对称，且，， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点，与轴交于点．在轴上找一点使最大，则的最大值为（     ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】求得直线与轴的交点即为点，此时，最大，利用勾股定理即可求得最大值． 【详解】解：把代入， 得， ， 反比例函数的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， ， 把，代入， 得， ， 一次函数的解析式为； 令，则， 一次函数与轴的交点为， 此时，最大，即为所求， 令，则， ， 如图，过点向轴作垂线， 则， ，， 由勾股定理可得：， 故所求的最大值为． 题型十六：反比例函数与几何综合 46．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质得到，可知，，进而求出，将代入计算即可． 【详解】解：点的坐标为，绕点逆时针旋转， ∴， ，， 故， 将代入中，得． 47．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（    ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变小再变大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的解析式和矩形、三角形的面积公式把四边形的面积用含的代数式表示出来，即可得到结果． 【详解】解：点在的图象上， ， ， 设点的坐标为，则点的横坐标为，点的纵坐标为， 点、都在函数上， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积不变． 48．如图，、是反比例函数图象上的两点，，两点横坐标分别为，，线段的延长线交轴于点，若的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数解析式，代入、横坐标写出两点坐标；再利用、坐标求出直线的解析式，算出点的横坐标；最后结合三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：、在反比例函数图象上，横坐标为，横坐标为， ，， 设直线解析式为，则 ， 解得，， 直线：， 令，则， ， ，， ， ， ， 反比例函数的图象经过第二象限 ， ． 题型十七：根据图形面积求比例系数 49．如图，已知点A位于第二象限，且在反比例函数的图象上．过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C．若，，则k的值为（    ） A． B．-2 C．6 D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定和性质得到，，，根据k的几何意义作答即可． 【详解】解：∵过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C． ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴矩形的面积为， ∵反比例函数经过第二象限， ∴． 50．如图，的一条边轴于点A，且．若某反比例函数图象的一支经过点B，则该反比例函数的表达式为_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点围成的三角形面积为，结合图象所在象限确定k的符号即可求解． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， ∵点B在反比例函数图象上，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象的一支在第二象限， ∴， ∴， ∴该反比例函数的表达式为． 51．如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】连接，根据等底同高三角形面积相等得出，从而求出，设点坐标，利用中点性质及反比例函数性质表示出和的面积，建立方程求解. 【详解】解：连接， ， ， ， 设点坐标为，则， 为中点， 点坐标为， 轴， 点坐标为，点横坐标为， 在双曲线上， 点纵坐标为， ， ， ， ， ， . 题型十八：一次函数与反比例函数图象综合判断 52．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 53．已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则反比例函数的图象经过的象限是______． 【答案】 第二、四象限 【分析】先根据一次函数的图象性质判断和的正负，得到的正负，再根据反比例函数的性质确定其图象所在象限. 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 根据一次函数的性质可得，， ， 对于反比例函数，， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限. 54．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于，两点．当时，自变量的取值范围是（     ）    A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方，结合图象即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：观察图象可知，当或时，直线在双曲线的下方， 因此，当时，自变量x的取值范围是或， 故选：． 题型十九：一次函数与反比例函数的交点问题 55．若双曲线与直线交于，两点，则不等式的解集是（　　） A．无法确定 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，本题需先根据交点坐标确定双曲线与直线的图象所在象限，再结合函数图象的位置关系，找出双曲线在直线下方时x的取值范围即可． 【详解】解：∵双曲线与直线交于，两点， ∴可画大致图象为： ∴不等式的解集或 故选：D． 56．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】根据反比例函数和一次函数的性质可得，，即，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 57．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 【答案】B 【分析】联立方程组可求得点C坐标，可判断A；由一次函数图象与反比例函数图象相对点C坐标的位置关系可判断B；根据一次函数图象的平移，结合反比例函数图象的位置可判断C；先求得点A、B的坐标，再利用坐标与图形性质求得的面积可判断D，进而可得答案． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点C， ∴联立方程组，解得或（舍去）， ∴点C的坐标为，故A正确； 由图象知，当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故B错误； ∵将直线向上平移k个单位后，直线始终经过第一象限，又反比例函数的图象位于第一象限， ∴将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点， 故C正确； ∵点A在反比例函数的图象上，且点A的横坐标为1． ∴当时，，则点A坐标为， 又∵过点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B， ∴点B坐标为， ，如图， 则，故D正确． 题型二十：一次函数与反比例函数的其他综合应用 58．反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，且，可得函数过点，从而可得答案． 【详解】解：由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得， 且当时，， ∴， ∵， 当时，， ∴函数过点； ∴A符合题意， 故选：A． 59．如图．已知点，将反比例函数的图象向左平移m个单位长度，若使平移后的反比例函数图象和线段有交点，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确找出两个临界位置是解题关键．先把问题转化为将线段向右平移个单位长度后，与反比例函数的图象有交点，再求出点平移后的坐标为，点平移后的坐标为，将这个两个点的坐标代入反比例函数的解析式，由此即可得． 【详解】解：将反比例函数的图象向左平移个单位长度，使平移后的函数图象和线段有交点，相当于将线段向右平移个单位长度后，与反比例函数的图象有交点， ∵， ∴点平移后的坐标为，点平移后的坐标为， 由题意，有以下两个临界位置： ①当反比例函数的图象恰好经过点时， 则，解得； ②当反比例函数的图象恰好经过点时， 则，解得； 所以要使平移后的函数图象和线段有交点，则， 故答案为：． 60．在平面直角坐标系中，直线y=x与反比例函数y=(x>0)的图象交与点A(4，2)，直线y=x+b(b>0)与反比例函数y=(x>0)的图象交与点C，与y轴交与点B．记y=(x>0)的图象在点A，C之间的部分与线段OA、OB、BC围成的区域(不含边界)为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是(　　　) A．≤b≤2 B．<b≤2 C．2≤b< D．2≤b≤ 【答案】B 【分析】根据题意可求出反比例函数解析式为．再画出图象，考虑两种极限状态当经过点(1，2)时和当刚经过点(2，3)时，即可得出答案． 【详解】解：∵点A在反比例函数y=(x>0)的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为． 如图，当经过点(1，2)时， 即时，区域W内有(1，1)，(2，2)，(3，2)三个点， 当直线向上平移时，区域W内出现第四个整点(1，2)，此时满足题意， ∴． 当直线再向上平移，经过点(2，3)时， 即时，区域W内还是四个整点， 继续向上平移，即时，出现第五个整点(2，3)，此时已经不符合意义， ∴． 综上可知． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，一次函数的平移．读懂题意，画出图象，找出两种极限状态是解题关键． 题型二十一：实际问题与反比例函数 61．函数是解决现实世界诸多领域问题的重要模型，其中反比例函数让我们能定量分析“此消彼长”的关系，而不是凭感觉判断．当电压一定时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，电流是；若电流为时，电阻是______． 【答案】12 【分析】先求出反比例函数关系式，再将代入可得答案． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 当时，， 解得， 反比例函数关系式为， 当时，， 解得． 62．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是________． 【答案】 【分析】由待定系数法可求解反比例函数解析式，再令，可求得的值，结合图象即可得解． 【详解】解：∵近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系， ∴设， ∵点在此函数的图象上， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是． 63．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 【答案】D 【分析】A、根据电压电流电阻，即可求解；B、根据电压电流电阻，即可求解；C、由图进行判断即可；D、若该电路的最小电阻值为，代入计算即可； 【详解】解：A、根据电压电流电阻， ∴蓄电池的电流，说法正确，不符合题意； B、根据电压电流电阻， ∴这个蓄电池的电压值大约是，说法正确，不符合题意； C、由图可知，图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系，说法正确，不符合题意； D、若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，选项说法错误，符合题意． 题型二十二：一次函数与反比例函数的实际应用 64．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 65．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 66．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 解答题 67．某班数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是，与的几组对应值如表： … 0 2 3 4 5 … … 1 0 10 6 4 3 … 其中，___________； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数随着的值接近1，其图象越来越靠近直线而永不相交，该函数图象还与直线___________越来越靠近而永不相交； ②函数可以看成是由函数向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度得到的； (4)当时，的取值范围是___________ 【答案】(1) (2) (3)①；②右；1；上；2 (4)或 【分析】（1）求出时的函数值即可得到答案； （2）根据表格中的数据画图即可； （3）①根据函数图象可得答案；②根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得答案； （4）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴； （2）略 （3）解：①由函数图象可得该函数图象还与直线越来越靠近而永不相交； ②函数可以看成是由函数向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的； （4）解：由函数图象可知，当时，的取值范围是或． 68．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 和点 (1)求一次函数的表达式； (2)结合图象，写出满足 的的取值范围； (3)分别连接并延长与反比例函数交于两点，连接，请将图补充完整，判断四边形的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)或 3 (3) 解：图形补充如下： 四边形 是平行四边形，理由如下： ∵两点关于点对称， 两点关于点对称， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形 ． 【分析】（）求出点、的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）根据图象解答即可； （）根据题意补全图形，再根据反比例函数图象的对称性可得与互相平分，即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定等，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把坐标代入得， ，， ∴， ∴，， 把，代入得， ， 解得 ， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象可知，当或时，， ∴满足 的的取值范围为 或 ； （3）略 69．反比例函数的图象的一分支如图所示． (1)求m的取值范围． (2)若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值． 【答案】(1) (2)52 【分析】（1）由反比例函数的图象的一分支在第一象限，得比例系数一定大于0，即可求得m的范围； （2）首先，把点A代入中得n的值，再将点A代入得m的值，最后，代入可求得的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象的一分支在第一象限， ∴， 解得； （2）解：根据题意，把点代入，得； ∴点， 把点代入，得， 解得， ∴． 70．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8， ∴， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， ∴反比例函数的表达式是， ∵点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），已知反比例函数的增减性求参数，解题关键是理解反比例函数k的几何意义． 71．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 【分析】（1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，∵，，与的距离为5，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 72．某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 【答案】(1)启动阶段：，下降阶段： (2) 【分析】（1）先算出加速到转用时，求出函数图象顶点坐标为，利用待定系数法分别求出加速段一次函数和下降段反比例函数； （2）分别在两个解析式里令求出对应，分段算出临界时间，再将两个临界时间相减可得出转速不低于转的时长． 【详解】（1）解：根据题意可得，转速从转加速到转时，所需时间为， 在转速增加的过程中，设关于的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， 故启动阶段，关于的函数解析式为； 在转速下降过程中，设关于的函数解析式为，将点代入，得， 故下降阶段，关于的函数解析式为． （2）解：在中，令， 解得， 在中，令，得， 解得， 可得， 故从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $